Seminario de Topología
Departamento de Matemática, FCEyN, UBA

Una triangulación minimal de un espacio compacto X es un complejo simplicial K homeomorfo a X con mínima cantidad de vértices. Para las superficies cerradas, la solución completa al problema de triangulaciones minimales fue probada por Ringel en los años 50 (para el caso no orientable) y por Jungerman y Ringel en los 80 (para el caso orientable).

Hace algunos años, en colaboración con Eugenio Borghini investigamos este problema desde el punto de vista homotópico: probamos que la cantidad mínima de vértices de un complejo simplicial (de cualquier dimensión) homotópicamente equivalente a una superficie cerrada (orientable o no orientable) se realiza en la misma superficie, con la única excepción del toro doble (la superficie orientada de género 2). La demostración de este resultado se basa especialmente en las propiedades del anillo de cohomología de las superficies.

En esta charla contaré las ideas principales de la demostración y veremos algunos problemas y resultados relacionados.

Una pregunta natural, común a muchas áreas de investigación es si es posible determinar la estructura interna de un objeto a partir de las distancias entre los puntos de su frontera. Cuando esto es posible, se dice que el objeto es rígido por frontera. Uno de los ejemplos más célebres de este fenómeno proviene de la geometría Riemanniana, donde Michel conjeturó que toda variedad Riemanniana simple, compacta y con frontera es rígida por frontera. 

En esta charla vamos a concentrarnos en una versión discreta de esta conjetura. En particular, mostraremos que ciertos complejos simpliciales con curvatura no positiva (los complejos (débilmente) sistólicos y los complejos Helly) pueden ser reconstruidos a partir de las distancias entre puntos de su frontera. Estas clases de complejos son muy estudiadas en teoría geométrica de grupos.

Los resultados de esta charla son trabajo en conjunto con Jérémie Chalopin y Victor Chepoi. La charla será autocontenida y sólo se requieren conocimientos básicos sobre complejos simpliciales.

Para cada entero r no negativo identificaremos obstrucciones combinatorias a la r-conectividad de un complejo simplicial K: si todo subcomplejo de K isomorfo a una obstrucción está contenido en un cono, entonces K es r-conexo. Aplicaremos esto al estudio de la conectividad de complejos aleatorios así como al de su categoría (de Lusterink-Schnirelmann) y su complejidad topológica.

La charla será autocontenida.

Esto es parte de un trabajo en colaboración con Michael Farber.

Los métodos clásicos de reducción de complejos simpliciales mediante colapsos son potentes, pero limitados: muchos espacios (por ejemplo, variedades cerradas) no admiten ningún colapso. La teoría de Morse discreta, introducida por Forman en los ’90, generaliza los colapsos y garantiza reducciones que preservan el tipo homotópico, aunque suele perderse la descripción combinatoria del complejo reducido.

En esta charla voy a presentar dos enfoques basados en teoría de Morse discreta que garantizan que los CW-complejos reducidos sean regulares, de modo que su tipo de homotopía puede recuperarse combinatoriamente a partir del poset de celdas críticas. El primero se basa en una teoría de Morse fuerte, que extiende los colapsos fuertes de Barmak y Minian. El segundo se basa en la teoría de Morse categórica de Nanda, donde el tipo homotópico de un complejo surge como el espacio clasificante de la categoría de flujo; mostraremos condiciones bajo las cuales esta categoría puede reemplazarse por el poset de celdas críticas.

La charla será autocontenida y sólo se requieren nociones básicas de topología algebraica.

Un paseo por los años 70: conjuntos simpliciales y espacios simpliciales, realizaciones geométricas y espacios clasificantes de categorías. Al final, las ideas más relevantes de la demostración del Teorema A de Quillen. Este resultado da condiciones suficientes para que un funtor entre categorías pequeñas induzca una equivalencia homotópicas entre sus espacios clasificantes.

Dada una filtración de espacios topológicos, es posible estudiar la evolución de su tipo homotópico a través del cálculo de invariantes y del análisis de su persistencia, es decir, observando cómo estos varían (o no) a lo largo de la filtración. Un ejemplo clásico de este tipo de invariante es la homología persistente, desarrollada a fines de los ’90 y con aplicaciones actuales en análisis de datos.

En esta charla, nos centraremos en un invariante más fino: los grupos de homotopía persistente, con énfasis en el grupo fundamental persistente. Esta noción fue introducida por D. Letscher en 2011 para el estudio de nudos y variedades anudadas, con aplicaciones al análisis de proteínas. Más recientemente, en 2024, H. Adams et al. extendieron resultados clásicos de grupos de homotopía al contexto persistente, con aplicaciones al estudio de funciones de Morse y espacios de configuraciones de moléculas.

Se presentarán los fundamentos de esta teoría, y se discutirán ejemplos y aplicaciones en análisis topológico de datos. La charla será autocontenida y sólo se requieren nociones básicas de topología algebraica.

El building "estable" de un anillo R en rango n, definido por Rognes en 1992, es la suspensión del complejo simplicial CB_n(R) cuyos símplices consisten de submódulos propios no nulos de R^n para los cuales existe una base de R^n que permite generar cada uno de éstos. Los grupos de homología de este espacio están involucrados en el cálculo del espectro de K-teoría algebraica de K(R). Rognes observó que la homología de CB_n(R) está concentrada en grados a lo sumo 2n-3, y conjeturó que debería ser nulas en grados distintos a 2n-3 cuando R es euclideando o local, hecho que simplifcaría el cálculo de K(R). En 2023, esta conjetura fue probada para R un cuerpo por Miller, Patzt y Wilson. De hecho, en un trabajo en conjunto con B. Brúck y V. Welker, demostramos que CB_n(R) tiene el tipo homotópico del poset PD(R^n) de decomposiciones parciales de R^n ordenado por refinamiento. Los elementos de este poset son conjuntos no vacíos {M_1,...,M_r} de sumandos directos no nulos y propios de R^n que están en suma directa interna. Así, cuando R es un cuerpo finito, la conjetura de Rognes es válida gracias a esta equivalencia y a un trabajo previo de Hanlon, Hersh y Shareshian en donde demuestran que PD(R^n) tiene su homología concentrada en grado 2n-3.

En esta charla, daremos una demostración alternativa de la conjetura de Rognes para cuerpos utilizando la versión ordenada de PD(R^n). Más aún, nuestra demostración funciona en un contexto mucho más general para buildings, dejando abierta la pregunta de qué significa esta conjetura en el contexto de otros grupo clásicos. La charla será autocontenida.

Comenzaré la charla recordando las definiciones, ejemplos y resultados básicos sobre grafos de Cayley (y algunas aplicaciones). Luego contaré un resultado de Adamaszek sobre los posibles tipos homotópicos de los complejos simpliciales asociados a grafos de Cayley de grupos finitos. 

La charla será autocontenida y sólo se requieren conocimientos básicos de topología algebraica.

En la década del 70 Charles Conley desarrolló una teoría que permite estudiar conjuntos invariantes S de un sistema dinámico en un espacio métrico X. El índice de Conley de S se puede pensar como el tipo homotópico de un espacio punteado o como un módulo graduado, en su versión homológica. Durante años Marian Mrozek y coautores investigaron versiones combinatorias de esta teoría, con el objetivo de modelar sistemas dinámicos en subespacios de espacios euclídeos. En análisis topológico de datos uno puede, a partir de una muestra finita del espacio, definir una función multivaluada en un espacio topológico finito.

En esta charla recordaremos algunas de las ideas de la teoría de Conley clásica y presentaremos una versión para funciones multivaluadas en espacios finitos. Esto es parte de un trabajo reciente en colaboración con Mrozek y Thomas Wanner.

Esta es la segunda de las charlas sobre cohomología de grupos y propiedades de finitud. Veremos las nociones de dimensión cohomológica y dimensión geométrica y un resultado clásico de Eilenberg y Ganea que relaciona ambas dimensiones. Estudiaremos propiedades de finitud y hablaremos de algunos problemas que aún están abiertos. Por último veremos la construcción de los grupos de Bestvina-Brady, que se definen a partir de complejos simpliciales flag L y cuyas propiedades de finitud dependen de la topología de L. Estos grupos sirven también para relacionar dos de los problemas abiertos más importantes de la topología algebraica. El tema profundo que gira en torno a estos resultados es entender cuándo un objeto algebraico (como puede ser una resolución libre o proyectiva) proviene de un modelo topológico.

La charla será autocontenida y sólo se requieren conocimientos básicos de topología algebraica.

Esta es la primera de una serie de dos charlas donde veremos las definiciones, construcciones y resultados básicos y clásicos sobre (co)homología de grupos y propiedades de finitud. La homología de un grupo se puede definir de forma topológica (vía espacios de Eilenberg-MacLane K(G,1)) o algebraica (mediante ciertas resoluciones proyectivas). Comenzaremos probando por qué ambas definiciones coinciden (o, mejor dicho: por qué la definición topológica deviene en una definición puramente algebraica), y utilizaremos la combinación de topología y álgebra para calcular varios ejemplos (y probar los primeros resultados básicos). Luego estudiaremos las nociones de dimensión cohomológica y dimensión geométrica y veremos un resultado clásico de Eilenberg y Ganea que relaciona ambas dimensiones. Finalmente estudiaremos propiedades de finitud (cohomológica y geométrica) y hablaremos de algunos problemas que aún están abiertos. El tema profundo que gira en torno a estos resultados es entender cuándo un objeto algebraico (como puede ser una resolución libre o proyectiva) proviene de un modelo topológico.

La charla será autocontenida y sólo se requieren conocimientos básicos de topología algebraica. 

Un grupo se dice coherente si todo subgrupo finitamente generado es finitamente presentado. Esta propiedad fue ampliamente estudiada para distintas familias de grupos en las últimas décadas mediante técnicas algebraicas, topológicas y combinatorias. Uno de los problemas más importantes en este contexto es la coherencia de los grupos one-relator (es decir, los grupos que admiten presentaciones con una sola relación). La coherencia de esta clase de grupos fue conjeturada por Baumslag en los años 70 y fue probada muy recientemente por Jaikin-Zapirain y Linton. En esta charla veremos algunos ejemplos y no ejemplos de grupos coherentes, comentaré algunas de las herramientas que se desarrollaron para atacar la conjetura y, finalmente, contaré las ideas del trabajo de Jaikin-Zapirain y Linton y algunas de las técnicas que utilizaron.

La charla será autocontenida y sólo se necesitan conocimientos básicos de topología algebraica.

En Análisis topológico de datos es fundamental poder aproximar un subespacio X de un espacio euclídeo a partir de una muestra finita A de sus puntos. En general, se compara X con el complejo de Vietoris-Rips VR(A,r) de A para cierto/s parámetros r>0. Un caso elemental es cuando X vive en el plano, y luego también A. Es sabido que en este caso VR(A,r) tiene grupo fundamental libre. Pero, qué tipos homotópicos puede alcanzar este complejo? A pesar de muchos intentos en los últimos 15 años, este problema permanece abierto.

En esta charla recordaremos algunos de los resultados que se conocen en esta dirección. En particular, relacionados con el pi1, con la categoría de Lusternik-Schnirelmann y los star clusters.

La exposición será autocontenida.

Los complejos de Vietoris-Rips fueron introducidos por Vietoris a fines de la década del 20 para estudiar la topología de espacios métricos con métodos simpliciales. Luego fueron redescubiertos por Rips y Gromov en los ochenta para investigar propiedades cohomológicas de grupos. Actualmente, además de ser utilizados en teoría geométrica de grupos, son una de las herramientas fundamentales en el análisis topológico de datos.

En esta charla veremos cómo se definen estos complejos y sus aplicaciones básicas, haciendo foco en su aplicación al estudio de grupos. Luego contaré un resultado muy reciente  sobre la contractibilidad de los complejos de Vietoris Rips asociados a Z^n con la métrica de la palabra (métrica Manhattan). Este resultado fue conjeturado por M. Zaremsky hace algunos años, probado por Z. Virk a principios de 2024 y re-demostrado por Zaremsky, a fines del 2024, utilizando teoría de Morse de Bestvina-Brady.

La charla será autocontenida y sólo se requieren conocimientos básicos de topología algebraica.