ΩΡΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Πέμπτη 3-6 B214, Παρασκευή 5-8 B208
ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ
Oksendal, Stochastic Differential Equations
Brzeźniak & Zastawniak 2000
ΥΛΗ Συνεχείς στοχαστικές ανελίξεις. Κίνηση Brown. Χρονοδιακόπτες. Παραδείγματα. Συνεχείς martingales και βασικές ιδιότητες. Το ανάπτυγμα Doob-Meyer. Συνεχείς τετραγωνικά ολοκληρώσιμες martingales. Θεωρήματα κατασκευής της Κίνησης Brown. Ιδιότητες των τροχιών της Κίνησης Brown. Το ολοκλήρωμα Ito ως προς συνεχείς τετραγωνικά ολοκληρώσιμες martingales και βασικές ιδιότητες. Αλλαγές μεταβλητής στο στοχαστικό ολοκλήρωμα. Ο τύπος του Ito και εφαρμογές. Αναπαραστάσεις των συνεχών martingales με τη βοήθεια της Κίνησης Brown. Πιθανοθεωρητική μελέτη των διαφορικών εξισώσεων Laplace και θερμότητας. Συνήθεις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις – Παραδείγματα. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης. Επίλυση ειδικών μορφών διαφορικών εξισώσεων.
ΠΙΘΑΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΩΝ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ
Θεώρημα Eπέκτασης Kolmogorov. (πχ https://fabricebaudoin.blog/2012/03/25/lecture-5-the-daniell-kolmogorov-existence-theorem/)
Θεώρημα Συνέχειας Kolmogorov (πχ Durrett ch.1).
Θεώρημα Lévy περί ισοδύναμου ορισμού ανέλιξης Wiener ως martingale.
H ανέλιξη Wiener δίνει την μοναδική σωστή μοντελοποίηση του λευκού θορύβου. Μαθηματική διατύπωση θεωρήματος και απόδειξη.