Objetivo

En este seminario se exponen temas propios del Álgebra, la Combinatoria, y la Teoría de Lie, en un sentido muy amplio. 

Las personas disertantes usualmente son miembros del Departamento de Matemática de la UNS y/o el Instituto de Matemática de Bahía Blanca, como así también visitantes. Estudiantes de posgrado están especialmente invitados a presentar sus primeros avances en este formato relajado e informal. 

Se espera que las charlas contengan una primera parte básica y entendible para la audiencia no especializada, y que luego se adentren en resultados más específicos, usualmente pertenecientes a la persona disertante.

Lugar

Las charlas son siempre en el edificio de Av. Leandro Alem 1253, usualmente en 

Lista de distribución

Los anuncios se envían a la lista Semmat. Para suscribirse a ella, ingresar a esta página, seleccionar "semmat" y seguir las instrucciones. 

Organización

A cargo de Emilio Lauret, emilio.lauret@uns.edu.ar. 

Próxima charla

Grafos cuyo cuadrado de línea es libre de Pₖ

Martina Vergara (UNS-CONICET)

Resumen: Resolver el problema del matching inducido máximo en un grafo G es equivalente a resolver el problema del conjunto independiente máximo en L(G)², el cuadrado de línea de G.

En 2020, Gartland y Lokshtanov probaron que el problema del conjunto independiente máximo puede resolverse en tiempo cuasipolinomial en la clase de los grafos libres de Pₖ, para cada k. Luego, por la relación mencionada al principio, el problema del matching inducido máximo puede resolverse en tiempo cuasipolinomial en la clase Gₖ de los grafos cuyo cuadrado de línea es libre de Pₖ.

Hatzel y Wiederrecht estudiaron el problema de caracterizar la clase Gₖ por subgrafos inducidos prohibidos. Sin embargo, su caracterización no es por subgrafos inducidos prohibidos minimales. En el tiempo que compartiremos, veremos que la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para la clase Gₖ, para cada k, queda determinada por un conjunto de palabras aceptadas por un autómata finito determinista.

El resultado final surge de un trabajo realizado en conjunto con Martín Safe.

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Charlas previstas

Charlas anteriores

Tablas de verdad para la lógica proposicional intuicionista

Marcelo E. Coniglio (Universidade Estadual de Campinas UNICAMP)

Resumen: En 1932 Gödel demostró que es imposible caracterizar a la lógica proposicional intuicionista (IPL) por medio de una matriz lógica finita, es decir, por tablas de verdad finitas. Adaptando la prueba de Gödel, J. Dugundji demostró en 1940 que ningún sistema modal comprendido entre los sistemas de Lewis S1 y S5 puede ser caracterizado por una matriz lógica finita. Es decir, las lógicas modales usuales tampoco pueden ser caracterizadas por tablas de verdad finitas. Intentando superar la limitación impuesta por el resultado de Dugundji, J. Kearns introdujo en 1981 una matriz no-determinística de 4 valores (Nmatriz) para las lógicas modales KT, S4, y S5. En su abordaje, sólo un subconjunto de valoraciones en la Nmatriz es permitido (esas valoraciones son llamadas de "level valuations"). Sin embargo, la técnica de Kearns no produce un método efectivo de decisión para esas lógicas modales. En 2021, L. Grätz refinó las RNmatrices de Kearns, obteniendo RNmatrices de 3 valores decidibles para KT y S4.

El objetivo de esta charla es describir una RNmatriz de 3 valores decidible correcta y completa para IPL, adaptando el método de Grätz para S4.  La RNmatriz 3-valorada que presentamos para IPL constituye un nuevo método de decisión para IPL, dado a través de una noción más amplia de "tablas de verdad". Argumentamos que las RNmatrices finitas decidibles para IPL, KT y S4 son, así, una respuesta a los resultados limitantes de Gödel y Dugundji. Los algoritmos para construir tablas de verdad generadas por la RNmatriz para IPL, así como para las RNmatrices para KT y S4, fueron implementados en el lenguaje de programación Coq (exhibiremos algunas pruebas formales generadas por este programa).

Este es un trabajo conjunto con Renato Leme y Bruno Lopes.

Modelos Independientes de Nivel (Level-Agnostic) de Interacciones Dinámicas

Fernando Tohmé (UNS-CONICET)

Resumen: Una característica común a numerosos fenómenos biológicos, sociales o en diseños de tecnología es la interacción dinámica entre componentes que se conectan y desconectan. Al mismo tiempo, dichos componentes pueden tener estructuras internas que evolucionan en el tiempo de manera análoga. Esto plantea la cuestión de encontrar formas de modelar estos comportamientos, en forma independiente del nivel. En esta presentación hablaremos de distintas formas en las que se puede modelar estos fenómenos utilizando herramientas de la Teoría de Categorías. Cubriremos, si el tiempo lo permite, la aplicación de la teoría de Sheaves, Operads, "Mode-Dependent Wiring Diagrams", Monads y Functores Polinomiales.

Una parte sustancial de la presentación se basa en el trabajo arXiv:2309.06383.  

Descargar diapositivas. 

Ecuación de Maurer-Cartan para álgebras gentiles.

Fiorela Rossi Bertone (UNS-CONICET)

Resumen: Las deformaciones de álgebras asociativas están en correspondencia con los elementos de Maurer-Cartan, por lo que nos interesa describir estos elementos que están estrechamente relacionados con el Complejo de Hochschild del álgebra original. Debido al tamaño del complejo de Hochschild muchas veces es conveniente trabajar con otros complejos más pequeños, como el caso del Complejo de Barzdell para álgebras monomiales. En esta charla, para un álgebra (monomial) gentil A, consideraremos la estructura L infinito del complejo de Bardzell y pondremos condiciones en el quiver de A que nos permitan asegurar la nilpotencia de los corchetes y calcular los elementos de Maurer-Cartan de A.

Esta charla está basada en un trabajo en conjunto con Monique Müller, María Julia Redondo y Pamela Suarez (https://arxiv.org/abs/2309.02582). 

Caracterizaciones estructurales de grafos coordinados

Rocío Suárez Albanesi (UNS-CONICET)

Resumen: Alrededor de 1960, Berge definió los grafos perfectos y conjeturó una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos para los mismos. Luego de más de 40 años de avances parciales, la conjetura de Berge fue probada verdadera en toda su generalidad a comienzos de la década del 2000; se conoce desde entonces como el Teorema Fuerte de los Grafos Perfectos.

En 2007 se introdujo la clase de los grafos coordinados y se probó que es una subclase de los grafos perfectos. Además, la clase de los grafos coordinados es hereditaria, es decir, cerrada por subgrafos inducidos. Por lo tanto, admite una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos minimales. Se sabe que la clase de los grafos coordinados admite familias de subgrafos prohibidos minimales cuya cardinalidad crece exponencialmente con el número de vértices y que el reconocimiento de grafos coordinados es NP-duro en general. Si bien no se conoce una descripción completa de la lista de subgrafos inducidos prohibidos minimales para los grafos coordinados, sí se han obtenido resultados parciales para aquellos grafos coordinados dentro de algunas subclases, de los cuales hablaremos en esta charla.

Una introducción a las representaciones de álgebras y el radical de la categoría de módulos

Pamela Suarez (Universidad Nacional de Mar del Plata)

Resumen: La teoría de representaciones de álgebras asociativas es una buena herramienta para obtener información de la categoría de módulos de dichas álgebras. Para ello, resultan fundamentales los métodos diagramáticos a través de carcajes y sus representaciones. El uso de carcajes nos permite visualizar los módulos de una manera concreta mediante una colección de transformaciones lineales, cada una asociada a una flecha del carcaj.

Por otra parte, el estudio del radical de la categoría de módulos nos permite entender cuán complicada es dicha categoría. Por ejemplo, conociendo el radical podemos  decidir si el álgebra en cuestión es de tipo de representación finito, es decir, si tiene una cantidad finita de módulos indescomponibles no isomorfos dos a dos.  

El objetivo de esta charla es introducir conceptos como álgebras de caminos y representaciones de carcajes, para luego relacionarlos con la categoría de módulos de álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Presentaremos la noción del radical de una categoría de módulos y algunos resultados relacionados en el contexto de álgebras de tipo de representación finito.

Grafos, propiedades geométricas y el operador maximal

Emanuel Ramadori (CONICET y Universidad Nacional del Sur)

Resumen: Dado un grafo simple y conexo G=(V,E), es posible darle una estructura de espacio métrico con medida de la siguiente manera:

 -La distancia será la distancia del camino más corto, es decir, dados dos vértices x,y en V, la distancia entre ellos será la cantidad de aristas del camino más corto que los une.

 -La medida será la medida de contar, es decir, la medida de un subconjunto A de vértices será la cantidad de elementos del mismo.

En estos espacios destacaremos dos propiedades geométricas: el índice de k-dilación, el cual estima cuanto crecerá la medida de una bola si dilatamos su radio, y el índice de solapamiento, que estima la cantidad de bolas que se solaparan en ciertos cubrimientos. Estos índices nos permitirán estimar la norma del operador maximal de Hardy-Littlewood, y además veremos que dicho operador caracteriza a los grafos finitos.

Finalmente introduciré el k-árbol infinito, veremos la relevancia que tiene en esta teoría, y presentaré algunos resultados obtenidos sobre el mismo.

La charla será autocontenida, y no se necesitan conocimientos previos sobre le tema.

Producto de Kronecker y sus aplicaciones

Gabriela Eberle (Universidad Nacional del Sur)

Resumen: En el espacio de matrices se pueden definir distintas operaciones, cada una de las cuales presenta aplicaciones diferentes. El producto usual de matrices representa la composición de transformaciones lineales, y el mismo está definido sólo entre matrices que respetan la siguiente propiedad: el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda. El producto de Kronecker se define para cualquier par de matrices, y representa el producto tensorial de las transformaciones lineales asociadas a cada una de las matrices. Este producto es asociativo, bilineal, no conmutativo, y se comporta bien con la inversa y con el cálculo de valores singulares.

En el trabajo [I. Ojeda, Kronecker square roots and the block vec matrix, Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 1, 60–64] se estudia la existencia de las raíces cuadradas del producto de Kronecker, esto es, dada una matriz $A$ se estudia, bajo qué condiciones, existe una matriz $B$ tal que $A = B \otimes B$. Estas condiciones se describen en función de la simetría y del rango de una matriz especial construida a partir de $A$.

El propósito es, por lo tanto,  establecer condiciones necesarias y suficientes para la existencia de raíces $n$-ésimas de Kronecker de una matriz dada. Empleando propiedades del producto de Kronecker y de la vectorización de matrices, construimos una matriz especial cuyas características nos permiten  decidir cuándo una matriz es potencia de Kronecker de otra matriz dada. Los resultados teóricos desarrollados son aplicados a problemas vinculados a la identificación de grafos de Kronecker.

El grupo de Weyl y los funtores de reflexión

Mauro Colantonio (Universidad Nacional del Sur, CONICET)

Resumen: En esta charla vamos a definir las representaciones de un grafo orientado, y a caracterizar aquellos grafos que admiten sólo un número finito de representaciones indescomponibles no isomorfas entre sí. Gabriel demostró en 1972 que esto ocurre si el grafo subyacente es de tipo Dynkin. Aquí daremos las herramientas necesarias para su demostración, como la forma cuadrática asociada a un grafo orientado, el grupo de Weyl, la transformación de Coxeter y los funtores de reflexión.

Introducción a las categorías diagramáticas

Karina Batistelli (Universidad de Chile)

Resumen: En esta charla comenzaremos definiendo una categoría de la manera tradicional, por medio de axiomas y diagramas conmutativos tales como el diagrama del pentágono. Luego mostraremos cómo los mismos conceptos pueden ser presentados de manera diagramática intuitivamente y veremos el ejemplo de la categoría de Temperley-Lieb.

Charlas virtuales (2020-2021)

Durante la pandemia del Coronavirus el seminario se realizó de manera online. Cliqueando en el título de la charla puedes encontrar más información tal como el resumen, el enlace de la grabación en YouTube, del archivo con las filminas, del paper en la cual la charla está basada, etc. Las grabaciones también se pueden encontrar yendo directamente al Canal de YouTube SemACT. 

Haz clic aquí si no puedes ver el listado de charlas abajo. 

Charlas presenciales prepandemia

An introduction to quaternion algebras

Benjamin Linowitz (Oberlin College)

Abstract: This talk will be a friendly introduction to the theory of quaternion algebras. Quaternion algebras are fascinating algebraic objects that turn out to have intriguing applications to a variety of fields: elementary and algebraic number theory, the theory of automorphic forms, arithmetic algebraic geometry, spectral geometry, etc. In this talk we'll discuss the history of quaternion algebras, their basic properties, and some of their applications to number theory and geometry.

Álgebras de Lie asociadas a álgebras de Nichols de tipo diagonal

Fiorela Rossi Bertone (Universidad Nacional del Sur)

Resumen: Comenzaremos repasando nociones básicas de teoría de Lie para poder entender la importancia y profundidad de la definición de los grupos cuánticos de Lusztig. Esto nos facilitará la tarea de introducir las álgebras de Nichols de tipo diagonal y dimensión finita que son generalizaciones naturales de las ideas de Lusztig.

Por último nos enfocaremos en un trabajo conjunto con Nicolás Andruskiewitsch e Iván Angiono en el cual asociamos a cada una de las álgebra de Nichols de dimensión finita (clasificadas por Heckenberger), un álgebra de Lie compleja semisimple de dimensión finita, generalizando así algunos resultados de Lusztig.