Problema 1 - OMC 2022

En aquesta entrada donaré diverses solucions del primer problema de l'Olimpíada Matemàtica (OMC) del curs 22-23 (fase Catalana). El que més m'agrada és la diversitat de resolucions que he anat recollint de diferents persones a les quals els hi he plantejat el problema. Aquestes involucren branques com l'anàlisi, l'àlgebra, la teoria de nombres, la geometria o inclús l'estadística!

Determineu els enters positius n per als quals el nombre n²+5n+6 és un quadrat perfecte.

Anàlisi! (Solució de la SCM)

L'expressió n²+5n+6 es pot factoritzar com (n+2)(n+3). I aquesta cumpleix (n+2)² < (n+2)(n+3) < (n+3)². Els nombres (n+2)² i (n+3)² són quadrats perfectes consecutius, ja que aquests són

1², 2², 3², ... , n², (n+1)², (n+2)², ...

Per tant, per definició de consecutius, entre mig d'ells no hi podrà haver un altre.

Àlgebra!

El problema es pot pensar com la cerca de les solucions de l'equació n²+5n+6=k² en el conjunt dels nombres naturals. Pensant-ho com una família d'equacions de 2n grau on la incògnita és la n, aplicant la fórmula general i agrupant tenim que n és igual a:

Demostrem que aquesta expressió mai és entera o, en altres paraules, que cap solució de les equacions de la família és entera.

Per a que fos entera, el numerador hauria de ser parell i, en particular, també enter. Per tant, 1+(2k)² hauria de ser un quadrat perfecte. Però (2k)² és quadrat perfecte, i els únics quadrats perfectes que disten en una unitat són el 0 i el 1. Podrien ser aquest cas? No, ja que si són el 0 i el 1, voldria dir que k=0 i 1+(2k)²=1, i si k=0, tenim n²+5n+6=0, que no té solucions naturals.

Teoria de nombres! (solució d'un antic professor i també la d'un conegut italià

Els quadrats perfectes son caracteritzables per aquells que tenen una descomposició en nombres primers la qual tots els exponents son parells.

Partim, doncs, de la mateixa expressió que abans, (n+2)(n+3). Els nombres primers de la descomposició o bé dividiran a n+2 o bé a n+3, ja que dos nombres enters consecutius sempre son coprimers. Per tant, tindrem que hem descomposat "sense voler-ho" també els nombres n+2 i n+3 per separat, i resulta que aquestes descomposicions també tindran exponents parells, per la qual cosa n+2 i n+3 seran quadrats perfectes. La contradicció recau en que dos nombres consecutius no poden ser quadrats perfectes a menys que siguin 0 i 1, que és impossible, ja que n+2 sempre és més gran que 1.

Estadística! (solució d'un boníssim professor, la meva preferida)

El problema és equivalent a trobar solucions de l'equació √(n+2)(n+3)=k. Observem que, per a qualsevol n, k serà la mitjana geomètrica de n+2 i n+3, per la qual cosa sempre serà un nombre que estarà entre aquests dos enters consecutius i, per tant, no podrà ser enter. No podeu dir que no és preciosa!

Geometria!

Fent el canvi m=n+2, tenim n²+5n+6=(n+2)(n+3)=m·(m+1). Geomètricament, es pot pensar com un quadrat de costat m i un rectangle de costats m i 1.

Ara l'objectiu és ajuntar les dues figures de manera que formin un altre quadrat de costat enter. Aquí podríem dir que tenim diferents resolucions, però jo diria que més bé són diferents arguments per demostrar el mateix: l'àrea del rectangle és insuficient per recobrir el quadrat sencer.

Una primera de veure-ho és la següent: Si volem crear un nou quadrat més gran, el costat del nou quadrat serà, com a mínim, m+1. D'aquesta manera, veiem que el rectangle, que pobret només té altura 1, només ens servirà per recobrir un costat del quadrat, per la qual cosa es queda curt. De manera més col·loquial, el rectangle no es pot fer més prim per recobrir-lo sencer, ja que l'altura és 1, i fent-lo més prim tindríem una altura decimal, per la qual cosa no crearà un quadrat de costat enter.

Una altra manera de veure que l'àrea del rectangle és insuficient és quantificant-la. L'àrea del quadrat més la del rectangle és m²+m, i la del quadrat de costat m+1 és (m+1)², i de seguida tenim que (m+1)²=m²+2m+1>m²+m per a tot valor de m.

També pot ser interessant pensar quina forma tindrien els possibles recobriments (com en la foto que adjunto) i deduir, en tots ells, que el recobriment serà sempre més gran que l'àrea del rectangle.

Espero que hagis disfrutat d'aquest problema tant com jo!

27 de maig de 2025