Shape Seminar
第4回 2024年6月24日（月）16:00--18:00
会場：東北大学 合同A棟8階801講義室 www.sci.tohoku.ac.jp/campusmap/
発表者：可香谷 隆 氏 (室蘭工業大学)
タイトル：Sharp interface limit for a quasi-linear large deviation rate function
アブストラクト：
本講演では，大偏差原理で現れるある汎関数に対する特異極限問題を考察する．汎関数の特徴として，Allen-Cahn方程式の解が最小解であることが挙げられる．Allen-Cahn方程式の解は，近似パラメータの極限を取ると，Sharp interfaceが現れ，平均曲率流によって動くことが知られている．本講演で扱う汎関数に対しては，一般の曲面流に対し，曲面流をSharp interface として生成するある関数の形に制限すると，その関数クラス上で，汎関数が平均曲率流を最小解とする曲面流に対するある汎関数にガンマ収束することを示す．
本講演の内容は，九州大学の角田謙吉氏との共同研究に基づく．
第3回 2024年2月5日（月）16:00--18:00
会場：東北大学 レジリエント社会構築イノベーションセンター 306 大会議室 https://www.mccs.tohoku.ac.jp/access.html
発表者：遠藤 凌輝 氏 (新潟大学 大学院自然科学研究科)
タイトル：微分作用素の固有値に関する形状微分公式の精度保証付き数値計算と多角形領域の幾何
アブストラクト：
ラプラシアンの固有値と図形の形状の関係に関わる研究はユークリッド空間の領域だけでなく，離散グラフや一般のリーマン多様体上で考察され，様々な分野の研究者による重要な貢献がなされてきた．しかしラプラシアンの固有値問題は多角形領域という単純な構造を持つ図形においてさえまだあまり理解されていない．本講演では多角形領域における固有値の形状微分に対する精度保証付き数値計算の理論と，形状最適化問題や重複度に関する未解決問題への応用を解説する．本研究は劉雪峰教授 (東京女子大学) の指導の下で行っている研究である．
第一部では近年主に劉教授によって開発されてきた微分作用素の固有値と固有関数に関する精度保証理論について議論する．本講演では非適合有限要素法を用いたラプラシアンの固有値に対する下界評価理論と，Rayleigh商の残差とmin-max原理に基づいた固有関数の誤差評価理論について述べる．
第二部では単純固有値に対する形状微分の精度保証理論と，非斉次ノイマン境界条件を持つ固有値に関する形状最適化問題への応用を解説する．
第三部では固有値が重複となる領域の近傍における固有値の差分商に対する新しい公式を示し，その精度保証理論を論じる．さらにその公式の系として，1980年代にB.Rousseletによって得られた重複固有値に対する方向微分公式を得る．応用として，三角形領域におけるラプラシアンのディリクレ第２，第３固有値の重複度に関する未解決問題に対して，部分的な解答を与える．
第2回 2023年11月20日（月）16:00--18:00
会場：東北大学 レジリエント社会構築イノベーションセンター 306 大会議室 https://www.mccs.tohoku.ac.jp/access.html
発表者：Clément Moreau 氏 (京都大学 数理解析研究所 )
タイトル：Shapes optimising grand resistance tensor entries for a rigid body in a Stokes flow
アブストラクト：
Stokes flow characterizes the behaviour of a fluid for which viscosity effects predominate over inertial effects (low Reynolds number), which is typically the case at microscopic scale (e.g. micro-organisms and micro-robots). At this regime, there is a linear relationship between the motion of a body and the effects (forces and torques) it experiences. This relationship is materialised by the grand resistance tensor, which contains a finite number of parameters depending intrinsically on the shape of the object, and notably not on the boundary conditions of the fluid flow.
In a way, the grand resistance tensor encodes all the relevant hydrodynamic information about the shape; hence, it makes sense to optimise the shape of a body with respect to one or several of these parameters, to achieve objectives such as finding the object opposing the least resistance to a given force in one direction, or generating the highest translational speed when submitted to a given torque. Solutions were found for optimal drag since the 1970s and more recently in particular cases of elongated bodies, but the problem remains open in all generality.
In this talk, I will present a theoretical approach to shape optimisation at low Reynolds number, using the framework of Hadamard shape derivatives, which has the advantage of working for a very general class of shapes. I will show that the optimisation of any entry of the resistance tensor amounts to a single, simple formula for the shape derivative, which depends on the solution of two Stokes problems whose boundary conditions depend on the considered entry. Then, I will address some issues about the numerical implementation of a suitable optimisation algorithm and discuss some numerical results, including the existence of many local minima and the emergence of chirality.
This work was conducted in collaboration with Prof. Kenta Ishimoto (Kyoto University) and Prof. Yannick Privat (Université de Strasbourg).
第1回 2023年9月7日（木）16:00--18:00
会場：東北大学 レジリエント社会構築イノベーションセンター 306 大会議室 https://www.mccs.tohoku.ac.jp/access.html
発表者：岡本 潤 氏 (京都大学高等研究院 ヒト生物学高等研究拠点)
タイトル：結び目と界面 : 形状汎関数の解析
アブストラクト：
形状汎関数とは，形状から実数の写像のことである．形状汎関数の最小化問題は，「最適なかたち」を探る重要な課題である．
本講演は，形状汎関数に関する内容の三部構成からなる．
第一部では，結び目の形状汎関数であるO'Haraエネルギーのランダムな離散化について議論する．本講演では，O'Haraエネルギーの確率変数を用いた離散近似を定義して，最適輸送理論に基づいた空間における離散エネルギーのΓ収束性，さらにはコンパクト性の結果を報告する．
第二部では，界面の形状汎関数であるKobayashi--Warren--Carterエネルギーの特異極限問題について議論する．本講演では，「スライス-グラフ収束」という概念を導入し，Kobayashi--Warren--Carterエネルギーの精密な特異極限の特徴づけの結果を報告する．
第三部では，形状汎関数の可視化について議論する．本講演では，異なる二つの形状を極値として持つようなダブルウェルの形状汎関数を導入し，最適輸送理論と多次元尺度構成法（MDS）に基づく低次元化により，形状汎関数の可視化に成功したことを報告する．