Abstract
Prof. Olivia Caramello (Università dell'Insubria; IHES)
I topoi di Grothendieck come ‘ponti’ unificanti in Matematica
Spiegherò in che senso i topoi di Grothendieck possono agire come ‘ponti’ unificanti per mettere in relazione teorie matematiche differenti e studiarle da una molteplicità di punti di vista. Presenterò dapprima le tecniche generali alla base di questa teoria e poi discuterò alcune sue applicazioni in diversi campi della matematica.
Prof. Camillo De Lellis (IAS Princeton)
Quando i mostri sopravvivono al sonno della ragione
In una celebre conferenza all'Accademia Prussiana delle Scienze nel 1872 Karl Weierstrass presentò il suo famoso esempio di una funzione continua che non è differenziabile in alcun punto. Inizialmente considerata una "mostruosità" da molti contemporanei, al giorno d'oggi è assodato che la funzione di Weierstrass è la regola piuttosto che l'eccezione (in un'accezione matematica ben precisa!). In questa conferenza argomenterò anche che la funzione di Weierstrass non è altro che il capostipite di tante costruzioni degli ultimi 150 anni, che di volta in volta hanno messo in crisi punti di vista radicati, ma errati, su alcuni problemi fondamentali della geometria e dell'analisi.
Lorenzo Pellegrino (ISUFI Lecce)
Superfici a elica in ambiente Lorentziano
Le superfici a elica (o ad angolo costante) sono particolari sottovarietà di dimensione 2 sulle quali è costante la funzione angolo, ovvero l'angolo tra la normale esterna alla superficie e un fissato campo di vettori. Nello specifico nel seminario approfondiremo lo studio di tali superfici in diversi spazi ambiente in cui si stabilisce una metrica Lorentziana. Presenteremo lo studio di superfici ad angolo costante nello spazio di Minkowski, nel gruppo di Heisenberg Lorentziano, nelle sfere di Berger Lorentziane e nello spazio di anti-de Sitter tridimensionale con metriche tipo-Berger. In particolare, nel caso dello spazio AdS3 offriremo alcuni risultati originali e, in ogni caso, daremo teoremi di caratterizzazione e interpretazione geometrica per le superfici descritte.
Emanuele Giunta (IMDEA Software Institute)
Introduzione alle dimostrazioni interattive
Ogni teoria assiomatica in matematica si basa sul concetto di dimostrazione. Questa non è altro che una sequenza di simboli che, fissate certe regole, dà valore sintattico ad ogni proposizione. La naturale utilità di questo approccio nasce dal fatto che ogni proposizione dimostrabile è (semanticamente) vera.
Nel 1985 tuttavia Goldwasser, Micali e Rackoff proposero, nell'ambito della teoria della complessità computazionale, una definizione più generale: una dimostrazione è un processo interattivo e probabilistico tra due entità, un prover ed un verifier. Queste definiscono un proof system per cui una proposizione è (sintatticamente) vera se, interagendo con il prover, il verifier accetta la prova, o falsa altrimenti.
L'obiettivo di questo seminario è introdurre formalmente la nozione di prova interattiva, insieme ad una variante più forte detta zero-knowledge in cui il verifier non impara nulla dal prover se non la veridicità del teorema dimostrato, portando alcuni esempi classici.
Giorgio Mangioni (SNS Pisa)
Il teorema del Packing di Cerchi per la costruzione della mappa di Riemann
Nel mio intervento definirò un packing di cerchi, ossia una collezione di cerchi sulla sfera S² che si possono toccare solo sul bordo. Quindi enuncerò un teorema di Andreev del 1970, il quale afferma che ogni triangolazione della sfera è realizzata come "pattern" di un packing di cerchi. Infine mostrerò come, seguendo un'idea di Thurston, si possa impiegare il teorema di Andreev in una costruzione esplicita della mappa di Riemann per un aperto del piano semplicemente connesso diverso da tutto C, ossia del biolomorfismo tra esso e il disco la cui esistenza è garantita dal teorema di uniformizzazione. Questa presentazione nasce come seminario d'esame di un corso di Geometria Iperbolica del professor Bruno Martelli (Università di Pisa).
Giulio Grammatica (SNS Pisa)
Il teorema di Bézout
Il teorema di Bézout è un enunciato semplice da formulare ed elegante: due curve piane proiettive (di grado rispettivo d1, d2) su un campo algebricamente chiuso si intersecano in d1d2 punti, contati con molteplicità. In una ventina di minuti vorrei spiegare cosa dice questo teorema e il ruolo delle varie ipotesi, sperando di fare luce su alcuni aspetti fondamentali degli oggetti di studio della geometria algebrica. Il seminario è pensato per chi ne sa poco o niente, ma spero che il punto di vista esposto possa essere di interesse anche per chi ha già visto una dimostrazione del teorema.
Raffaele Grande (University of Bristol)
An informal introduction to the horizontal mean curvature flow
The horizontal mean curvature flow is widely used in neurogeometry (e.g. the Citti Sarti model for the visual cortex) and in computer science. It represents the contraction of an hypersurface in a particular geometrical setting called sub-Riemannian geometry, where there are weak conditions of regularity, since not all the curves are admissible.
In this talk I will give a short historical introduction to the problem, the ideas of sub-Riemannian geometry and viscosity solutions and how to apply them to the study of the horizontal mean curvature flow.
Matteo Cavallaro (Scuola Superiore di Udine)
Wang tiles and undecidability problems
Wang tiles are a very simple combinatorial system, introduced by Hao Wang as a tool for proving the unsolvability of the ∀∃∀-prefix class in the pure predicate calculus. Despite their apparent elementarity, many problems on Wang tiles are undecidable and they have been used to estabilish various undecidability results and lower complexity bounds for propositional logic systems, subclasses of first order logic, and other mathematical theories. The aim of this talk is to introduce domino problems and some applications in logics and theory of codes.
Alex Massucco (IUSS Pavia)
Regularity Issues for the Solutions of Elliptic PDEs: an overview from De Giorgi’s results to today
The aim of this talk is to give an overview on the famous XIX Hilbert Problem with particular regard to the approach given in order to solve it and the generalisations proposed to the original task. In order to accomplish this target I will present De Giorgi’s and Moser’s approach, Bella and Schäffner’s results and Franchi, Serapioni and Serra Cassano’s counterexample.
Giacomo Bortolussi (Scuola Superiore di Udine)
Sul problema delle distanze differenti di Erdős
Dati n punti nel piano, qual è il numero minimo di distanze differenti che si possono formare tra tutte le coppie di punti? A questa domanda è stata data risposta nel 2015 da Katz e Guth utilizzando un metodo polinomiale per un problema discreto prendendo ispirazione dalla geometria algebrica; la soluzione passa per la geometria d'incidenza, lo studio delle superfici rigate e argomenti topologici.
Jeremy Mirmina (Scuola Superiore di Catania)
Introduzione alla Teoria Descrittiva degli Insiemi
La Teoria Descrittiva degli Insiemi è lo studio di sottoinsiemi "definibili" in spazi polacchi. Scopo del talk è dare un'introduzione generale, fornendo motivazioni allo studio di tali oggetti, mostrando alcuni strumenti utilizzati, risultati classici ed esempi notevoli. Infine cercherò di mostrare qualche applicazione in altri rami della matematica.
Laura Casabella (Università di Padova; Université de Bordeaux)
Semigruppi numerici e dove trovarli
Un semigruppo numerico è un oggetto estremamente semplice: i suoi elementi sono combinazioni lineari di un insieme di numeri naturali. La motivazione originale è altrettanto elementare, e consiste nel risolvere il problema di Frobenius (noto anche come Chicken McNuggets Problem). Tuttavia, i semigruppi numerici hanno trovato applicazioni nei rami della matematica più disparati, come la teoria dei codici e la geometria algebrica. In particolare, in questo talk vedremo il collegamento con lo studio di singolarità di curve.