Resúmenes

Título: Sobre las simetrías de superficies grandes y pequeñas.

Resumen: En esta charla hablaremos de superficies topológicas grandes (de tipo infinito) y pequeñas (de tipo finito), y de ciertos grupos que capturan sus simetrías. Nuestro objetivo será describir propiedades de estos grupos, presentar contextos en los que aparecen y dar un panorama de algunas de las contribuciones recientes de la comunidad matemática latinoamericana en su estudio.

Título: El teorema de imposibilidad de Arrow: Una perspectiva de topología combinatoria.

Resumen: El famoso resultado de 1950  dice que es imposible diseñar un sistema de votación justo para tres o más candidatos, que satisfaga axiomas intuitivamente básicos de democracia. Baryshnikov (1993) presentó una demostración usando topología algebraica con el fin de entender las razones subyacentes a las muchas pruebas que existen de este resultado fundamental de la teoría de elección social.  Presentaremos en esta plática una perspectiva basada en topología combinatoria, más elemental, mostrando que es en el caso de dos votantes y tres alternativas donde aparece ya la geometría interesante, explicando la razón detrás de la imposibilidad de Arrow mediante el lema del índice.

Basada en:

Sergio Rajsbaum, Armajac Raventós-Pujol, A combinatorial topology approach to Arrow's impossibility theorem. Soc. Choice Welf. 66(2): 357-394 (2026)

Título: From graphs to complex manifolds.

Resumen: Dani and Mainkar have shown that any finite graph gives rise to a 2-step nilpotent Lie algebra. In this talk we study the existence of complex structures on such 2-step nilpotent Lie algebras. We introduce the notion of adapted complex structure, namely a complex structure that maps vertices and edges of the graph to vertices and edges, and we analyze the restrictions imposed by the integrability condition. We completely characterize the graphs that admit abelian adapted complex structures, showing that they belong to a small family of graphs that we call basic. We prove that any graph endowed with an adapted complex structure (J) contains a unique (J)-invariant spanning basic subgraph, and conversely, that every such graph can be constructed through a systematic expansion procedure starting from a basic graph. We also explore geometric and combinatorial consequences, including the existence of special Hermitian metrics as well as other graph-theoretic properties. Joint work with Sonia Vera (Córdoba, Argentina).

Título: Entre lo global y lo infinitesimal: el mapa de van Est.

Resumen: El mapa de van Est es la contraparte cohomológica de la diferenciación de un grupo de Lie a su álgebra de Lie: relaciona la cohomología de uno con la del otro y, bajo hipótesis de conectividad, resulta ser un isomorfismo en un rango de grados. La construcción se extiende a grupoides y algebroides de Lie, donde interviene en las preguntas de integración.

Comenzaré con ejemplos elementales de grupoides y algebroides de Lie, con la intención de motivar por qué aparecen naturalmente en geometría diferencial. Discutiré luego el mapa de van Est desde un punto de vista que enfatiza su naturaleza de aproximación lineal y, si el tiempo lo permite, mencionaré versiones dobles de esta historia. Basada en trabajo en curso con Eckhard Meinrenken.

Título: Concordance, Homology Cobordism, and Floer Theories.

Resumen: Knot concordance is the study of knots cobounded by annuli I×S1 embedded in the cylinder I×S^3. The set C of smooth concordance classes of knots is an abelian group with connected sum as the binary operation. This knot-theoretic setting is deeply intertwined with the topology of 3-manifolds and their cobordisms via classical geometric constructions such as Dehn surgery and cyclic branched covers. The natural 3-dimensional analogue to the knot concordance group is the homology cobordism group Θ^3_Z.

In this talk, we will explore the interplay between C and Θ^3_Z through the lens of Floer homology. We will focus on how knot and 3-manifold invariants serve as powerful obstructions to both knot sliceness and homology cobordism. Along the way, we will highlight how the structure on one side of this relationship frequently illuminates the other.

Título: Códigos evaluación y álgebra conmutativa: una perspectiva sobre la distancia mínima.

Resumen: En esta charla estudiaremos la relación entre la distancia mínima de ciertos códigos de evaluación y algunos invariantes asociados a ideales graduados en anillos de polinomios. En particular, veremos cómo herramientas del álgebra conmutativa permiten describir y estimar parámetros básicos de estos códigos. Discutiremos el papel de la función de Hilbert y de la multiplicidad en el estudio de la distancia mínima, así como algunas conexiones entre propiedades algebraicas y parámetros combinatorios de códigos lineales. Si el tiempo lo permite, al final comentaremos brevemente algunas ideas relacionadas con teoría de códigos sobre anillos infinitos.

Título: Algebraic versions of T² and of  P¹× P¹ and Hochschild cohomology.

Resumen: We analyze the Hochschild cohomology of triangular algebras that capture some aspects of the geometry and topology of the torus and of  P¹× P¹, as well as of the deformations of these algebras. In particular, this shows that the cup product in the Hochschild cohomology of a triangular algebra generally does not follow the intuition from monomial algebras. Our examples also demonstrate that the Hochschild cohomology of a deformation of an algebra may not undergo a reduction of dimension but still have a different cup product structure, and that the Hochschild cohomologies of the deformations of two derivatively equivalent algebras can exhibit remarkably different behaviors.

Título: Self-similar solutions to Mean Curvature Flow.

Resumen: Geometric flows are a fundamental tool in geometric analysis, with deep applications across both pure and applied mathematics. They have played a central role in major breakthroughs, including the resolution of the Poincaré conjecture and the proof of the Penrose inequality in general relativity.

Among these flows, the Mean Curvature Flow is one of the most important and widely studied examples. In this talk, we will describe this geometric evolution equation, with particular emphasis on the so-called self-similar solutions. We will present several important examples and discuss some of their key applications.

Título: Desigualdades para árboles y matroides.

Resumen: En 1971, Graham y Pollak diseñaron un novedoso esquema para asignar direcciones ("números telefónicos”) a una red telefónica. Ellos introdujeron la matriz de distancias de un grafo y utilizaron su signatura para acotar la longitud de las direcciones en su esquema. En este trabajo continuamos su investigación, obteniendo información espectral más precisa sobre la matriz de distancias de un árbol.

Este resultado, combinado con la teoría de polinomios Lorentzianos, nos permite demostrar unas desigualdades para matroides conjeturadas en los años 80 por Dowling y Zhao. En el camino, descubrimos una sorprendente y estrecha conexión entre los polinomios Lorentzianos de Bränden y Huh y la propiedad de sustitutivos brutos en la economía.

Este es un trabajo conjunto con Sergio Cristancho, Graham Denham, Chris Eur, June Huh y Botong Wang. La charla no asumirá conocimientos previos sobre estos temas.

Título: Local smoothing estimates for bilinear Fourier integral operators.

Resumen: It was first observed by Sogge in the 90's, that averaging in time the Lp-norm of the solution to the wave equation improves the loss of regularity established by Seeger-Sogge-Stein and Tao on Lebesgue spaces [SSS,T06]. This observation led to the formulation of the (linear)  local smoothing conjecture for the wave operator. If true, this conjecture would represent a remarkable breakthrough, as it formally implies several other major open problems in harmonic analysis, including the Bochner–Riesz, Fourier restriction, and Kakeya conjectures, see Tao [T99]. This conjecture has been verified in dimension d=2 by Guth, Wang, and Zhang [GWZ].

The aim of this talk is to propose a bilinear version of the local smoothing conjecture [C26] and to verify this conjecture in dimension d=2 and for all odd dimensions d. The case where d is even remains an open problem.

References:

[C26] Cardona, D. Local smoothing estimates for bilinear Fourier integral operatos, 2026.
[GWZ]  Guth, L. Wang, H.  Zhang, R. A sharp square function estimate for the cone in R3,  Ann. of Math.  192(2), 551--581, (2020).
[SSS] Seeger, A.  Sogge, C. D, Stein, E. M. Regularity properties of Fourier integral operators. Ann. of Math., 134(2), 231-251, (1991).
[T99] Tao, T. The Bochner-Riesz conjecture implies the restriction conjecture.  Duke Math. J. 96(2), 363-375, (1999).
[T06] Tao, T. The weak-type (1,1) of Fourier integral operators of order -(n-1)/2. J. Aust. Math. Soc. 76(1), 1-21, (2004).

Título: Existence and instability of standing-wave solutions in nematic liquid crystals.

Resumen: In this talk, we study a highly nonlocal coupled model arising in the propagation and interaction of two light beams in nematic liquid crystals. The model describes the evolution of two optical field envelopes interacting through a nonlocal medium response, where the nonlocality reflects the elastic properties of the nematic material and the influence of an external electric field. This framework was introduced to model the interaction of two solitary waves, known as two-color nematicons, and is closely related to earlier works in nonlinear optics and dispersive systems.

Depending on the choice of parameters, the model can be interpreted as a highly nonlocal limit of nematic equations or as a system related to nonlocal versions of the Davey–Stewartson equations. A key observation is that the original system can be reformulated as a pair of coupled nonlocal nonlinear Schrödinger equations through the use of a suitable nonlocal operator.

Exploiting this reformulation and the underlying variational structure, we investigate the existence and instability of standing-wave solutions. These solutions are characterized as minimizers of a positive energy functional under appropriate constraints. Their existence is established using the Concentration–Compactness Principle introduced by P.-L. Lions.

Finally, we analyze the dynamical behavior of these standing waves and show that they are unstable. Following an approach inspired by M. Weinstein, we use a virial-type argument to prove that solutions starting sufficiently close to a standing wave may undergo finite-time blow-up, under suitable conditions on the model parameters.

Título:  Geometría, topología en la biología molecular.

Resumen: Las moléculas de ADN y ARN contienen el código genético de virus y de organismos vivos. Cuando estas moléculas son circulares, las modelamos como curvas en el espacio que pueden estar anudadas o entrelazadas. Procesos celulares esenciales como el empaquetamiento del ADN y la transcripción del ADN en ARN ocasionan cambios geométricos y topológicos. Estos procesos están altamente regulados, e incluso pequeños cambios estructurales pueden llevar a efectos catastróficos. Estudiamos la geometría y la topología de las moléculas con teoría de nudos, topología en dimensión baja, métodos discretos y computacionales. En esta charla tocaré dos temas: 1. Recombinación del ADN; 2. Geometría y topología de los híbridos ADN:ARN que surgen durante la transcripción. La presentación es accesible para estudiantes y adecuada para una audiencia interdisciplinaria diversa.

Título:  Problemas de control óptimo relacionados con modelos de quimiotaxis.

Resumen: La quimiotaxis corresponde al movimiento direccional de células u organismos vivos influenciado por la concentración de una señal química. Este movimiento puede ser hacia una concentración mayor (atractiva) o menor (repulsiva) de los estímulos químicos. La introducción de uno de los primeros modelos matemáticos para la quimiotaxis se atribuye a Keller y Segel en 1970 y 1971, y desde entonces, la investigación sobre este tema ha dado lugar a diferentes modelos relacionados, como modelos con quimioatracción o quimiorrepulsión, combinados con la producción o el consumo de la sustancia química, con la presencia de un crecimiento logístico de la población celular, modelos para la angiogénesis, la haptotaxis, acoplamientos con las ecuaciones de Navier-Stokes, entre otros, que abarcan una amplia variedad de aplicaciones de interés práctico. Desde el punto de vista matemático, los modelos mencionados poseen características interesantes y desafiantes que han atraído la atención de numerosos autores a lo largo de los años y que hacen que estos modelos de ecuaciones diferenciales sigan siendo relevantes en la actualidad.  Ademas de los resultados relativos al buen planteamiento de estos modelos, los problemas de control óptimo asociados son particularmente relevantes, con dificultades marcadas, principalmente en dominios tri-dimensionales, debido a la baja regularidad de los problemas controlados y a la falta de unicidad en 3D del operador de control a estado. En esta charla mostraremos algunos resultados y problemas abiertos en teoría de control óptimo de modelos de qumiotaxis.

Título:  Calderon's Problem, 45 Years Late.

Resumen: Calderon's inverse problem asks whether one can determine the electrical conductivity of a medium by making voltage and current measurements at the boundary. We will survey some of the most important results on this problem as well as mention some still open problems. We will make emphasis on analog inverse problems for the fractional Laplacian.

Título:  El problema de Calabi.

Resumen: El matemático Eugenio Calabi falleció en septiembre de 2023, a los 100 años de edad, dejando un importante legado para la geometría. En su conferencia en el ICM de 1954, popularizó un formidable problema en la frontera entre la geometría diferencial y la geometría algebraica, que se hizo conocido como el "problema de Calabi". El problema consiste en determinar qué variedades complejas compactas admiten una cierta métrica con curvatura constante, llamada "métrica de Kähler-Einstein". Desde entonces, el problema ha atraído mucha atención de los geómetras diferenciales. En la última década, se han revelado conexiones sorprendentes y profundas entre la existencia de métricas de Kähler-Einstein y la geometría algebraica, lo que ha producido importantes avances en la solución del problema de Calabi. En esta conferencia, dirigida a un público amplio, presentaré un panorama del problema de Calabi, desde la noción básica de curvatura hasta las recientes interacciones con la geometría algebraica.