Resumen: Classical results of Sullivan and Kirby–Siebenmann may be used to see that the map from the space BO (classifying stable vector bundles) to the space BTop (classifying stable bundles of Euclidean spaces) is a rational homotopy equivalence. Therefore the familiar Pontrjagin classes of vector bundles must arise from more mysterious invariants of bundles of Euclidean spaces. For bundles of d-dimensional Euclidean spaces, one may ask whether the identities among Pontrjagin classes familiar from d-dimensional vector bundles continue to hold. To everyone’s great surprise, Weiss has shown that they need not. I will explain an elaboration of Weiss’ results, using completely unrelated methods: there are no relations at all among (Euler and) Pontrjagin classes for bundles of d-dimensional Euclidean spaces, whenever d ≥ 4. This is joint work with S. Galatius. 

Resumen: Let M_n := CP^2 \# n \overline{CP}^2 for $0 \leq n \leq 8$ be the underlying smooth manifold of a degree (9-n) del Pezzo surface. The (topological) mapping class group of M_n is the group Mod(M_n) of isotopy classes of homeomorphisms of M_n. In this talk, I will give a classification of all elements of order 2 in Mod(M_n) and deduce a positive solution to the Nielsen realization problem for order-2 subgroups of Mod(M_n). I will also discuss a connection to the Nielsen realization problem for a certain maximal torsion-free, abelian subgroup of Mod(M_n). 

Resumen: El concepto de álgebra de Azumaya sobre un esquema es una generalización del concepto de álgebra central simple sobre un campo.  La versión topológica de esta generalización recibe el nombre de álgebra topológica de Azumaya. Estas álgebras han probado su utilidad para producir ejemplos de álgebras de Azumaya con propiedades interesantes y para responder preguntas que son difíciles de probar algebraicamente. En esta charla explicaré la definición de un álgebra topológica de Azumaya sobre un espacio y hablaré sobre el problema de descomposición con respecto al producto tensorial. 

Resumen: La cohomología racional del espacio de configuraciones de elementos que conmutan en un grupo compacto de Lie está determinado por la acción del grupo de Weyl sobre el espacio de configuraciones de su toro maximal. Esto se puede usar para determinar fenómenos de estabilidad (co)homológica y otros cálculos inestables. En esta charla comenzaré con motivación para el estudio de estos espacios y el caso de SU(2), donde el tipo de homotopía puede ser determinado completamente. Después describiré los resultados de estabilidad mencionados anteriormente y otros cálculoss interesantes de cohomología. Este trabajo es conjunto con Ángel R. Jiménez.

Resumen: Los invariantes Sigma son unos invariantes de tipo geométrico asociados a un grupo finitamente generado y que permiten determinar las propiedades homológicas y homotópicas de finitud de subgrupos coabelianos. Los invariantes Sigma de grupos de Artin de ángulo recto han sido calculados por Meier, Meinert y VanWyck. Su resultado ha sido extendido parcialmente a otros grupos de Artin pero el caso general permanece abierto, incluso para el primer invariante Σ¹. En esta charla revisaremos algunos avances en esta dirección obtenidos conjuntamente con Marcos Escartín.