Je tenterai de reconstituer un travail aussi précoce que perdu de Thurston construisant beaucoup de feuilletages dans la classe Lipschitz; puis je parlerai d'un développement récent par Freedman, raffinant le théorème de Mather-Thurston avec une motivation dans la physique théorique.

À partir du théorème de Reidemeister et de questions d'invariance classiques en théorie des nœuds, nous avancerons doucement à travers le 20ème siècle et les premières années du 21ème jusqu'à ce que tout le monde soit convaincu d'un manque criant : il n'y a pas de théorème de Reidemeister pour les mousses à trames. Le but de mon exposé est de pallier ce manque, à partir de travaux communs avec Kevin Walker et Paul Wedrich.

Travail préparatoire : pourriez-vous réfléchir à la meilleure traduction française de "framed knot" ?

Les homologies tordues d'espaces de configurations d'une surface S sont (plus ou moins naturellement) munies d'une action du groupe modulaire Mod(S). Dans le cas où S est un disque à pointes, la construction est due à Lawrence, et Bigelow a utilisé l'intersection homologique pour obtenir la fidélité de la représentation et donc la linéarité des groupes de tresses. Nous avons ajouté une action du groupe quantique sl2 à ces modules homologiques et ainsi démontré que ces représentations retrouvaient des représentations quantiques provenant d'une TQFT (non semi-simple) qui produit--elle--également des invariants de nœuds, de 3 variétés, de Mod(S) pour tout S... Peut-on utiliser ces homologies pour donner une saveur topologique qui fait parfois défaut à tous ces invariants dit quantiques? En effet, ces TQFTs sont construites à partir d'outils algébriques et leur contenu topologique est le sujet de beaucoup de conjectures.

Une partie de ce travail est commune avec M. De Renzi : la présentation sera, cette fois, axée sur la construction homologique, et montrera qu'ainsi nous reconstruisons effectivement des représentations quantiques de Mod(S) en tout genre.

D’une part, l’approche « quantique » de la topologie fournit des familles d’invariants hautement organisés, dont la définition est très flexible et générale. D’autre part, l’approche « classique » (en particulier homologique) permet de garder le contrôle sur le contenu topologique des constructions, et d’obtenir des résultats spectaculaires comme la linéarité des groupes des tresses montrée par Bigelow. Pour une surface Σ, on va expliquer comment retrouver la famille de représentations quantiques du groupe modulaire Mod(Σ) associées au groupe quantique petit de sl(2) par une construction classique qui fait agir Mod(Σ) sur l’homologie à coefficients tordus des espaces de configurations de Σ. Il s’agit d’un travail en cours, en collaboration avec Jules Martel.

Le but de cet exposé est de donner une interprétation diagrammatique de l'information contenue dans les invariants de Milnor des entrelacs et string links. En s'inspirant de résultats existants sur les objets classiques via le calcul de claspers développé par K. Habiro, l'approche consiste à utiliser les objets welded, qui étendent les entrelacs et string links classiques, et l'arrow calculus développé par J-B. Meilhan et A. Yasuhara pour obtenir une caractérisation diagrammatique de deux objets ayant les mêmes invariants de Milnor. Le passage par la théorie welded permet un contrôle plus fin de ces invariants que dans le cas classique, qui nécessite l'introduction d'invariants supplémentaires.

Motivated by the study of smoothings of cyclic quotient singularities as well as symplectic fillings of lens spaces, we consider an analogue problem in a purely topological setting. We look at smooth, definite fillings of lens spaces and consider the question of which intersection forms can be realized by such fillings. We discuss various constructions and an obstruction based on Donaldson's diagonalization theorem. Finally, we present a complete classification of the lens spaces which bound a unique negative-definite intersection form (up to stabilizations). We discuss consequences for smoothings of singularities as well as embeddings of lens spaces in certain 4-manifolds.
This is joint work with Duncan McCoy and JungHwan Park.

Le but de cet exposé est de définir une famille d'invariants de concordance des surfaces nouées en dimension 4. La construction s'inspire des invariants de Milnor des entrelacs, qui sont des invariants de concordance extraits des quotients nilpotents du groupe fondamental du complémentaire. Un ingrédient central est la notion de 'diagramme de coupe', qui est un objet combinatoire associé à une surface nouée, qui code de façon assez simple les ingrédients topologiques nécessaire à ce type d'invariants. Grosso modo, un diagramme de coupe est un diagramme (de type diagramme de nœuds) sur une surface, décoré par des informations combinatoires. On donnera quelques exemples et applications concrètes de nos invariants.

Il s'agit d'un travail en commun avec Benjamin Audoux et Akira Yasuhara.

Le polynôme d'Alexander est le plus connus des invariants polynomiaux de nœuds. Sa construction est d'abord géométrique, mais il revêt aussi un caractère "quantique". On peut par exemple l'obtenir comme une spécialisation du polynôme HOMFLY-PT. De même, l'homologie de Floer pour les nœuds, qui catégorifie le polynôme d'Alexander, a une nature géométrique. En 2005, Dunfield, Gukov et Rasmussen ont conjecturé que cette construction pouvait être reliée aux homologies venant de la topologie quantique. Dans cet exposé, je brosserai le portrait d'une nouvelle catégorification d'Alexander et expliquerai en quoi elle démontre une partie de la conjecture de Dunfield-Gukov-Rasmussen.

En commun avec Anna Beliakova, Krzysztof Putyra et Emmanuel Wagner.

The graph of irreducible parabolic subgroups is a combinatorial object associated to an Artin-Tits group A defined so as to coincide with the curve graph of n-times punctured disc when A is the Artin braid group on n-strands. In this case, it is a hyperbolic graph by the celebrated Masur-Minsky's theorem. Hyperbolicity of the graph of irreducible parabolic subgroups for more general Artin-Tits groups is an important question. In this talk we address this question for the groups of type B_n and \tilde A_n.

We show that the graph of irreducible parabolic subgroups associated to the Artin-Tits grup of type B_n is isomorphic to the curve graph of the (n+1)-times punctured disc, hence it is hyperbolic. For the type \tilde A_n we show that it is (not quasi-isometrically) embedded in the curve graph of the (n+2)-times punctured disc, nonetheless we prove that it is hyperbolic.

Joint work with Matthieu Calvez.

We ask to what extend the SL(2,C)-character variety of the fundamental group of the complement of a knot in S^3 determines the knot. Our methods use results from group theory, classical 3-manifold topology, but also geometric input in two ways: the geometrisation theorem for 3-manifolds, and instanton gauge theory. In particular this is connected to SU(2)-character varieties of two-component links, a topic where much less is known than in the case of knots. This is joint work with Michel Boileau, Teruaki Kitano, and Steven Sivek.

Si une courbe complexe (éventuellement singulière) dans une surface Kählerienne a auto-intersection positive, elle admet un voisinage symplectique concave, et donc une structure de contact associée qu’on appelle divisorielle. Motivés par l’étude des courbes symplectiques singulières dans le plan projectif complexe, on s’intéresse aux problèmes d’existence et de classification des remplissages de certaines structures de contact divisorielles. Cet exposé sera basé sur mes travaux communs avec Laura Starkston.

Sur une variété Riemannienne compacte M munie d’un champ de vecteurs et d’une représentation unitaire du groupe fondamental de M, la fonction zêta de Ruelle est définie comme un produit infini sur l’ensemble des orbites périodiques de ce champ de vecteurs, et la conjecture de Fried dit que sa valeur en zéro est un invariant topologique : le module de la torsion de Reidemeister. De nombreux cas de cette conjecture ont été établis au cours des 40 dernières années.

Avec Jan Frahm et Polyxeni Spilioti (Aarhus), on montre que dans le cas d’une représentation quelconque de l’unitaire tangent M d’une surface hyperbolique à singularités, la valeur en zéro de la fonction de Ruelle est un raffinement dû à Turaev de la torsion de Reidemeister, donné par la structure d’Euler induite sur M par le flot géodésique.