坂本の研究内容について
私が研究しているのはBoltzmann方程式と呼ばれる次の方程式です:
この方程式は希薄気体 (例: 地上から100km上空の宇宙空間)の運動の基礎方程式として知られています。流体の方程式としてはNavier-Stokes方程式が有名ですが、これは(我々の身近な水や空気のように)流体や気体の密度が十分高く連続体として扱うことができるときに適切なモデルです。対してBoltzmann方程式が扱う状況は、非常に薄い気体において気体をなす分子は別の分子とある程度離れているというもので、そのときの分子の相互作用効果を取り入れているのが右辺のQという項です。多くの粒子がなす系ということで、確率論や力学系からのアプローチでの研究もありますが、私は上の方程式を解析するという偏微分方程式論からのアプローチを採っています。
方程式はBoltzmannによって1872年に提唱されましたが、Qという項の取り扱いにくさから、数学的に厳密な解が与えられたのは1960年代になってからでした。しかしそれは物理的には単純化された場合の問題で、より物理的に自然な設定下で解が存在するか、それは一意か、どのような性質を持つかということは様々な未解決問題があります。
特に、2010年頃いわゆる非切断仮定という仮定(2000年より以前に解の存在が議論されていたケースより物理的に自然な場合)のもとで解の一意存在や正則性を示したブレイクスルーがあり、私の研究はこの流れに従うものです。即ち、主に非切断仮定下においてBoltzmann方程式はどのような関数のクラスに一意な解をもつか、またその解の性質はどうなっているかということを調べるのが一番の目標です。
その他、Boltzmann方程式以外に希薄気体を種々の物理的仮定に応じて数理モデル化したものたちを一般に運動論方程式と申しますが、これら他の方程式の解析、あるいは運動論方程式のモデリング方法を用いて生物学に現れる現象をモデル化した方程式など構造上関連する方程式の解析にも興味があります。
主要業績(と思われるもの)
An $L^1\cap L^p_k$ approach for the non-cutoff Boltzmann equation in $\mathbb{R}^3$ (co-authored with Renjun Duan and Yoshihiro Ueda), SIAM Journal on Mathematical Analysis, 54(1) (2024)
Global Mild Solutions of the Landau and Non‐Cutoff Boltzmann Equations (co-authored with Renjun Duan, Shuangqian Liu, and Robert M. Strain), Communications on Pure and Applied Mathematics 74(5) (2021), 932-1020.
Global solutions in the critical Besov space for the non-cutoff Boltzmann equation (co-authored with Yoshinori Morimoto), Journal of Differential Equations 261(7) (2016), 4073-4134.
論文一覧 (順番はMathSciNetのそれに従う)
An $L^1\cap L^p_k$ approach for the non-cutoff Boltzmann equation in $\mathbb{R}^3$ (co-authored with Renjun Duan and Yoshihiro Ueda), SIAM Journal on Mathematical Analysis, 54(1) (2024)
Boundary layers of the Boltzmann equation in three-dimensional half-space (co-authored with Masahiro Suzuki and Katherine Zhiyuan Zhang), Journal of Differential Equations, 314 (2022), 446-472.
Global solutions to an equation for mutation process in bacteria and its preservation of positive supports, Journal of Mathematical Analysis and Applications 507(1) (2022), 125771.
Global Mild Solutions of the Landau and Non‐Cutoff Boltzmann Equations (co-authored with Renjun Duan, Shuangqian Liu, and Robert M. Strain), Communications on Pure and Applied Mathematics 74(5) (2021), 932-1020.
Spectra of expanding maps on Besov spaces (co-authored with Yushi Nakano), Discrete and Continuous Dynamical Systems 39(4) (2019), 1779-1797.
Solution to the Boltzmann equation in velocity-weighted Chemin-Lerner type spaces (co-authored with Renjun Duan), Kinetic and Related Models 11(6) (2018), 1301-1331.
Global solutions in the critical Besov space for the non-cutoff Boltzmann equation (co-authored with Yoshinori Morimoto), Journal of Differential Equations 261(7) (2016) 4073-4134.
Some remarks on the homogeneous Boltzmann equation with the fractional Laplacian term, Osaka Journal of mathematics 53(3) (2016) 621-636.
Preprints
38. Global solution to the Boltzmann equation without angular cutoff in $(L^1 \cap L^p)_k$
流体と気体の数理解析 2023年7月7日
37. Global solution to the Boltzmann equation without cutoff on the whole space in (L1∩Lp)k
応用解析研究会 2023年6月24日
36. Global solution to the Boltzmann equation without cutoff on the whole space in (L1∩Lp)k
九州関数方程式セミナー 2023年5月12日
35. Global solution to the Boltzmann equation without cutoff on the whole space in $(L^1 \cap L^p)_k$
Kyoto-CAU Joint Meeting on Nonlinear PDEs 2023年3月30日
34. A Cauchy problem of the Boltzmann equation without angular cutoff near an equilibrium in low-regularity spaces
Rigorous Statistical Mechanics and Related Topics 2022年11月16日 RIMS, Kyoto University
33. Global solution to the Boltzmann equation without cutoff on the whole space via L1∩Lp energy method
Analysis Seminar 2022年11月10日 Institute of Mathematics, Academia Sinica (Online)
32. Global solution to the Boltzmann equation without angular cutoff in a low-regularity space on the whole space
The Eighth Japan-China Workshop on Mathematical Topics from Fluid Mechanics 2022年10月28日 (Online)
31. Global solution to the Boltzmann equation without cutoff on the whole space via $L^1 \cap L^p$ approach IMS Analysis Seminar 2022年9月14日
30. The well-posedness of the Boltzmann equation without angular cutoff in some Banach-algebra spaces
International Workshop on Multi-Phase Flows: Analysis, Modelling and Numerics 2021年11月30日 (Online)
29. The stability of a solution to the Boltzmann equation in the 3D half-space
International Workshop on Recent Advances in Nonlinear PDEs 2021年6月20日 (Online)
28. 3次元半空間におけるボルツマン方程式の初期値境界値問題の漸近安定性
日本数学会2021年度年会 2021年3月18日
27. Solutions to the Boltzmann equation without angular cutoff in the Wiener space
応用解析研究会 2020年10月3日
26. Global solution of the Boltzmann equation without angular cutoff in the Wiener space
京都大学NLPDEセミナー 2020年6月26日 (Online)
25. 非切断ボルツマン方程式の摂動初期値問題及び初期値境界値問題の時間大域解
日本数学会2020年度年会 2020年3月19日
24. 微生物の突然変異を記述する運動論的モデルの一意大域解と初期確率測度の台の非負性保存
第9回岐阜数理科学研究会 2019年9月11日 岐阜大学
23. Unique existence of a solution to the Boltzmann equation near Maxwellian in the Wiener space
RIMS 研究集会 偏微分方程式の臨界現象と正則性理論及び漸近解析 2019年5月29日 京都大学
22. Unified theory of construction of global solutions to the Landau and Boltzmann equations
名古屋微分方程式セミナー 2019年5月27日
21. On recent progress of the Cauchy problem of the Boltzmann equation near Maxwellian
大阪大学 微分方程式セミナー 2019年4月26日
20. バクテリアの突然変異体の増殖を記述する方程式の運動論的定式化とその確率測度解
日本数学会2019年度年会 2019年3月19日
19. Global solution to the Boltzmann equation in a velocity-weighted Chemin-Lerner type space
流体と気体の数理解析 2018年7月4日
18. 速度重み付きChemin-Lerner空間におけるボルツマン方程式のコーシー問題の大域解
応用数学セミナー 2018年4月19日
17. 重み付きChemin-Lerner型空間におけるボルツマン方程式の解
日本数学会2018年度年会 2018年3月21日
16. Solution to the Boltzmann equation in velocity-weighted Chemin-Lerner type space
第11 回若手のための偏微分方程式と数学解析 2018年2月16日
15. 重み付きChemin-Lerner 空間上のBoltzmann 方程式の解の構成
第43回発展方程式研究集会 2017年12月26日
14. Solution to the Boltzmann equation without angular cutoff in a critical Chemin-Lerner space
Seminar at CUHK 2017年8月28日
13. 希薄気体中における粘性摩擦の数理解析
第8回白浜研究集会 2016年11月28日
12. ベゾフ空間上の拡大写像の転移作用素のスペクトル
力学系とその関連分野の連携探索 2016年6月7日
11. Chemin-Lerner空間に初期値をとるボルツマン方程式の時間大域解
日本数学会2016年度秋季総合分科会 2016年6月7日
10. 非切断Boltzmann 方程式のChemin-Lerner空間における大域解
第７回白浜研究集会 2015年12月9日
9. Global well-posed theory in the critical Besov space for the non cut-off Boltzmann equation
CAU-Kyoto U. Joint Workshop on Nonlinear PDEs 2015年9月22日
8. Global solutions in the critical Besov space for the non-cutoff Boltzmann equation
第37回発展方程式若手セミナー 2015年8月26日
7. The Boltzmann equation in the critical Besov space
第30回松山キャンプ 2015年1月6日
6. 拡散項付きボルツマン方程式の無限エネルギー解
第６回白浜研究集会 2014年12月3日
5. Some remarks on the homogeneous Boltzmann equation with the fractional Laplacian term
Doctorial Forum of Mathematics between Fudan and Kyoto Universities 2014年11月4日
4. 空間一様・マクスウェル型で拡散項を持つボルツマン方程式の解について
2014年度偏微分方程式論集中セミナー 2014年8月7日
3. Wasserstein計量を用いた運動論的Fokker-Planck方程式の解の構成
確率論早春セミナー 2014年3月7日
2. Wasserstein計量を用いた運動論的Fokker-Planck方程式の解の構成
第5回白浜研究集会 2013年12月4日
1. 圧縮性粘性流の初期値問題
第４回白浜研究集会 2012年12月4日