Com o crescimento da quantidade de pesquisadores no departamento de matemática com interesse em trabalhar com álgebras de Hopf, categorias monoidais e temas correlatos, surgiu o interesse em criar um seminário de estudos nesses temas. Assim, o Seminário de álgebras de Hopf e categorias monoidais iniciou em abril de 2016. Desde então, muitos professores do departamento de matemática da UFSC, estudantes da pós-graduação e pesquisadores convidados participaram do seminário, divulgando os temas e incentivando a pesquisa em matemática. A seguir, o histórico dos seminários realizados ao longo dos anos.
(em construção)
A partir desta Segunda feira, dia 15 de abril de 2024, foi iniciando um novo ciclo de estudos baseado no livro:
Elements of the Representation Theory of Associative Algebras : Vol 1: Techniques of representation Theory de Ibrahim Assem, Daniel Simson, Andrzej Skowronski
29/04/2024
Resumo: No segundo encontro, exploramos o conceito radical de um módulo, conforme proposto por Jacobson, juntamente com suas principais propriedades. Além disso, discutimos as séries de composição de um módulo e apresentamos o teorema de Jordan-Holder.
22/04/2024
Resumo: Neste segundo encontro, exploramos o conceito de Módulo Semissimples. Demonstraremos o Lema de Schur e o Teorema de Wedderburn-Artin , que nos permitem definir um Módulo Semissimples através de seu radical. Investigaremos suas implicações e consequências.
15/04/2024
Resumo: Neste primeiro encontro faremos uma revisão de alguns conceitos básicos, tais como: álgebra, subálgebra, ideal, módulo, submódulo, etc. Veremos a definição de radical de uma álgebra e alguns resultados relacionados, e também provaremos o lema de Nakayama. Por fim, veremos (através de exemplos) como caracterizar módulos através de espaços vetoriais e transformações lineares.
Observação: A partir desta Segunda feira, dia 15 de abril de 2024, foi iniciando um novo ciclo de estudos baseado no livro
Elements of the Representation Theory of Associative Algebras : Vol 1: Techniques of representation Theory de Ibrahim Assem, Daniel Simson, Andrzej Skowronski
01/04/2024
Homs internos e módulos parciais IV
Resumo: Neste quarto encontro, apresentaremos as noções básicas envolvendo representações parciais e módulos parciais de uma álgebra de Hopf e mostraremos que a categoria de módulos parciais sobre uma álgebra de Hopf H é uma categoria módulo sobre a categoria dos H-módulos. Apresentaremos explicitamente os homs internos dessas categorias módulo e mostraremos como esses homs internos estão relacionados com a globalização.
25/03/2024
Resumo: Nesta semana, enunciaremos e provaremos o teorema no qual os homs internos são usados para estabelecer uma equivalência categórica entre uma dada categoria módulo M e uma categoria de módulos sobre um objeto álgebra na categoria multitensorial. Na segunda parte do seminário, vamos introduzir a categoria de módulos parciais sobre uma álgebra de Hopf H como categoria módulo sobre a categoria dos H-módulos.
07/03/2024
Resumo: Nesta série de palestras, vamos descrever a categoria de módulos parciais sobre uma álgebra de Hopf H como uma categoria módulo sobre a categoria dos H-módulos. Também descreveremos a relação existente entre a globalização de ações parciais sobre álgebras com Homs internos da categoria dos H-módulos parciais para a categoria dos H-módulos. Veremos que para o caso de ações parciais de grupos, teremos um isomorfismo. Iniciaremos com uma revisão das propriedades gerais dos Homs internos para categorias módulos sobre categorias multitensoriais.
10/03/2017
Categorias Monoidais Rígidas
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Nesta palestra retomaremos a discussão sobre categorias monoidais rígidas e revisitaremos alguns resultados feitos no semestre passado com um novo ponto de vista: Se uma categoria monoidal tem duais à esquerda então o funtor produto tensorial tem um adjunto à direita (Hom interno). Depois, caminharemos na direção do teorema de reconstrução de Tannaka-Krein que afirma que dada uma categoria monoidal rígida e um funtor monoidal estrito desta para a categoria dos espaços vetoriais de dimensão finita, então existe uma álgebra de Hopf tal que a categoria original possa ser vista como uma categoria de comódulos sobre esta álgebra de Hopf.
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
17, 24 e 31/03/2017
Teorema de reconstrução de Tannaka
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Nesta semana daremos início a uma pequena série de seminários (espero que não passe de três) para abordarmos o teorema de reconstrução de Tannaka. A idéia principal é, a partir de um funtor monoidal estrito de uma categoria monoidal rígida para a categoria dos espaços vetoriais de dimensão finita (vamos fazer este caso mais simples), construir uma álgebra de Hopf de tal forma que a categoria original seja equivalente a uma categoria de comódulos sobre esta álgebra de Hopf. em particular, se a categoria original já é uma categoria de comódulos sobre uma álgebra de Hopf H, então a álgebra construida é isomorfa a H (eis uma motivação para o nome "teorema de reconstrução").
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
07/04/2017
Álgebras de Hopf e suas aplicações na teoria de identidades polinomiais
Francielle Kuerten Boeing (Doutoranda - PPGMTM/UFSC)
28/04, 12 e 19/05/2017
Z+ anéis e Z+ módulos
Gilles Gonçalves de Castro (UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
26/05, 09 e 30/06/2017
Z+ anéis e Z+ módulos (continuação)
Gabriel Samuel de Andrade (doutorando - PPGMTM/UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
18/08/2016
(Co)Produtos (co)smash e suas categorias de (co)módulos
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Nesta série de seminários, explicaremos as diversas construções de produtos cruzados, co-cruzados e bi-cruzados que aparecem na literatura de álgebras de Hopf e sua importância em teoria de representações. Especificamente, nesta primeira palestra, verificaremos o papel do produto smash para descrever (A,H) módulos covariantes assim como a coálgebra (co)smash e seu papel dual na categoria de comódulos covariantes. Se o tempo nos permitir, chegaremos até o produto bicruzado de Radford, que estabelece uma interação entre ações e coações. Na segunda palestra, pretendemos introduzir os produtos duplamente cruzados e o quantum double de uma álgebra de Hopf de dimensão finita, cuja categoria de módulos é isomorfa à categoria de Yetter-Drinfeld.
25/08/2016
Produtos bi-cruzados de biálgebras e álgebras de Hopf
Eliezer Batista (UFSC)
01/09/2016
O duplo quântico e categorias de Yetter Drinfel'd
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Iniciaremos com a definição de categorias monoidais trançadas, enunciando algumas propriedades básicas e dando alguns exemplos. A seguir definiremos a categoria de Yetter Drinfel'd sobre uma álgebra de Hopf H. Os objetos desta categoria são módulos e comódulos (ambas as estruturas à esquerda, ou ambas à direita, ou módulos à esquerda e comódulos à direita, ou vice versa), cujas estruturas são compatíveis de uma forma apropriada de forma a podermos definir uma trança nesta categoria. Veremos que a categoria de Yetter Drinfel'd pode ser vista como a categoria de módulos sobre o duplo quântico, que é uma espécie de produto cruzado entre H e seu dual.
15, 22 e 29/09/2016
Categorias Monoidais e Funtores Monoidais
Gilles Gonçalves de Castro (UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
06, 13 e 20/10/2016
Ações de grupos em categorias monoidais e equivariantizações
Felipe Lopes Castro (UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
27/10, 03, 10 e 17/11/2016
Teorema de "estritização" de Mac Lane
Mateus Medeiros Teixeira (doutorando - PPGMTM/UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
24/11 e 01/12/2016
Categorias monoidais rígidas
Eliezer Batista (UFSC)
Referência: Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik.Tensor categories. Mathematical surveys and monographs, volume 205. Disponível em: <math.mit.edu/~etingof/>.
01/04/2016
A importância de categorias monoidais no estudo de álgebras de Hopf
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Neste seminário, pretendemos apresentar as biálgebras e álgebras de Hopf em conexão com a sua teoria de representações. Iniciaremos pelo caracterização de biálgebras oriunda do teorema fundamental que diz que uma k álgebra é uma biálgebra se, e somente se sua categoria de módulos é monoidal e o funtor esquecimento para a categoria dos espaços vetoriais sobre o corpo k é um funtor monoidal estrito. Nosso objetivo é estabelecer uma linguagem comum a todos os participantes e apresentar os conceitos básicos da teoria. Este seminário prevê uma continuação para a semana seguinte, quando será tratado o teorema fundamental de módulos de Hopf e as diversas caracterizações de álgebras de Hopf.
08/04/2016
Categorias monoidais e biálgebras
Eliezer Batista (UFSC)
Resumo
Nesta exposição, pretendemos dar continuidade ao nosso primeiro seminário, finalmente mostrando a relação existente entre categorias monoidais e biálgebras. Iniciaremos com a definição de categoria monoidal e exemplos. Após veremos que os conceitos de álgebra e coálgebra fazem sentido em qualquer categoria monoidal. Também definiremos funtor monoidal, sem muitos detalhes nesta construção, apenas o necessário para a entendimento do teorema fundamental (posteriormente se voltará ao ponto de funtores monoidais com mais detalhes). Finalmente provaremos o teorema fundamental de biálgebras (na verdade faremos para o caso específico de biálgebras sobre um corpo k): Uma k-álgebra H é uma biálgebra se, e somente se, a categoria dos H módulos (à esquerda) é monoidal e o funtor esquecimento da categoria dos H-módulos para a categoria dos k-espaços vetoriais é estritamente monoidal.
15/04, 06 e 13/05/2016
Álgebras de Hopf e extensões de Hopf-Galois
Mateus Medeiros Teixeira (doutorando - PPGMTM/UFSC)
Resumo
Nesta semana veremos alguns exemplos de Álgebras de Hopf, e introduziremos as extensões de Hopf-Galois. Para tanto, definiremos as estruturas de H-módulo álgebra à esquerda e H-comódulo álgebra à esquerda sobre uma álgebra A, que nada mais são do que estruturas de H-módulo à esquerda (H-comódulo à esquerda) sobre A em que a multiplicação e unidade são morfismos de H-módulos à esquerda (H-comódulo à esquerda). A partir daí, definimos o que é uma extensão em nosso contexto e seguimos para as extensões de Hopf-Galois que são uma generalização do conceito de estensões galoisianas de grupos (uma extensão algébrica E ⊆ F (F\E) é galoisiana (extensão de Galois) se F\E é uma extensão normal e separável). Finalizaremos apresentando alguns exemplos destas extensões. Na continuação deste seminário (semana seguinte), mostraremos que uma biálgebra que admite uma extensão de Hopf-Galois fielmente plana é uma álgebra de Hopf.
Material extra: Texto auxiliar para o seminário.
20/05/2016
Teorema fundamental de módulos de Hopf
Eliezer Batista (UFSC)
03, 10, 17 e 24/06/2016
Integrais, Hopf-Galois e equivalência de Morita
Felipe Lopes Castro (UFSC)