集合論と無限
私たちは日常的に、ものの個数を数え、その大きさを比べます。集合論の創始者であるCantorは、この「大きさの比較」を無限集合に対して拡張し、様々な無限集合の大小を比較しました。その結果、自然数全体ℕ、整数全体ℤ、有理数全体ℚはいずれも同じ大きさの集合（可算集合）であることがわかりました。
それでは、無限集合はすべて同じ大きさなのでしょうか？Cantorは対角線論法という巧みな論法を用いて、実数全体ℝはこれらよりも真に大きな集合（非可算集合）であることを示しました。つまり、ひとくちに無限といっても、その大きさは一つではないということがわかったのです。この発見を契機に、集合論は特に無限集合を分析することで、無限についてのさまざまな性質や構造を明らかにしてきました。
連続体仮説
集合の「大きさ」は濃度や基数と呼ばれ、無限濃度の系列は、可算濃度から始まって小さい順にℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, …と並べることができます。ℝの濃度（連続体濃度）を𝔠と書くと、Cantorの結果はℵ₀ < 𝔠と表されます。それでは、連続体濃度𝔠は一体この系列のどこに位置するのでしょうか？彼は 𝔠 = ℵ₁ であると予想しました。これが連続体仮説です。
連続体仮説をめぐる研究は、GödelとCohenによって驚くべき転換点を迎えました。 彼らの研究により、連続体仮説は標準的な集合論の公理系ZFCから独立であることが明らかになったのです。すなわち、（ZFCが矛盾していないという仮定のもと）「ZFCからは連続体仮説を証明することも、その否定を証明することもできない」ということ自体が証明されたのです。
図１：無限基数の系列と連続体濃度𝔠。連続体仮説は𝔠 = ℵ₁という主張。
基数不変量
ZFCからは ℝの濃度が決定できないという結果は、実数のもつ様々な性質の間に、連続体濃度だけでは捉えきれないような構造が隠されていることを示唆しているのではないでしょうか。そうした性質を基数として数量化したものが、（連続体上の）基数不変量です。この文脈でいう「実数」には、実数直線ℝの点だけでなく、自然数列など、標準的な方法で実数として捉えられる対象も含めます。
基数不変量は多くの場合、「ある性質を満たすために必要な実数（あるいは実数の集合）の個数」として定義されます。
例えば、「ルベーグ測度0の集合で実数全体を覆うにはどのくらい必要か？」という問いを考えてみましょう。可算個の測度0の集合の和は再び測度0なので、可算個では足りません。つまり、ℵ₁個以上必要です。一方、実数一点からなる集合は測度0で、実数全体はすべての一点集合の和集合として表せますから、連続体濃度個あれば十分です。測度0集合全体の族を𝒩と書き、 問いの答えとなる量をcov(𝒩)と書くと、以上の観察から
とわかります。この例のように、典型的な基数不変量は ℵ₁ と 𝔠 の間に位置します。連続体仮説が成り立てば、そのような量はすべてℵ₁( = 𝔠)に一致してしまいます。しかし、連続体仮説𝔠 = ℵ₁がZFCから証明されないことがわかったので、各基数不変量がどのような値をとりうるかを調べる意義があるわけです。
Cichoń’s diagram
cov(𝒩)の他にも、測度、位相、自然数列などに由来する多くの基数不変量があります。代表的な10個の基数不変量は、Cichoń’s diagramと呼ばれる図にまとめられます。
図２：Cichoń’s diagram
図において、𝒩は測度0集合全体、𝓜は位相の意味で小さい集合を集めた第一類集合全体を表し、中央の𝔟と𝔡は自然数列の増え方に関する基数不変量です。矢印A → Bは、不等式A ≤ BがZFCから証明できることを表します。図の矢印 A → B は、不等式 A ≤ B がZFCから証明できることを表します。
強制法
Cichoń’s diagramから矢印をたどって得られるもの以外に、ZFCから証明できる大小関係は存在しないことが知られています。
証明できないことを、どのように証明するのでしょうか？ここで使う主な道具が強制法です。強制法は、Cohenが連続体仮説の独立性を示すために開発した強力な手法であり、集合論の公理を満たす様々なモデルを構成するために使われます。
例えば、適切な強制法を用いて、基数不変量 A と B に対して A > B が成り立つモデルを構成できたとします。するとこのモデルの存在から、その否定の不等式A ≤ B はZFCから証明できないということがわかります。このように、複数の基数不変量が異なる値をとるようなモデルを構成することを、基数不変量の分離と呼びます。強制法の分析によって、Cichoń’s diagramにあるどんな2つの基数不変量 A, B も、A ≤ B が証明できるか、A > B と分離できることが知られています。
私の研究
私は基数不変量の構造それ自体と、それを分析する強制法の理論の両方に興味を持って研究しています。特に、3つ以上の基数不変量 A₁, A₂, …, Aₙ を A₁ < A₂ < ⋯ < Aₙ のように同時に分離する問題や、無限ゲームに関する基数不変量、可算集合の集合代数上のイデアルから定まる基数不変量などについて研究してきました。
連続体仮説の独立性が示されたことを契機に、基数不変量研究の分野は目覚ましい発展を遂げてきました。基数不変量の大小関係には、Cichoń’s diagramのように整然としたものがある一方、意外で複雑な関係が現れることもあり、基数不変量の持つrigidityとpathology の絶妙なバランスにいつも不思議な魅力を感じています 。基数不変量を分離するための強制法の理論も面白く、シンプルな発想に基づく強制法もあれば、複数の精緻なメカニズムがうまく組み合わさって機能するような強制法もあり、どちらのタイプにもそれぞれの方向性での関心を持っています。
基数不変量を分析することで、実数に関する様々な性質の違いやつながりが見えてきます。そのような関係を明らかにすることが、基数不変量研究の目的のひとつです。私はさらに、基数不変量の背後には、まだ何か知られていないような構造が潜んでいるのではないかと考えています。基数不変量の間の意外な大小関係や、基数不変量の値を精密にコントロールする強制法の機構に触れるたび、その考えは強くなります。その隠された構造の一端を明らかにすることが、私の研究上の夢のひとつです。