Il corso di Matematica Discreta per il Corso di Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software prevede 56 ore di lezione e 30 ore di esercitazioni (per un totale di 7+2 CFU).
Si terrà dal giorno 30 Settembre '25 al giorno 18 Dicembre '25, al Dipartimento di Informatica, Aula B (I piano) secondo i seguenti orari:
Lunedì: 8.30 - 11.00
Martedì: 8.30 - 10.10
Giovedì: 9:00 - 11.30
La frequenza è fortemente raccomandata.
Questo corso ha l’obiettivo di introdurre le basi del linguaggio matematico, fornendo agli studenti gli strumenti necessari per comprendere e utilizzare concetti astratti. In particolare, verranno affrontate alcune nozioni fondamentali di matematica discreta, secondo il seguente programma.
Il programma del corso si compone - tentativamente - come segue:
elementi di logica e teoria degli insiemi;
funzioni, successioni e loro proprietà;
elementi di combinatoria;
numeri naturali e numeri interi. Equazioni diofantee;
strutture algebriche astratte: monoidi e gruppi;
elementi di algebra lineare e calcolo matriciale;
tempo permettendo: elementi di teoria dei grafi.
Comprensione della matematica e della logica di base. In particolare elementi di calcolo (equazioni e disequazioni), calcolo polinomiale e comprensione di base della teoria degli insiemi. Qualora lo studente si senta di dover colmare lacune pregresse, si consiglia di fare riferimento ad un qualsiasi testo di matematica di base. Si veda, per esempio:
A. Iannella, G. Meglioli, F. Punzo, Precorso di Matematica, Esculapio Ingegneria (2020)
Il testo consigliato per la preparazione dell'esame è il seguente:
G.M. Piacentini Cattaneo, Matematica discreta e applicazioni, Zanichelli
Altri testi utili per la preparazione dell'esame:
C. Delizia, P. Longobardi, M. Maj, C. Nicotera, Matematica discreta, McGraw-Hill
A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Zanichelli
K.H. Rosen, Discrete mathematics and its applications, McGraw-Hill
Sono disponibili dispense e moltissimi esercizi sul sito della Prof. D. Iacono.
Con riferimento agli argomenti trattati nella prima parte del corso, lo studente può anche fare riferimento alle note del Prof. V. Nardozza, sulla cui pagina web è possibile trovare anche molti esercizi e note.
L'esame del corso consiste in una prova scritta obbligatoria e in una prova orale facoltativa.
La prova scritta, della durata di 2 ore, si compone di esercizi e/o domande teoriche. Il voto della prova scritta è espresso in trentesimi (N/30). L'esame si considera superato qualora il voto sia maggiore o uguale a 18/30. Durante lo svolgimento della prova scritta, lo studente può servirsi di una calcolatrice (non scientifica).
La prova orale è riservata a coloro i quali hanno superato la prova scritta e si compone principalmente di domande teoriche (definizioni, teoremi e loro dimostrazioni).
Lo studente che superi la prova scritta scritta (voto maggiore o uguale a 18/30) e scelga di non sostenere la prova orale, avrà l'esame registrato con il voto ottenuto nella prova scritta.
Lo studente che, una volta superata la prova scritta, deciderà di sostenere la prova orale
dovrà ottenere un voto sufficiente (maggiore o uguale a 18) anche nella prova orale;
otterrà come voto finale dell'esame la media aritmetica tra i due voti, vale a dire (scritto + orale) /60.
Si noti che un orale insufficiente risulterà nella bocciatura. In questo caso lo studente dovrà ripetere la prova scritta in un appello successivo.
Il calendario esatto delle prove scritte sarà comunicato (si spera) a breve. Esso consterà in ogni caso di 8 appelli distribuiti come segue:
3 appelli tra Gennaio e Febbraio '26;
(14 Gennaio, 28 Gennaio, 11 Febbraio)
1 appello in Luglio '26;
2 appelli a Settembre '26;
1 appello a Novembre '26;
1 appello tra Marzo o Aprile '27.
Si prega di fare attenzione ai seguenti punti.
Le prove scritte sono calendarizzate in ESSE3 tra gli Appelli. È obbligatorio prenotarsi a sostenere la prova scritta tramite ESSE3 nei tempi specificati. Chi non risulta tra i prenotati non potrà sostenere la prova scritta.
I risultati vengono pubblicati in forma anonima alcuni giorni dopo la prova scritta.
Durante lo scritto viene inoltre comunicata la data in cui gli studenti possono, se lo desiderano, visionare il loro elaborato corretto. In questa data, gli esiti vengono poi inseriti su Esse3 e a quel punto inizierà la verbalizzazione digitale. Gli studenti che hanno superato la prova e vogliono accettare il voto, devono farlo sempre entro i termini stabiliti su Esse3. Chi non accetta il voto può ripetere la prova in uno qualsiasi degli appelli successivi.
Al fine di poter verbalizzare il superamento della prova d’esame, è essenziale che, prima dell’appello, lo studente abbia compilato il questionario di valutazione della didattica relativo al corso. Si sollecitano pertanto gli studenti a procedere alla compilazione del questionario al termine del corso, prima di prenotarsi alla prova scritta.
Gli studenti iscritti ad anni successivi al primo devono sostenere l’esame sul programma dell'anno in corso (2025/2026), con le modalità sopra elencate.
Per ragioni organizzative, gli studenti e le studentesse con disabilità, disturbi specifici dell'apprendimento e bisogni educativi speciali devono farmi pervenire l'idonea documentazione emessa dal servizio disabilità e dsa dell'Ateneo con debito anticipo rispetto al giorno dell'appello in cui intendono sostenere l'esame.
Non verranno accolte richieste verbali o informali presentate il giorno dell’esame per ottenere condizioni diverse di svolgimento della prova.
Lunedì ore 14.00-16.00 su appuntamento.
Per concordare un appuntamento o accordarsi su una data diversa, si prega di scrivere una mail a simone.noja@uniba.it con qualche giorno di anticipo.
Alternativamente, è possibile porre domande pubblicamente utilizzando il canale Matematica Discreta ITPS (L-Z) sulla piattaforma Microsoft Teams. Le domande (e le relative risposte) resteranno disponibili sul canale.
Le lezioni di giovedì 6 e 20 novembre si svolgeranno in modalità telematica sulla piattaforma Microsoft Teams. La lezione di giovedì 11 dicembre (6 ore) si svolgerà in forma ibrida in classe e contemporaneamente sulla piattaforma Microsoft Teams.
Per partecipare, gli studenti devono iscriversi al canale Matematica Discreta ITPS (L–Z) 2025/2026, per esempio utilizzando il codice univoco oauo534.
Il link di accesso alla lezione sarà pubblicato nella pagina principale del canale.
Si ricorda che per accedere al canale è necessario autenticarsi con le credenziali istituzionali del dominio studenti.uniba.it.
Di seguito sono riportate le date dei giorni di lezione e gli argomenti trattati. Si noti in ogni caso che il seguente elenco è da considerarsi una 'breve guida' al contenuto del corso, e come tale può non essere completo.
30 Settembre (2h): generalità e informazioni sul corso (e.g. le informazioni qui sopra!). Nozione di insieme, elementi di un insieme. Descrizione di un insieme via 1) elenco dei suoi elementi 2) proprietà caratteristica 3) diagrammi di Venn.
2 Ottobre (2+3=5h): operazioni tra insiemi e loro proprietà. Definizione (ed esempi) di inclusione, inclusione propria, uguaglianza, intersezione, insiemi disgiunti, unione, insieme complementare. Dimostrazione delle Leggi di De Morgan.
6 Ottobre (5+3=8h): operazioni tra insiemi e loro proprietà: insieme differenza e suo rapporto con complementare, insieme delle parti, prodotto cartesiano. Logica: esempi di proposizioni e non-esempi. Connettivi logici e loro tavole di verità: negazione, congiunzione, disgiunzione, tautologia e contraddizione, implicazione e doppia implicazione. Proposizioni equivalenti.
7 Ottobre (8+2=10h): dimostrazione di alcune equivalenze di proposizioni (e.g. P implica Q equivale a non Q implica non P). Esercizi: elencare elementi di insiemi e dimostrare inclusioni ed uguaglianza di insiemi.
9 Ottobre (10+3=13h): esercizi su insiemi (inclusioni e controesempi) e logica (proposizioni da lingua corrente a forma logica e viceversa, tavole di verità e negazione di proposizioni).
13 Ottobre (13+3=16h): definizione di funzione, funzioni coincidenti, immagine, controimmagine e grafico di funzione. Proprietà di immagine e controimmagine rispetto ad unione ed intersezione. Esempi ed esercizi.
14 Ottobre (16+2=18h): funzioni iniettive, suriettive e biettive. Composizione di funzioni. Esempi ed esercizi.
16 Ottobre (18+5=23h): proprietà della composizione di funzioni. Funzione inversa. Teoremi: 1) se esiste, l'inversa è unica. 2) una funzione è invertibile se e solo se biettiva. Proprietà della funzione inversa. Esempi ed esercizi su funzioni e loro proprietà. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Teoremi: un insieme è finito se e solo non può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottinsieme proprio. Esercizi su funzioni: buona definizione, funzioni iniettive e suriettive.
20 Ottobre (23+3=26h): l'insieme dei naturali è equipotente all'insieme degli interi. Principio d'induzione: cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme di cardinalità finita, la somma dei primi N numeri è uguale a N(N+1)/2. Esercizi su funzioni: verifica di iniettività, suriettività e calcolo dell'inversa di funzioni.
21 Ottobre (26+2=28h): esercitazioni su iniettività e suriettività di funzioni e calcolo della funzione inversa. Esercitazioni su applicazione del principio di induzione (formula chiusa per somme di numeri e divisibilità).
23 Ottobre (28+3=31h): definizione di successione, successione definita per ricorrenza e formula chiusa di una successione. Progressione aritmetica, geometrica e numeri fattoriali. Definizione e proprietà della sommatoria.
27 Ottobre (31+3=34h): combinatoria. Cardinalità dell'unione di insiemi: il caso di due e tre insiemi. Cardinalità del prodotto cartesiano di insiemi. Esempi ed esercizi. Disposizioni semplici di N oggetti di classe K: il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità K ad un insieme di cardinalità N. Funzioni biettive da un insieme di cardinalità N in sé. Combinazioni di semplici di N oggetti di classe K: il coefficiente binomiale calcola il numero di sottinsieme di cardinalità K di un insieme di cardinalità N. Esempi.
28 Ottobre (34+2=36h): proprietà del coefficiente binomiale. Cardinalità dell'insieme delle parti usando il coefficiente binomiale. Esercizi su successioni, sommatorie e principio d'induzione.
30 Ottobre (36+3=39h): disposizioni con ripetizione di N oggetti di classe K: il numero delle funzioni tra due insiemi di cardinalità finita. Combinazioni con ripetizione di N oggetti di classe K. Esempi ed esercizi.
3 Novembre (39+3=42h): relazioni. Relazioni d'ordine parziale, insiemi parzialmente e totalmente ordinati. Relazioni di equivalenza. Esempi ed esercizi.
4 Novembre (42+2=44h): esercizi di combinatoria. 'Principio dei cassetti' e sue applicazioni.
6 Novembre (44+1=45h): definizione di classe di equivalenza e sue proprietà. Teorema: 1) un elemento appartiene alla sua classe 2) se due elementi sono equivalenti le loro classi coincidono 2) se due classi sono diverse, allora sono disgiunte.
10-14 Novembre: PAUSA LEZIONI
17 Novembre (45+3=48h): definizione di partizione. Relazione tra partizione e classi di equivalenza. Definizione di insieme quoziente ed esempi. Numeri interi: definizione di divisore. Interi associati. Lemma: se un numero divide due numeri, allora divide le loro combinazioni lineari. Quoziente e resto. Esempi.
18 Novembre (48+2=50h): esercizi di combinatoria. configurazioni e loro simmetrie.
20 Novembre (51+3=53h): massimo comune divisore e sue proprietà. Algoritmo di Euclide ed identità di Bezout. Minimo comune multiplo. Equzioni diofantee: ax+by=c ha soluzioni se e solo se MCD(a, b)|c. Se un'equazione diofantee ammette una soluzione, allora ne ammette infinite.
24 Novembre (54+3=57h): esempi di equazioni diofantee. I numeri primi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Divisori e MCD via teorema fondamentale dell'aritmetica. I numeri primi sono infiniti.
25 Novembre (57+3=60h): compito di autovalutazione.
27 Novembre (59+3=63h): congruenze modulo n. L'insieme quoziente Z/nZ. Proprietà delle congruenze. Piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero e Teorema di Eulero Fermat. Criteri di divisibilità per 2, 5, 3, 9. Congruenze lineari. Esempi ed esercizi.
1 Dicembre (62+3=66h): una cogruenza lineare ax congruente b mod n ha soluzione se e solo MCD(a,n) | b. Se una congruenza lineare ha una soluzione, allora ha MCD(a,n) soluzioni non congruenti modulo n. Esempi ed esercizi. Operazioni e strutture algebriche: associatività, elemento neutro, monoide, commutatività ed elemento invertibile. Esempi. Definizione di gruppo ed esempi.
2 Dicembre (65+2=68h): esercizi su relazioni e insieme quoziente. Esercizi su algoritmo di Euclide e identità di Bezout. Esercizi su equazioni diofantee e congruenze.
4 Dicembre (67+3=71h): operazioni compatibili con relazioni di equivalenza: la congruenza modulo n è compatibile con le operazioni di somma e prodotto in Z. Il gruppo abeliano (Z_n, somma) e il monoide (Z_n, moltiplicazione). Invertivilità nel monoide (Z_n, moltiplicazione). Definizioni di ordine di un gruppo, sottogruppo, sottogruppo ciclico generato da un elemento, gruppo ciclico. Esempi. Il gruppo simmetrico: definizione ed esempi. Composizione ed inverso.
9 Dicembre (71+2=73h): cicli e scambi. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di cicli disgiunti. Un ciclo di lunghezza k ha ordine k, l'ordine di una permutazione è il mcm della lunghezza dei suoi cicli. Ogni ciclo di lunghezza maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di scambi. Parità di una permutazione. Esempi ed esercizi.
11 Dicembre (73+6=79h): definizione di matrice. Trasposta di una matrice. Matrice quadrata. Diagonale e matrice identità. Operazioni con le matrici: moltiplicazione per scalare, somma di matrici e sue proprietà, prodotto di matrici e sue proprietà. Matrice invertibile. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Definizione di determinante: formula di Laplace. Complemento algebrico e matrice inversa. Esempi ed esercizi. Esercizi su strutture algebriche.
15 Dicembre (78+3=82h):
16 Dicembre (81+2=84h):
18 Dicembre (83+3=87h):
Note sulle due leggi di De Morgan.
Esercizi su insiemi e logica.
Esercizi su funzioni e loro proprietà.
Esercizi sul Principio d'Induzione.
Esercizi su successioni e serie.
Esercizi su combinatoria.
Esercizi sulle relazioni.
Compito di autovalutazione (con soluzioni) - prima parte del programma
Esercizi su interi, equazioni diofantee e congruenze.
Esercizi su strutture algebriche e gruppi.
Esercizi su matrici e sistemi lineari.
Esercizi sui numeri complessi.
Regalo di Natale: compito di autovalutazione (con soluzioni) - seconda parte del programma