Contacto:
· Email: gmantillas@unal.edu.co
· Oficina: 43-224.
· Horas de oficina. Prensenciales TBD y también las establecemos individualmente vía email.
Lugar y hora de clase:
· Martes: 12:00 PM - 2:00PM. Salón 43-307.
· Jueves: 12:00 PM - 2:00PM. Salón 43-307.
El primer parcial será el lunes 5 de octubre.
El segundo parcial será el lunes 9 de noviembre.
El tercer parcial será el lunes 14 de diciembre.
Bibliografía: El texto que seguiré de cerca para la clase, en particular para la mayoría de tareas, es Dummit & Foote abstract algebra (esto no es estricto, pero la mayoría de los temas estudiados serán de ahí). Otras referencias útiles para la clase son:
· D. J. H. Garling , Galois Theory and Its Algebraic Background.
· J. Rotman, Galois Theory.
· D. Cox, Galois Theory.
Criterio de evaluación:
· La nota final será calculada con base en tres exámenes, 34% el primero y 33% los dos siguientes.
Instrucciones talleres:
· Las talleres son para preparación y autoreflexión del aprendizaje de los estudiantes.
· Las talleres se anunciaran en clase y serán subidos acá. Es responsabilidad de los estudiantes estar al tanto de estas.
· DM:=Dummit & Foote, C: =Cox, G:=Garling, R:=Rotman.
Semana 1: Introducción al curso e historia bereve de la teoría de Galois. La cuadrática, la cúbica y otros. Revisión de prerequisitos y conceptos básicos de álgebra y teoría de conjuntos elemental. Intro a anillos, definiciones y ejemplos fundamentales: enteros mod n, polinomios, matrices y el anillo grupo.
Semana 2: Homomorfimos de anillos, ideales; primos. Anillos cocientes, anillos productos, series formales. Teoremas de isomorfismo.
Semana 3: Anillos de fracciones, cuerpos, localización. Repaso lema de Zorn.
Semana 4: Continuación localización, cuerpos, existencia de ideales maximales. Teorema Chino del residuo y aplicaciones. Anillos de polinomios sobre cuerpos.
Semana 5: Dominios Euclideanos, dominios de ideales principales y dominios de factorización única.
Semana 6: Anillos de polinomios que son D.F.U. Criterios de irreducibilidad y anillos de polinomios sobre cuerpos. Extensiones de cuerpos, definiciones básicas y ejemplos.
Semana 7: Extensiones de cuerpos. Grado de extensión, extensiones algebraicas, elementos trascendentes, grado de trascendencia.
Semana 8: Cuerpo de ruptura y clausuras algebraicas. Clasificación de cuerpos finitos. Teorema del elemento primitivo. Ejemplos: cuerpos ciclotómicos I.
Semana 9: Problemas clásicos Griegos; la cuadratura del círculo y construcciones con regla y compás. Pruebas clásicas de trascendencia(e y π).
Semana 10: Extensiones normales y extensiones separables.
Semana 11: Extensiones de Galois, definiciones básicas. Cuerpos finitos II. Cuerpos ciclotómicos II. Teorema fundamental de la teoría de Galois(correspondencia) y algunas de sus consecuencias--teo fundamental del álgebra, teo del elemento primitivo para extensiones separables.
Semana 12: Corrección parcial 2.
Semana 13: Prueba del teorema de correspondencia de Galois. Ejemplos. Revisión grupos finitos, acciones, grupo de Galois como grupo de permutación.
Semana 14: La cuadrática, cúbica y cuártica revisadas. Extensiones radicales y resolubles, extensiones de Kummer. Solubilidad por radicales de ecuaciones polinomiales.
Semana 15: Continuación extensiones de Kummer, teorema 90 de Hilbert. Grupos resolubles y sus propiedades. (Teorema de Galois sobre extensiones resolubles).
Semana 16: El grupo simétrico. A_5 e insolubilidad del la quíntica y grados mayores.