Nicolas Saintier

2ndo cuatrimestre 2025 - Universidad de Buenos Aires

Imaginemos un grupo de individuos discutiendo sobre algún tema, por ejemplo, ¿Estas a favor de la politica economica del gobierno ? 

El intercambion de opiniones entre individuos va a tener consecuencias a nivel macroscopico: puede ser que todos terminen adoptando la misma opinión (consenso), que se formen dos grupos antagonicos (bipolarización), etc...

Una vez definido como cada agente modifica su opininon bajo la influencia de los demas, hay que entender como evoluciona la distribucion de opiniones en toda la población. 

Vamos a ver algunos modelos de formación de opinión basado en ecuaciones diferenciales ordinarias empezando con el clásico modelo de French-DeGroot  y la sabiduría de las masas. En el medio necesitaremos algunos resultados de álgebra lineal sobre las matrices no-negativas (teoría de Perron-Frobenius). Luego veremos algunas variantes (Abelson, Taylor, Friedkin-Johnsen) y un ejemplo de aplicación (sencilla) para ver el impacto de una dinamica de opiniones sobre el calentamiento global. También veremos otro modelo clásico, el de bounded confidence de Hegselman-Krause y Weisbuch-Deffuant. 

Finalmente estudiaremos otro modelo clásico, el de Sznajd y una variante debido a Slanina y Lavicka. Cada agente tiene una opinion binaria 1 o -1 y el consenso se propaga: dos agentes con la misma opinión pueden covnencer a un 3er agente. Suponiendo que cada agente puede interactuar con cualquier otro, veremos que se puede aproximar la  dinámica  en el límite de una población infinita por una ecuación en derivadas parciales de 1er orden. Estudiaremos este tipo de ecuaciones mas adelante después de ver otras situaciones en las que aparece. 

slides sobre la teorìa de Perron-Frobenius de las matrices no-negativas, el modelo de De Groot y algunas de sus variantes, 

              modelos con bounded confidence y polarización

bibliografia: 

Fabian Baumann, Philipp Lorenz-Spreen, Igor M. Sokolov, Michele Starnini, Modeling echo chambers and polarization dynamics in social networks, Physical Review Letter, 124. 2020.

Matthew O. Jackson, ``Social and economic network'', Princeton University Press, 2008.  

B. Golub, M. O. Jackson, ``Naive Learning in Social Networks and the Wisdom of Crowds'', American Economic Journal: Microeconomics, vol.2, 2010. 

PE Jabin, S. Motsch, Clustering and asymptotic behavior in opinion formation , Journal  of Differential Equations, 2014.

A.S. Kumar, K. Josić, C.T. Bauch, M. Anand, From Opinion Polarization to Climate Action A Social-Climate Model of the Opinion Spectrum , preprint 2025.

A.V. Proskurnikov R.A. Tempo, Tutorial on modeling and analysis of dynamic social networks - part 1, Annual Reviews in Control 43, 2017.

C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. 

F. Slanina, H. Lavicka, Analytical results for the Sznajd model of opinion formation, Eur. Phys. J. B 35, 279–288 (2003).  

Varios animales en grupo sincronizan su moviemiento sin la presencia de una autoridad central que les diga que hacer. En 2006, F. Cucker y S. Smale propusieron un modelo sencillo que reproduce este fenomeno. En cada instante, cada animal modifica su velocidad para acercarse a la velocidad promedia de sus vecinos, dandole mas peso a sus vecinos cercanos que a los lejanos. Esta dinámica se modela con un sistema de 2N ecuaciones diferenciales para las posiciones y velocidades de cada unos de los N animales. 

slides 

Recién estudiamos el modelo de flocking de Cucker-Smale, un sistema de 2N ecuaciones. Si N>>1, ¿se podría obtener una descripción mas compacta ? Pasando por la medida empírica, vamos a ver que  que la distribución de pares (posición, velocidad) verifica una ecuación en derivadas parciales de 1er orden del mismo tipo que la que obtuvimos al estudiar el modelo de Sznajd. Como en el modelo "survival of the fittest", resulta natural trabajar con medidas, acá la distribuciones de pares (x,v) para el modelo de C-S, y la de la magnetizacion para Sznajd. 

Estudiaremos el buen planteo de estas ecuaciones adaptando el clásico método de las caracteristicas y usando las distancias de Monge-Kantorovich para metrizar la convergencia débil de medidas de probabilidad. 

Con estas herramientas, volveremos a Cucker-Smale y Sznajd para obtener informaciones sobre el comportamiento de las soluciones en tiempo grande.  

slides sobre Sznajd y votante, la resolucion de la ecuacion de transporte (lineal y no-lineal) para funciones a valores medida. 

bibliografia: 

G. Aletti, G. Naldi, G. Toscani, First-order continuous models of opinion formation, SIAM Journal on Applied Mathematics, 67, 2007.

J.A. Cañizo, J.A. Carrillo, J. Rosado, A well-posedness theory in measures for some kinetic models of collective motions, Math. Models. Methods Appl. Sci., 21, 2011.  

J.A. Carrillo, M. Fornassier, J. Rosado, G. Toscani, Asymptotic flocking dynamics for the kinetic Cucker-Smale model, SIAM J. Math. Anal., 42, 2010. 

F. Golse, On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit. In: Muntean, A., Rademacher, J., Zagaris, A. (eds) Macroscopic and Large Scale Phenomena: Coarse Graining, Mean Field Limits and Ergodicity. Lecture Notes in Applied Mathematics and Mechanics, vol 3. Springer. 

R. Natalini, T. Paul, On the mean field limit for Cucker-Smale models, Discrete and continuous dynamical systems B, 27, 2022. 

C. Villani, Topics in optimal transportation, AMS, 2003.

Vamos a ver como perturbar una dínámica con ruido. Introduciremos primero el movimiento Browniano y luego las ideas esenciales del cálculo estocástico de Ito y de las ecuaciones diferenciales estocásticas (todo eso de manera informar sin prueba - bien hecho, es una materia entera !). Aplicaremos estos conceptos al modelo de Cucker-Smale y al límite de campo medio correspondiente. 

bibliografia: 

F. Bolley, J. Cañizo, J. A. Carrillo, Stochastic Mean-Field Limit: Non-Lipschitz Forces and Swarming, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 21, 2011, 2179-2210.

P. Cattiaux, F. Delebecque, L. Pedeches, Stochastic Cucker–Smale models: Old and new, Ann. Appl. Probab. 28(5), 2018, 3239-3286.

S-Y. Ha, K. LEE, D. Levy, Emergence of time-asymptotic flocking in a stochastic Cucker Smale system, C omm. M ath. Sci,,7, 2009, 453-469.

Vamos a ver otra manera de analizar dnamicas sociales usando ideas de la física estadística considerando a los agentes que intercambian opinion (o plata, o algun otra cantidad) como particulas de un gaz que colisionan.  La distribción de opiniones es entonces solución de una ecuación integro-diferencial similar a la ecuación de Boltzman que describe la evolución de la distribucion de (posicion, velocidad) de las moleculas de una gas. En cierto regimen (grazing limit), se puede aproximar esta ecuacion por una ecuacion diferencial tipo Fokker-Planck y, con suerte, se puede probar la convegencia a una estado estacionario explícito. Este marco es muy flexible. Veremos aplicaciones a modelos de formación de opiniones, intercambio de riqueza, optimización y clusterización de datos.   

bibliografia: 

M. Herty, L. Pareschi, G. Visconti, Mean field models for large data–clustering problems, Network and heterogenous media, 15, 2020. 

L. Pareschi, G. Toscani, Interacting multiagents systems - Kinetic equations and Monte Carlo methods, Oxford University Press, 2014. 

R. Pinnau, C. Totzeck, O. Tse, and S. Martin. A consensus-based model for global optimization and its mean-field limit. Math. Models Methods Appl. Sci., 27(1):183–204, 2017.

 J. A. Carrillo, Y.-P. Choi, C. Totzeck, and O. Tse. An analytical framework for consensusbased global optimization method. Math. Models Methods Appl. Sci., 28(6):1037–1066, 2018.