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Composante alpha-stable

Dans un travail avec Bénédicte Haas et Christina Goldschmidt (https://arxiv.org/abs/1811.06940), nous étudions les propriétés d'un espace métrique aléatoire que nous appelons la composante alpha-stable. Cette composante alpha-stable apparaît comme limite d'échelle des composantes connexes de modèles de configuration critiques à queue lourde. Cette composante alpha-stable est presque un arbre, à un nombre fini de cycle près, nombre que l'on appelle le surplus.

Alpha=1.5, surplus=2

Alpha=1.7, surplus=2

Espaces métriques construits par recollement

Les images ci-dessous sont générées selon le modèle étudié dans mon article Random gluing of metric spaces. Ici la suite de poids (w_n) utilisée est w_n=n^-3/2 pour les trois figures. Pour les deux figures statiques, les suites de rayons des sphères/cercles utilisés sont n^-1/2. Dans la figure animée, on a couplé la construction pour différentes suites lambda_n=n^-alpha, avec alpha entre 0.1 et 1.

Arbres aléatoires construits par agrégation

Les arbres ci-dessous sont construits selon le procédé décrit dans l'article Random trees constructed by aggregation de Curien et Haas. On se donne une suite (a_i) de réels positifs, la construction est ensuite itérative. On commence au temps 1 avec un segment de longueur a_1. Pour passer du temps n au temps n+1, on choisit un point uniformément sur l'arbre construit jusque là et on y colle un segment de longueur a_{n+1}. Les images représentent l'arbre obtenu après 1000 itérations de la procédure. Pour l'image de gauche, on a a_i=i^-1/2, pour celle de droite a_i=i^-1/3.

Arbre couvrant minimal d'un graphe complet

Voici une simulation d'un arbre couvrant minimal du graphe complet à 30 000 sommet. D'après cet article d'Addario-Berry, Broutin, Goldschmidt et Miermont, cet arbre aléatoire renormalisé par n^1/3, converge en loi vers un arbre aléatoire continu. Cette simulation est issue d'une conversation stimulante avec Othmane Safsafi à propos des propriétés d'auto-similarité de tels arbres, à l'école d'été de Saint-Flour.

Grande composante de modèle de configuration critique

Voici des simulations que j'ai faites pendant mon stage de recherche à Oxford avec Christina Goldschmidt en 2015. Ces images représentent des grandes composantes connexes issues de graphes construits en utilisant un modèle de configuration avec degrés i.i.d., en utilisant une loi à queue polynomiale, critique (voir l'article d'Adrien Joseph qui prouve la convergence en loi des tailles de ces composantes). Le modèle dépend d'un paramètre gamma, entre 3 et 4.

Gamma = 3.5

Gamma = 3.8

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