Seminario de Topología
Departamento de Matemática, FCEyN, UBA

Un espacio de Alexandroff (o A-espacio) es un espacio topológico tal que la intersección arbitraria de abiertos es abierta. En 1966, McCord probó que todo poliedro (y luego todo espacio topológico) es débilmente equivalente a un A-espacio.

La familia de los A-espacios es cerrada por tomar colímites y, en 2009, Clader demuestra que todo poliedro finito es homotópicamente equivalente a un límite de A-espacios.

En esta charla hablaremos de este resultado y una generalización debida a Bilski: todo poliedro es retracto por deformación fuerte de un límite de espacios de Alexandroff.

Un grupo se dice coherente si todo subgrupo finitamente generado es finitamente presentado. La coherencia es una propiedad clásica de teoría combinatoria y geométrica de grupos que tomó aún más relevancia en los últimos años, en particular a partir de la reciente resolución por Jaikin-Zapirain y Linton de la conjetura de Baumslag sobre la coherencia de los grupos one-relator.

En esta charla introduciremos algunas ideas y ejemplos vinculados con la coherencia. Explicaremos el rol de la propiedad de inmersiones no positivas y de los grupos localmente indicables en este contexto, y discutiremos resultados recientes de Marco Linton que, junto con técnicas desarrolladas en el trabajo sobre la conjetura de Baumslag, permiten derivar la coherencia de grupos con presentaciones de Wirtinger generalizadas.

La charla será autocontenida y sólo requerirá conocimientos básicos de topología algebraica.

Sea G un grupo hiperbólico cuya frontera de Gromov es homeomorfa a la esfera S^2. ¿Es entonces G Kleiniano? En otras palabras, ¿es G virtualmente el grupo fundamental de una 3-variedad hiperbólica? Esta pregunta, conocida como la conjetura de Cannon, es uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de 3-variedades.

En esta charla explicaremos el significado de estos conceptos y presentaremos la motivación detrás de la conjetura. Además, si el tiempo lo permite, comentaremos una versión relativa de la conjetura que, según algunos expertos, podría ser más accesible (léase menos imposible).

Una 3-variedad M es irreducible si toda 2-esfera S embebida en M es borde de una bola B (embebida en M). Un resultado de Howie y Short asegura que el grupo fundamental de toda 3-variedad irreducible y orientable M con H_1(M) infinito es localmente indicable. Un grupo G se dice localmente indicable si todo subgrupo finitamente generado y no trivial de G admite algún morfismo no nulo a los enteros. Estos grupos son muy estudiados en teoría geométrica de grupos y están relacionados con problemas de curvatura y asfericidad.

En la primera parte de la charla vamos a ver varios resultados básicos sobre 3-variedades, incluyendo la relación que hay entre variedades irreducibles, primas y asféricas. Veremos también por qué los complementos de los nudos clásicos en S^3 son asféricos (y por lo tanto irreducibles).

En la segunda parte de la charla contaré la demostración del resultado de Howie y Short, del cual deduciremos que los grupos de nudos son localmente indicables. Si hay tiempo, al final hablaré de algunos problemas que se están investigando actualmente en el área relacionados con este resultado.