Ákos Szölgyén

Vektorszámítás gyakorlat (2018)

Tematika:

1. Komplex számok: A számfogalom és bővítései: természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok. Műveletek, azok kiterjesztései, rendezés teljessége. Komplex számok és műveleteik. A komplex számsík. Síkgeometriai alkalmazások. Elemi függvények komplex változókkal, Euler-formula.

2. Az euklideszi tér vektorai: Vektorok a geometriában és a fizikában. Vektorok összege, különbsége, számszorosa: a vektortér (lineáris tér) fogalma. Elemi vektorműveletek: skaláris szorzás, vektoriális szorzás. Egyenes, sík egyenlete. Lineáris függetlenség, alterek.

3. Vektorok reprezentációja: Koordináta-rendszer, bázis, dimenzió. Skalárszorzás reprezentációja, merőlegesség (ortogonalitás). Indexes írásmód. Szummajel, alkalmazás. Kronecker-delta és Lévi-Civita-szimbólum. Kétszeres vektorszorzás.

4. Lineáris műveletek: Forgatások, tükrözések, vetítések, vektorok diadikus szorzata. Általános lineáris műveletek (operátorok). Reprezentáció: mátrixok. Mátrixműveletek: szorzás, inverz. Általános vektortér lineáris műveletei. Bázistranszformáció: forgatások. Aktív és passzív szemlélet.

5. Lineáris egyenletrendszerek: Három vektor vegyes szorzata. Általánosítás: mátrixok determinánsa. Determinánsok szorzástétele. Determinánsok kiszámítási módszerei. Lineáris egyenletrendszerek, lehetséges “kimenetelek”. Egyenletrendszerek megoldása és mátrix inverzének megkeresése Gauss-eliminációval.

6. Sajátértékprobléma: Sajátértékek és sajátvektorok fogalma. Kiszámítási módszerek, 2x2-es és 3x3-as mátrixok speciális esetei. Egyszerű mátrixokra vonatkozó tételek. Főtengely-transzformáció.

7. Kúpszeletek: kúpszeletek (ellipszisek, hiperbolák, parabolák) általános egyenletei. Operátorok és mátrixok projektorfelbontása. Mátrixfüggvények.

8. Vektoranalízis bevezető: Differenciálási és integrálási szabályok, elemi függvények. Egyszerű görbék, felületek és ezek paraméterezései. Differenciálhányados és integrál legegyszerűbb geometriai alkalmazásai. Görbület, görbületi sugár. Többváltozós függvények. Parciális deriváltak, Young-tétel. Skalár- és vektormezők szemléltetése: szintfelületek, erővonalak.

9. Skalár- és vektormezők integráljai: Görbék érintővektora. Görbék ívhossza. Felületek felszíne. Görbementi integrál és alkalmazásai. Felületi integrálok. Térfogati integrál. Integrálfajták bemutatása alkalmazásokon keresztül. Integrálok alaptulajdonságai, kiszámítási módszerei.

10. Gradiens és rotáció: Skalármező gradiense, gradiens szemléletes jelentése. Iránymenti derivált. Gradiens vonalintegrálja, úttól való függetlensége. Vektormező rotációja, szemléletes jelentése, kiszámítási módszere. Stokes-tétel. A nabla-operátor.

11. Divergencia és második deriváltak: Vektormező divergenciája, szemléletes jelentése, kiszámítási módszere. Gauss-tétel. Kapcsolat a Stokes-tétellel. Kétszeres deriváltak: rotáció divergenciája, gradiens rotációja. Fontos második deriváltak: Laplace-operátor.

12. Indexes deriválás: Vektoroperációk, integráltételek. Koordináta függvényében megadott skalár- és vektormezők deriváltjainak kiszámítása (“indexes deriválás”). Fizikai alkalmazások: néhány egyszerű példa.

A gyakorlat anyaga:

1. gyakorlat (komplex számok: alapműveletek, alakok)

2. gyakorlat (komplex számok: elemi függvények komplex számokkal)

3. gyakorlat (komplex számok: gyökök, gyakorlás; vektorok: bevezető)

4. gyakorlat (vektorok: skaláris és vektoriális szorzás)

5. gyakorlat (vektorok: reprezentációk)

6. gyakorlat (mátrixok: projekció, tükrözés, forgatás)

7. gyakorlat (mátrixok: determináns, invertálás)

8. gyakorlat (mátrixok: gyakorló példák, az Octave program)

9. gyakorlat (mátrixok: sajátérték probléma)

10. gyakorlat (mátrixok: mátrixfüggvények, kúpszeletek)

+ aszimmetrikus mátrixok projektorfelbontása

11. gyakorlat (analízis: skalár és vektormezők integráljai)

12. gyakorlat (analízis: gradiens, divergencia, rotáció, Laplace)