Charlas 2024

La propiedad de "inmersiones no positivas" es una variante topológica de curvatura no positiva en el contexto de 2-complejos (CW-complejos de dimensión 2). Fue introducida por D. Wise hace 20 años para estudiar ciertas propiedades (algebraicas) de sus grupos fundamentales (coherencia, indicabilidad local, propiedades cohomológicas) y problemas de homotopía (por ejemplo, asfericidad).

Recientemente el estudio de inmersiones no positivas volvió a cobrar relevancia en teoría geométrica de grupos especialmente por su relación con la conjetura de Baumslag (sobre coherencia de grupos one-relator).

En estas dos charlas contaremos las ideas, ejemplos y aplicaciones más relevantes de las inmersiones no positivas, y luego presentaremos algunos resultados recientes de nuestro grupo en este tema.

En 1986 M. Culler y K. Vogtmann introdujeron el "Outer space" asociado al grupo de automorfismos exteriores Out(Fn) del grupo libre Fn de rango n. Los puntos del Outer space son grafos métricos de volumen 1 con vértices de valencia al menos 3, y una marca de Fn (o sea una equivalencia homotópica con la rosa de n pétalos). La topología se obtiene variando continuamente las longitudes de las aristas de los grafos, y su clausura simplicial coincide con la realización geométrica del poset de free splittings de Fn. Las propiedades métricas y topológicas de estos espacios son estudiadas desde hace varios años y tienen relación con la generación de los subgrupos de Out(Fn) y el cálculo de (co)homología de Out(Fn) y Aut(Fn).

En esta charla, veremos cómo el estudio del Outer space de Culler-Vogtmann, y su análogo para el estudio de Aut(Fn), están relacionados con las propiedades homotópicas de diferentes complejos de factores libres de los grupos libres, los cuales son cruciales a la hora de demostrar estabilidad homológica de Aut(Fn) y Out(Fn). Hablaremos también sobre varias preguntas abiertas en el área, y de algunos avances recientes al respecto. La charla será totalmente autocontenida.

Los grupos de Artin constituyen una de las familias de grupos más estudiadas en teoría geométrica de grupos. Son una generalización de los grupos de trenzas y están estrechamente relacionados con los grupos de Coxeter (grupos de reflexiones). Al igual que ellos, se definen a partir de un grafo finito etiquetado. Existen actualmente muchos problemas abiertos (de naturaleza algebraica y geométrica) sobre los grupos de Artin, de los cuales se sabe su respuesta sólo para ciertas subfamilias.

En un trabajo conjunto con Alexandre Martin y Nicolas Vaskou, estudiamos morfismos en algunas clases de grupos de Artin de tipo large que son "genéricas" en cierto sentido. Para grupos de Artin de tipo XL cuyos grafos correspondientes son completos, describimos completamente todos los morfismos entre ellos. En particular probamos que todos esos grupos son hopfianos y co-hopfianos. Para grupos de Artin de tipo XXXL, determinamos completamente cuándo estos grupos tienen grupo de automorfismos exteriores finito, y cuándo son co-hopfianos. Más aún, cuando el grafo no tiene un cut-vertex, exhibimos un conjunto de generadores para el grupo de automorfismos.

Comenzaremos la charla con una breve introducción a la teoría de grupos de Artin y luego contaremos las ideas detrás de nuestros resultados. La charla será autocontenida y sólo son necesarios conocimientos básicos de teoría de grupos y complejos simpliciales.