Contacto:
· Email: gmantillas@unal.edu.co
· Oficina: 43-224.
· Horas de oficina: acordadas individualmente vía email.
Lugar y hora de clase:
· Martes: 12:00 PM - 2:00 PM. Salón 46-211.
· Jueves: 12:00 PM - 2:00 PM. Salón 46-211.
Muy amablemente Kenny Fernández está compartiendo sus notas de clase y las pueden encontrár acá,
· Parcial 1. El parcial es para entregar por email el sábado 17 de mayo.
· Parcial 2. El parcial es para entregar por email domingo 6 de julio.
· Parcial 3. El parcial es para entregar por email domingo 27 de julio.
Bibliografía: Aunque no seguiré un texto guía todos los siguientes son excelentes libros:
· J. Neukirch, Algebraic number theory. (Mi favorito)
· D. Marcus, Number fields(Muy conocido como uno de los mejores textos )
· G. Januz, Algebraic number fields.
· Z. Borevich, I.Shafarevich, Number theory.
Otras notas online muy popular entre los estudiantes son J.S Milne y W. Stein.
Criterio de evaluación:
· La nota final será calculada con base en tres exámenes (25% c/u) y la nota de tareas (25%).
Instrucciones tareas:
· Bajo ninguna circunstancia se aceptan tareas tarde.
· Las tareas, y fechas de entrega, se anunciaran en clase y serán subidas acá. Es responsabilidad de los estudiantes estar al tanto de estas.
. IMPORTANTE: Las soluciones deben ser escritas en latex.
Semana 1: Introducción al curso e historia bereve de la teoría algebraica de números. Enteros de Gauss y de Eisenstein, triplas Pitagóricas, teo de fermat de suma de cuadrados, FLT(Fermat's last theorem y prueba caso n=4).
Semana 2: Definición de cuerpos de números. Valuaciones, motivación de la definición del anillo de enteros.
Semana 3: Clasificación del anillo de enteros de cuerpos cuadráticos. Motivación de la noción de Dominio de Dedekind basado en cuerpos cuadráticos.
Semana 4: Propiedades básicas de módulos Noetherianos sobre anillos Noetherianos. Prueba de que el anillo de enteros es un dominio de Dedekind.
Semana 5: Prueba de que en anillos de Dedekind existe factorización única en ideales. Prueba de que el anillo de enteros es un Z-módulo libre f.g de rango la dimensión de la extensión, y conclusión de que es un anillo de Dedekind.
Semana 6: Extensiones de ideales primos, grados de ramificación de inercia. Igualdad fundamental. Separabilidad y no degeneración del emparejamiento traza.
Semana 7: Transitividad de la norma y el discriminante en torres. Normas, trazas y discriminantes, anillo de enteros cuerpos ciclotómicos.
Semana 8: Propiedades de ramificación y su relación con el discriminante. Algoritmo de factorización de primos racionales en el anillo de enteros. Ejemplos de factorización en cuerpos de números cuadráticos y cuerpos ciclotómicos. Unidades en cuerpos ciclotómicos.
Semana 9: Definición del grupo de clases de ideales y primera prueba, no optima, de su finitud. Definición de primo regular y enunciado del lema de Kummer. Prueba de Kummer del último teorema de Fermat para primos regulares.
Semana 10: Grupo de clases de ideales para extensiones cuadráticas. Formas cuadráticas enteras(dos definiciones). Leyes de composición de Gauss.
Semana 11: Geometría de los números, definición de retículos, dominios fundamentales, co-volumen y teoremas de Minkowski sobre regiones convexas, simétricas, compactas.
Semana 12: Inmersión de Minkowski y la inmersión logarítmica. Aplicación de los teoremas de Minkowski para la prueba de la finitud del class group y su cota mejorada(cota de Minkowski.) Teorema de las unidades de Dirichlet.
Semana 13: Extensiones de Galois, grupos de inercia y descomposición. Elementos de Frobenius. Cálculo del tamaño de grupos de descomposición, inercia y su relación con ramificación y factorización.
Semana 14: Prueba de reciprocidad cuadrática usando grupos de descomposición. Teorema de Kronecker Weber(prueba en el caso cuadrático.
Semana 15: Definición del mapa de Artin. Definición del Hilbert class field, y del isomorfismo de reciprocidad de Artin.
Semana 16: