• Jueves 25 de abril de 2024. 

Ecuación de Maurer-Cartan para álgebras gentiles.

Fiorela Rossi Bertone (UNS-CONICET)

Resumen: Las deformaciones de álgebras asociativas están en correspondencia con los elementos de Maurer-Cartan, por lo que nos interesa describir estos elementos que están estrechamente relacionados con el Complejo de Hochschild del álgebra original. Debido al tamaño del complejo de Hochschild muchas veces es conveniente trabajar con otros complejos más pequeños, como el caso del Complejo de Barzdell para álgebras monomiales. En esta charla, para un álgebra (monomial) gentil A, consideraremos la estructura L infinito del complejo de Bardzell y pondremos condiciones en el quiver de A que nos permitan asegurar la nilpotencia de los corchetes y calcular los elementos de Maurer-Cartan de A.

Esta charla está basada en un trabajo en conjunto con Monique Müller, María Julia Redondo y Pamela Suarez (https://arxiv.org/abs/2309.02582). 

• Viernes 22 de marzo de 2024. 

Caracterizaciones estructurales de grafos coordinados

Rocío Suárez Albanesi (UNS-CONICET)

Resumen: Alrededor de 1960, Berge definió los grafos perfectos y conjeturó una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos para los mismos. Luego de más de 40 años de avances parciales, la conjetura de Berge fue probada verdadera en toda su generalidad a comienzos de la década del 2000; se conoce desde entonces como el Teorema Fuerte de los Grafos Perfectos.

En 2007 se introdujo la clase de los grafos coordinados y se probó que es una subclase de los grafos perfectos. Además, la clase de los grafos coordinados es hereditaria, es decir, cerrada por subgrafos inducidos. Por lo tanto, admite una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos minimales. Se sabe que la clase de los grafos coordinados admite familias de subgrafos prohibidos minimales cuya cardinalidad crece exponencialmente con el número de vértices y que el reconocimiento de grafos coordinados es NP-duro en general. Si bien no se conoce una descripción completa de la lista de subgrafos inducidos prohibidos minimales para los grafos coordinados, sí se han obtenido resultados parciales para aquellos grafos coordinados dentro de algunas subclases, de los cuales hablaremos en esta charla.

• Martes 1 de agosto de 2023. 

Una introducción a las representaciones de álgebras y el radical de la categoría de módulos

Pamela Suarez (Universidad Nacional de Mar del Plata)

Resumen: La teoría de representaciones de álgebras asociativas es una buena herramienta para obtener información de la categoría de módulos de dichas álgebras. Para ello, resultan fundamentales los métodos diagramáticos a través de carcajes y sus representaciones. El uso de carcajes nos permite visualizar los módulos de una manera concreta mediante una colección de transformaciones lineales, cada una asociada a una flecha del carcaj.

Por otra parte, el estudio del radical de la categoría de módulos nos permite entender cuán complicada es dicha categoría. Por ejemplo, conociendo el radical podemos  decidir si el álgebra en cuestión es de tipo de representación finito, es decir, si tiene una cantidad finita de módulos indescomponibles no isomorfos dos a dos.  

El objetivo de esta charla es introducir conceptos como álgebras de caminos y representaciones de carcajes, para luego relacionarlos con la categoría de módulos de álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Presentaremos la noción del radical de una categoría de módulos y algunos resultados relacionados en el contexto de álgebras de tipo de representación finito.

• Jueves 30 de marzo de 2023. 

Grafos, propiedades geométricas y el operador maximal

Emanuel Ramadori (CONICET y Universidad Nacional del Sur)

Resumen: Dado un grafo simple y conexo G=(V,E), es posible darle una estructura de espacio métrico con medida de la siguiente manera:

 -La distancia será la distancia del camino más corto, es decir, dados dos vértices x,y en V, la distancia entre ellos será la cantidad de aristas del camino más corto que los une.

 -La medida será la medida de contar, es decir, la medida de un subconjunto A de vértices será la cantidad de elementos del mismo.

En estos espacios destacaremos dos propiedades geométricas: el índice de k-dilación, el cual estima cuanto crecerá la medida de una bola si dilatamos su radio, y el índice de solapamiento, que estima la cantidad de bolas que se solaparan en ciertos cubrimientos. Estos índices nos permitirán estimar la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood, y además veremos que dicho operador caracteriza a los grafos finitos.

Finalmente introduciré el k-árbol infinito, veremos la relevancia que tiene en esta teoría, y presentaré algunos resultados obtenidos sobre el mismo.

La charla será autocontenida, y no se necesitan conocimientos previos sobre le tema.

• 27 de octubre de 2022. 

Producto de Kronecker y sus aplicaciones

Gabriela Eberle (Universidad Nacional del Sur)

Resumen: En el espacio de matrices se pueden definir distintas operaciones, cada una de las cuales presenta aplicaciones diferentes. El producto usual de matrices representa la composición de transformaciones lineales, y el mismo está definido sólo entre matrices que respetan la siguiente propiedad: el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El producto de Kronecker se define para cualquier par de matrices, y representa el producto tensorial de las transformaciones lineales asociadas a cada una de las matrices. Este producto es asociativo, bilineal, no conmutativo, y se comporta bien con la inversa y con el cálculo de valores singulares.

En el trabajo [I. Ojeda, Kronecker square roots and the block vec matrix, Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 1, 60–64] se estudia la existencia de las raíces cuadradas del producto de Kronecker, esto es, dada una matriz $A$ se estudia, bajo qué condiciones, existe una matriz $B$ tal que $A = B \otimes B$. Estas condiciones se describen en función de la simetría y del rango de una matriz especial construida a partir de $A$.

El propósito es, por lo tanto,  establecer condiciones necesarias y suficientes para la existencia de raíces $n$-ésimas de Kronecker de una matriz dada. Empleando propiedades del producto de Kronecker y de la vectorización de matrices, construimos una matriz especial cuyas características nos permiten  decidir cuándo una matriz es potencia de Kronecker de otra matriz dada. Los resultados teóricos desarrollados son aplicados a problemas vinculados a la identificación de grafos de Kronecker.

• 25 de agosto de 2022. 

El grupo de Weyl y los funtores de reflexión

Mauro Colantonio (Universidad Nacional del Sur, CONICET)

Resumen: En esta charla vamos a definir las representaciones de un grafo orientado, y a caracterizar aquellos grafos que admiten sólo un número finito de representaciones indescomponibles no isomorfas entre sí. Gabriel demostró en 1972 que esto ocurre si el grafo subyacente es de tipo Dynkin. Aquí daremos las herramientas necesarias para su demostración, como la forma cuadrática asociada a un grafo orientado, el grupo de Weyl, la transformación de Coxeter y los funtores de reflexión.

• 21 de abril de 2022. 

Introducción a las categorías diagramáticas

Karina Batistelli (Universidad de Chile)

Resumen: En esta charla comenzaremos definiendo una categoría de la manera tradicional, por medio de axiomas y diagramas conmutativos tales como el diagrama del pentágono. Luego mostraremos cómo los mismos conceptos pueden ser presentados de manera diagramática intuitivamente y veremos el ejemplo de la categoría de Temperley-Lieb.

Charlas virtuales (2020-2021)

Durante la pandemia del Coronavirus el seminario se realizó de manera online. Cliqueando en el título de la charla puedes encontrar más información tal como el resumen, el enlace de la grabación en YouTube, del archivo con las filminas, del paper en la cual la charla está basada, etc. Las grabaciones también se pueden encontrar yendo directamente al Canal de YouTube SemACT. 

Haz clic aquí si no puedes ver el listado de charlas abajo. 

Charlas presenciales prepandemia

• 13 de febrero de 2020

An introduction to quaternion algebras

Benjamin Linowitz (Oberlin College)

Abstract: This talk will be a friendly introduction to the theory of quaternion algebras. Quaternion algebras are fascinating algebraic objects that turn out to have intriguing applications to a variety of fields: elementary and algebraic number theory, the theory of automorphic forms, arithmetic algebraic geometry, spectral geometry, etc. In this talk we'll discuss the history of quaternion algebras, their basic properties, and some of their applications to number theory and geometry.