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Teoría algebraica de números

MATE -3011077

Guillermo Mantilla-Soler

Contacto:

·         Email: gmantillas@unal.edu.co

·         Oficina: 43-224.

·         Horas de oficina: acordadas individualmente vía email.

 

Lugar y hora de clase:

·         Martes:  12:00 PM - 2:00 PM. Salón  46-211.

·         Jueves:   12:00 PM - 2:00 PM. Salón  46-211.

Notas de clase: 

Muy amablemente Kenny Fernández está compartiendo sus notas de clase y las pueden encontrár acá,

 Info parciales: 

·         Parcial 1. El parcial es para entregar por email el sábado 17 de mayo.

·         Parcial 2. El parcial es para entregar por email domingo 6 de julio.

·         Parcial 3. El parcial es para entregar por email domingo 27 de julio.









Bibliografía:  Aunque no seguiré un texto guía todos los siguientes son excelentes libros:

·     J. Neukirch, Algebraic number theory. (Mi favorito) 

·     D. Marcus,  Number fields(Muy conocido como uno de los mejores textos )

·     G. Januz, Algebraic number fields.

·     Z. Borevich, I.Shafarevich, Number theory.

Otras notas online muy popular entre los estudiantes son  J.S Milne y W. Stein. 



Criterio de evaluación:

·         La nota final será calculada con base en tres exámenes (25% c/u) y la nota de tareas (25%).


Instrucciones tareas:

·         Bajo ninguna circunstancia se aceptan tareas tarde. 

·         Las tareas, y fechas de entrega, se anunciaran en clase y serán subidas acá. Es responsabilidad de los estudiantes estar al tanto de estas.

.      IMPORTANTE: Las soluciones deben ser escritas en latex.

Tareas: 


  • Tarea 1. Para entregar via email jueves 24 de abril.

  • Tarea2. Para entregar via email sábado 28 de junio.

Programa tentativo:

 

  • Semana 1: Introducción al curso e historia bereve de la teoría algebraica de números.  Enteros de Gauss y de Eisenstein, triplas Pitagóricas, teo de fermat de suma de cuadrados, FLT(Fermat's last theorem  y prueba caso n=4). 

  • Semana 2:  Definición de cuerpos de números. Valuaciones, motivación de la definición del anillo de enteros. 

  • Semana 3:  Clasificación del anillo de enteros de cuerpos cuadráticos. Motivación de la noción de Dominio de Dedekind basado en cuerpos cuadráticos.

  • Semana 4: Propiedades básicas de módulos Noetherianos sobre anillos Noetherianos. Prueba de que el anillo de enteros es un dominio de Dedekind.

  • Semana 5:  Prueba de que en anillos de Dedekind existe factorización única en ideales. Prueba de que el anillo de enteros es un Z-módulo libre f.g de rango la dimensión de la extensión, y conclusión de que es un anillo de Dedekind.

  • Semana 6:  Extensiones de ideales primos, grados de ramificación de inercia. Igualdad fundamental. Separabilidad y no degeneración del emparejamiento traza.  

  • Semana 7: Transitividad de la norma y el discriminante en torres. Normas, trazas y discriminantes, anillo de enteros cuerpos ciclotómicos.

  • Semana 8:   Propiedades de ramificación y su relación con el discriminante. Algoritmo de factorización de primos racionales en el anillo de enteros. Ejemplos de factorización en cuerpos de números cuadráticos y cuerpos ciclotómicos. Unidades en cuerpos ciclotómicos.

  • Semana 9: Definición del grupo de clases de ideales y primera prueba, no optima, de su finitud.  Definición de primo regular y enunciado del lema de Kummer. Prueba de Kummer del último teorema de Fermat para primos regulares. 

  • Semana 10:  Grupo de clases de ideales para extensiones cuadráticas. Formas cuadráticas enteras(dos definiciones). Leyes de composición de Gauss.

  • Semana 11:   Geometría de los números, definición de retículos, dominios fundamentales, co-volumen y teoremas de Minkowski sobre regiones convexas, simétricas, compactas.

  • Semana 12:  Inmersión de Minkowski y la inmersión logarítmica. Aplicación de los teoremas de Minkowski para la prueba de la finitud del class group y su cota mejorada(cota de Minkowski.) Teorema de las unidades de Dirichlet. 

  •  Semana 13:  Extensiones de Galois, grupos de inercia y descomposición. Elementos de Frobenius. Cálculo del tamaño de grupos de descomposición, inercia y su relación con ramificación y factorización.

  • Semana 14: Prueba de reciprocidad cuadrática usando grupos de descomposición.  Teorema de Kronecker Weber(prueba en el caso cuadrático. 

  • Semana 15: Definición del mapa de Artin. Definición del Hilbert class field, y del isomorfismo de reciprocidad de Artin.    

  • Semana 16: 





 


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