Regularidad de superficies mínimas en codimensión 1

Una superficie mínima es una superficie que minimiza el área con un borde fijo. Tal objeto puede tener singularidades donde la superficie no es suave o donde distintas hojas de la superficie colapsan en un punto. La pregunta clásica es entender cuán frecuente es la aparición de singularidades (en el sentido de dimensión de Hausdorff). Contaré  algunas de las herramientas usadas para dar una respuesta a esta pregunta en codimensión 1 y si el tiempo lo permite algunas dificultades presentes en mayor codimensión. 

Los prerrequisitos serán análisis real, ecuaciones diferenciales y geometría diferencial al nivel de la licenciatura.

Operadores rango y diagonalización

En esta charla introduciremos los conceptos de función rango y operador rango, y estudiaremos la correspondencia que existe entre estos y los espacios invariantes por traslaciones enteras y los operadores que conmutan con las traslaciones enteras, respectivamente. Mucha de la estructura de los operadores que conmutan con las traslaciones puede comprenderse a través de las propiedades puntuales de su operador rango. En particular, nos interesaremos en la diagonalización. Introduciremos un nuevo concepto de diagonalización para estos operadores que denominamos s-diagonalización, estudiaremos sus propiedades y veremos que estas nos permiten encontrar una generalización del Teorema Espectral para operadores normales que conmutan con las traslaciones. Estos resultados forman parte de un trabajo en conjunto con Alejandra Aguilera, Victoria Paternostro y Carlos Cabrelli. 

Group Actions in Harmonic Analysis

Group actions have implicitly played a role in harmonic analysis since its inception in the work of Fourier on solutions of the heat equation. Namely, one can generate the classical Fourier basis as an action of the group 𝕋 on  L2([0,1]). Hundreds of years later in the 20th century, the two most important transforms in applied harmonic analysis arose, the wavelet transform and the short-time Fourier transform, which were created using projective unitary representations of the affine group and the Weyl-Heisenberg group, respectively. Today, some of the most active research areas in harmonic analysis involve the generation of a set as the orbit of a (semi-)group action, in particular in dynamic sampling and in open problems in finite frame theory, like Zauner’s conjecture. There are also cutting edge methods in data analysis which generalize the algebraically generated transforms in harmonic analysis to domains like graphs and neural networks, e.g., diffusion wavelets and the scattering transform. The talk will start as a colloquium-style talk on group actions in harmonic analysis and finish with some brand new results on the relationship between group symmetry and optimality.

Equivalencia para bases de Markushevich almost-greedy y semi-greedy

Las bases greedy permiten representar elementos en un espacio de Banach a través de una serie construida a partir de un sistema dado, cuyos coeficientes están ordenados, en valor absoluto, en forma decreciente. La aproximación que se logra con bases greedy (mejor m-aproximante) es de naturaleza no-lineal. Las bases greedy son bases de Schauder incondicionales. Ante la necesidad de trabajar con estructuras más flexibles surgen algunas variantes como ser las bases de Schauder almost greedy, semi-greedy, y las más recientes de branch semi-greedy y branch quasi-greedy. Por ejemplo, la base de Haar de  L₁([0,1])  no es incondicional y por tanto, no es greedy. Tampoco cumple una condición más débil, que es ser quasi-greedy pero sí es branch quasi-greedy.

Las nociones de bases almost greedy y semi-greedy, fueron introducidas en forma paralela en 2003, resultando estar estrechamente relacionadas. Los autores S. J. Dilworth, N. J. Kalton y D. Kutzarova (2003) muestran que toda base de Schauder almost greedy es semi-greedy y además prueban el resultado en el sentido contrario para espacios de cotipo finito. Esta implicación fue mejorada por P. Berná (2019) quien eliminó la hipótesis del cotipo. Luego de notar que la prueba de la implicación "almost greedy ⟹ semi-greedy" dada en 2003 es válida para el contexto más general de bases de Markushevich, Berná deja abierta la pregunta sobre el resultado recíproco para este tipo de bases.

En esta charla, sobre un trabajo conjunto con Miguel Berasategui, presentaremos estos conceptos dando una respuesta afirmativa a este último problema.