Geometria Informatica 23/24

Sistemi lineari: soluzioni, rango, eliminazione di Gauss, notazione matriciale. 

Spazi vettoriali: definizione, sottospazi (presentazione parametrica e Cartesiana), indipendenza lineare, basi, dimensione, le coordinate rispetto a una base, somma e intersezione di sottospazi, somme dirette, la formula di Grassmann.

Applicazioni lineari: definizione, nucleo e immagine, rango di un applicazione lineare, il teorema di Rouché-Capelli, lo spazio delle applicazioni lineari, esistenza e unicità di un'applicazione lineare che assume valori assegnati su una base, la matrice associata a un'applicazione lineare date due basi, formula di cambio base, composizione di applicazioni lineari, applicazioni invertibili e l'inversa, matrici inverse.

Endomorfismi: cambio base e coniugio di matrici, il determinante (esistenza e unicità, proprietà), criterio degli orlati, teorema di Binet, metodo di Cramer e l'inversa con Cramer, autovalori e autovettori, molteplicità algebrica e geometrica, criterio di diagonalizzabilità.

Prodotti scalari: definizione, ortogonalità, nucleo di un prodotto scalare, prodotti definiti e indefiniti, la matrice associata a un prodotto scalare in una base e la relazione di congruenza, criterio di Sylvester per la positività di un prodotto scalare, ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza triangolare, spazi metrici, distanza e angoli tra vettori, proiezioni ortogonali e la distanza tra un vettore e uno spazio.