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Título: Saturación de Lipschitz de álgebras analíticas.
Resumen: Para un germen de singularidad analítica, la saturación de Lipschitz de su algebra analítica asociada es de nuevo un álgebra analítica que se ubica entre el anillo original y su normalización. Fue definida por Pham y Teissier utilizando la cerradura entera de ideales y fue inspirada por la teoría de saturación de Zariski cuyo objetivo era establecer las bases para una teoría algebraica de la equisingularidad.
En esta charla comenzaremos revisando el caso de curvas que está bastante bien estudiado y sirvió de inspiración para el trabajo en curso. Continuaremos hablando del caso tórico, explicando hasta donde el tiempo lo permita, los resultados que tenemos, lo que buscamos y las dificultades que nos hemos encontrado en el camino.
Este es un trabajo conjunto con Daniel Duarte, François Bernard y Enrique Chávez.
Título: The Stable Trace Ideals of Arf Rings.
Resumen: Arf rings originate from Cahit Arf’s classification of certain singular points of plane curves and such rings have a well-established history within singularity theory. Lipman classically characterized Arf rings as one-dimensional Cohen-Macaulay rings in which every integrally closed ideal is stable. In this talk we will explore the intersection of the theories of trace ideals and stable ideals. We apply our results to the study of Arf rings and arrive at a new characterization. This involves making precise the relationship between the various notions of closure that coincide in the Arf setting: reflexive, integrally closed, trace, and stable.
Título: Anillos de Cox de variedades proyectivas.
Resumen: Las variedades proyectivas son cubiertas por variedades afines; objetos que pueden ser definidos usando anillos. De forma análoga, muchos variedades proyectivas pueden ser construidas como cocientes de variedades afines. Este metodo esta cercanamente relacionada a la construccion de Cox. En esta charla, explicaremos la construcción de Cox y como puede ser utilizada para entender la geometría global de variedades proyectivas.
Título: Superficies determinantales en el lugar geométrico de Noether-Lefschetz de superficies en P^3 .
Resumen: El Teorema de Noether-Lefschetz es un resultado fundamental en geometría algebraica que establece que el grupo de Picard de una superficie muy general X de grado d mayor que 3 en P3 es generado por la clase del hiperplano y por lo tanto isomorfo a ZZ. En otras palabras, X no contiene curvas algebraicas además de las obvias: intersecciones de X con otra superficie. El conjunto de superficies suaves de grado d para las cuales este teorema no se cumple se llama el lugar geométrico de Noether-Lefschetz, denotado por NL(d). Este conjunto tiene una cantidad infinita de componentes irreducibles, de las cuales incluso sus dimensiones, en la mayoría de los casos, son un misterio.
En esta plática veremos a una familia especial de superficies conocidas como superficies determinantales, las cuales son superficies en P3 definidas por el determinante de una matriz con entradas polinomiales. Estas superficies resultan ser componentes de NL(d) a las cuales podemos calcularles su dimensión.
Este trabajo es en conjunto con Manuel Leal y César Lozano Huerta.
Título: Teoría de Invariantes Geométricos.
Resumen: En Geometría Algebraica, la Teoría de Invariantes Geométricos (GIT) es una de las herramientas más importantes para construir espacios moduli como cocientes de acciones de grupos algebraicos en variedades algebraicas. En esta charla daremos algunos ejemplos exlícitos de apliacaciones de la GIT.
Título: Homomorfismos y Subshift
Resumen: En esta charla estudiaremos una función construida a partir de un homomorfismo entre grupos, que permite traducir configuraciones definidas sobre un grupo G a configuraciones sobre otro grupo H, usando un conjunto finito llamado alfabeto. Esta función inducida, que actúa entre espacios conocidos como full shifts, es continua y equivariante con respecto a la función. Analizaremos si ciertas propiedades, como ser un subshift, se preservan bajo esta transformación, y cómo se comportan características dinámicas como la transitividad o el mezclado. Finalmente, se mostrará cómo esta construcción generaliza el concepto de autómatas celulares a contextos más amplios definidos por homomorfismos entre grupos.
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