Ampliación de Álgebra (9243)

UBU_9243_2526_lab2.pdf

Lista oficial de morosos* de la asignatura y mencionar el desafío pendiente de Brawl (Bien jugado Javier, Naia, Dani y Alex, Javier, Irene, Katerina, Gabriel, Merche, Carlos, Álvaro, Lorenzo y guest427, quién quiera que sea)

*Morosos únicamente de la foto correspondiente a la ficha de alumno, estoy seguro que en el resto de cosas que puedan ser morosas no lo son

María, mis disculpas a A***** por incluirla injustamente, Leire, -Isaac, Carlos

Primera sesión de laboratorio (04/03/26)

Carpeta con los códigos

#Ejercicio 1

K = [5 -2 0;

-2 8 -2;

0 -2 5];

%metodo1: diagonalizar

e = eig(K) % recuerden que el determinate

prod(e)./det(K) % es invariante a cambios de base

%metodo2: Sylvester escalones

Sylvester_1 = det(K(1,1))

Sylvester_2 = det(K(1:2, 1:2)) % considere en matriz K

Sylvester_3 = det(K) % unicamente F/C 1:2

x_mov = [1; -1; 0.5];

Potencial = 0.5 * x_mov' * K * x_mov

#Ejercicio 2

G = [1 0 0 0;

0 -1 0 0;

0 0 -1 0;

0 0 0 -1];

beta = 0.6;

gamma = 1 / sqrt(1 - beta^2)

L = [gamma, -beta*gamma, 0, 0;

-beta*gamma, gamma, 0, 0;

0, 0, 1, 0;

0, 0, 0, 1];

[L, D] = ldl(L' * G * L);

Signature_Mas = sum(diag(D) > 0)

Signature_Menos = sum(diag(D) < 0)

#Ejercicio 3

A = [2 1 0;

1 3 1;

0 1 1];

P= [-2 -1 -0;

-1 -3 -1;

0 -1 -1];

P_eigenvalues = eig(P)

Q = -(A' * P + P * A);

Q_eigenvalues = eig(Q)

is_stable = all(Q_eigenvalues > 0)

#Ejercicio 4

K_G = [100 -20 0; -20 150 -40; 0 -40 200];

eig_G = eig(K_G)

K_M = [80 -60 10; -60 40 -10; 10 -10 50];

eig_M = eig(K_M)

[L, D] = ldl(K_M);

pivotes_M = diag(D)

#Ejercicio 5

close all

syms x y real

f = x^3 - 3*x + y^3 - 3*y;

H_sym = hessian(f, [x, y]);

Puntos = [-1, -1; % Caso A

1, 1; % Caso B

-1, 1]; % Caso C

for i = 1:3

px = Puntos(i,1);

py = Puntos(i,2);

H_num = double(subs(H_sym, {x,y}, {px, py})); %evaluacion

autovalores = eig(H_num);

fprintf('Punto(%2d, %2d) -> Eig: [%d, %d]\n', ...

px, py, autovalores(1), autovalores(2));

end

[X, Y] = meshgrid(-2.5:0.1:2.5, -2.5:0.1:2.5); %valores

Z = X.^3 - 3*X + Y.^3 - 3*Y; %grafica

figure;

surf(X, Y, Z);

shading interp;

title('Funcion multivariante f(x,y)');

#Ejercicio 6

n = 100;

X_ale = randn(n, 3);

X_0 = X_ale - mean(X_ale);

S = (1/(n-1)) * (X_0' * X_0);

autovalores_S = eig(S)

gram = chol(S) %otra descomposicion vs LU

UBU_9243_2526_tuto1.pdf

Cuarta sesión de problemas (04/03/26)

Problemas desde 023 hasta 029 (impares)

Octava sesión teórica (02/03/26)

Espacios vectoriales euclídeos

1. Repaso de productos escalares y normas

Séptima sesión teórica (27/02/26)

Espacios vectoriales euclídeos

1. Repaso de productos escalares y normas

Tercera sesión de problemas (25/02/26)

Problemas desde 013 hasta 021 (impares) con notable excepción:

Problema 017: El profesor ha pasado de definido (normalmente ) positivo a indefinido con la ortogonalidad de u1(0,1,0) con u2(x,y,z) que implicaba -3x+y=0. Pues u2(0,0,1) valdría y es bastante más sencillo que (1,-3,0)...

Sexta sesión teórica (23/02/26)

4. Métodos de simplificación de formas bilineales

4.01 Proposición método de Lagrange

4.02 Ejemplos de completación de cuadrados

4.03 Proposición diagonalización por congruencia

4.04 Ejemplos de diagonalización por congruencias

4.05 Proposición criterio de Sylvester

Quinta sesión teórica (20/02/26)

3. Clasificación de formas cuadráticas

3.05 Teorema diagonalización de formas bilineales simétricas (R)

3.06 Definición signatura

3.07 Corolario sobre congruencias

3.08 Teorema Ley de Inercia de Sylvester

3.09 Clasificación mediante rango y signatura

Segunda sesión de problemas (18/02/26)

Problemas desde 001 hasta 011 (impares)

Cuarta sesión teórica (16/02/26)

2. Formas bilineales simétricas y cuadráticas

2.14 Lema del signo

2.15 Definición formas (semi)definidas

2.16 Ejemplos de formas (semi)definidas

3. Clasificación de formas cuadráticas

3.01 Proposición (sin demostración)

3.02 Definición suma ortogonal

3.03 Definición base ortogonal

3.04 Teorema diagonalización de formas bilineales simétricas (C)

Tercera sesión teórica (13/02/26)

Formas bilineales y cuadráticas

2. Formas bilineales simétricas y cuadráticas

2.07 Ejemplos de formas cuadráticas

2.08 Observación

2.09 Ejemplos de descomposición

2.10 Definición elementos ortogonales

2.11 Definición vectores conjugados

2.12 Proposición estructura conjunto ortogonal

2.13 Definición núcleo y degeneración

2.14 Lema del signo

Segunda sesión teórica y primera de problemas (11/02/26)

Formas bilineales y cuadráticas

1. Definiciones y expresión coordenada

1.10 Cambio de base

1.11 Matrices congruentes

1.12 Relación de equivalencia inducida

1.13 Rango

2. Formas bilineales simétricas y cuadráticas

2.01 Definición forma bilineal simétrica

2.02 Ejemplos de formas bilineales simétricas

2.03 Proposición relación con matrices simétricas

2.04 Definición forma cuadrática

2.05 Proposición descomposición de formas bilineales

2.06 Ejemplos de descomposición

Problemas desde 000 hasta 002

Primera sesión teórica (09/02/26)

Formas bilineales y cuadráticas

1. Definiciones y expresión coordenada

1.6 Definición matriz coordenada

1.7 Proposición ecuación coordenada

1.8 Proposición rango de matrices

1.9 Ejemplo matriz identidad y polinomios

Presentación de la asignatura (06/02/26)

Presentación de la asignatura

-Planificación docente (horario, tutorías y temario). Bibliografía básica.

-Métodos de evaluación. Libro abierto, flipping classroom.

-Campus virtual y recursos online: Linktree, polleverywhere, minwendel & feedback.

Formas bilineales y cuadráticas

1. Definiciones y expresión coordenada

1.1 Definición forma bilineal

1.2 Ejemplo base canónica

1.3 Ejemplo producto escalar

1.4 Proposición "prueba de fuego"

1.5 Definición forma bilineal restringida

UBU_0000_0000_alum.pdf

Ficha

UBU_9243_2526_lectu.pdf

Temario

UBU_9243_2526_prob.pdf

Problemas

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