開水路において流れが射流から常流に変わるとき、流れの速度が減少し、水深が急激に増大します。この現象を跳水といい、水面は不連続な流れとなります。

射流水深と常流水深の比には対応関係があり、跳水時の両水深を共役水深と呼びます。ここでは、共役水深とエネルギー損失の関係式を求めていきます。まずは、運動量方程式から式を立てていきます。このとき、水路の底に働くせん断力は無視していきます。

運動量方程式を式変形します。面倒な方は飛ばしても構いません。

このとき、両辺に2/(gh₁)を掛けて式を整理します。

ここで、フルード数を使って2次方程式の解を求めていきます。このとき、共役水深が負となる解は実際の現象として起こることがないので除いていきます。

同様に、h₁とh₂の比を逆にした式もあります。

この式からどちらかの水深を求めれば、もう一方の水深が計算できることになります。次に、エネルギーの減少量を求めるためにベルヌーイの定理から式を立てていきます。ちなみに、跳水によるエネルギー損失は渦が発生したために起きています。

この式のv₂を消去していきます。消去するために連続の式を使います。

ここで、上で求めたv₁²の式を使います。v₁²を⊿Eの式に代入します。

上式からわかるように、常流水深と射流水深の変化量が小さければエネルギー損失は少なくなり、渦が発生せず水面は波状となります。このような跳水を波状跳水といいます。

まとめとして、跳水によって発生するエネルギー損失は射流水深と常流水深さえあれば簡単に算出することができます。また、射流水深と常流水深の一方を測定すれば、もう一方を計算によって出すことができます。