Appunti Geometria Informatica 23/24
Programma: esempi di applicazioni dell'algebra lineare all'informatica. Il problema del ranking di Google e il problema del flusso di traffico. Introduzione ai sistemi lineari.
Testi: [He] Ch I.1, o [AdF] Ch. 3, 3.1 o [CCG] Cap. 6 sez. 1.
Programma: soluzione parametrica di un sistema lineare. Sistemi a scala. L'algoritmo di eliminazione di Gauss.
Testi: [He] Ch.I, I.1 e I.2, o [AdF] Sez. 3, 3.2-3.3 (solo per sistemi quadrati) e 6.1-6.2 (generale ma usa terminologia che non abbiamo ancora) o [CCG] Cap. 6 sez 1 e 2 (algoritmo B), vedere anche Cap. 3 sez 3.
Programma: Esempio: sistemi dipendenti da un parametro. Il sistema omogeneo associato; relazione con le soluzioni del sistema di partenza. Notazione vettoriale per le soluzioni.
Testi: [He] Ch.I, I.2 e I.3, o [AdF] Sez. 6.1-6.2.
Programma: Esempio: Notazione matriciale per i sistemi, esempi di sistemi dipendenti da un parametro. Spazi vettoriali: definizione ed esempi.
Testi: [AdF] Sez. 3.1 e 6.1 per la notazione matriciale. Per la definizione di spazio vettoriale [He] Ch.II, I.1 e I.2, [AdF], Sez. 4.1, o [GGC] Cap. 4, sez. 1-2.
Programma: Span e presentazione parametrica di un sottospazio, presentazione Cartesiana di un sottospazio, come passare da una all'altra.
Testi: [AdF] Sez. 4.1 e 4.2 o [He] Ch.II, I.2 o [CCG] Cap. 4, sez 2-3.
Programma: Indipendenza lineare, basi, definizioni equivalenti di base.
Testi: [AdF] Sez. 4.2 e 4.3, o [He] Ch.II, I.2, II.1, III.1, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Esistenza di basi, "mosse di colonna" non cambiano span e dipendenza/indipendenza, tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi, dimensione di uno spazio vettoriale.
Testi: [AdF] Sez. 4.3 e 4.4, o [He] Ch.II, III.1, III.2, o [CCG] Cap. 4, sez 4-5.
Programma: Coordinate rispetto a una base, le coordinate definiscono un isomorfismo con uno spazio vettoriale numerico, calcoli su indipendenza e spazi generati usando mosse di riga.
Testi: [AdF] Sez. 4.3, 6.3 e 6.4, o [He] Ch.II, III.1, III.3, o [CCG] Cap.4, sez 5 (solo coordinate).
Programma: Complementi: il teorema di completamento della base, il numero di colonne e righe indipendenti di una matrice è uguale. Somma e intersezione di sottospazi, la formula di Grassmann.
Testi: [AdF] Sez. 4.4-4,5 o [CCG] Cap. 4, sez 6.
Programma: Prodotto tra matrici e vettori, sue proprietà, nucleo e immagine di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Corollario: il nostro procedimento per ottenere una presentazione Cartesiana da una parametrica è corretto.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2. .
Programma: Applicazioni lineari: definizione, esempi, immagine e nucleo, teorema della dimensione.
Testi: [AdF] Sez. 5.1 e 5.2, o [CCG] Cap. 5, sez 1.
Programma: Esistenza e unicità di un'applicazione lineare assegnati i valori su una base. Condizioni per iniettività e suriettività. Un'applicazione lineare è bigettiva se e solo se manda una base in una base. Esistenza e unicità dell'inversa.
Testi: [AdF] Sez. 5.2. e 7.1 o [CCG], Cap. 5, sez. 1 e 2.
Programma: Esempi di applicazione del teorema di esistenza e unicità: proiezione lungo un W' su W, calcolo dell'inversa di un'applicazione lineare. Somma e composizione di applicazioni lineari sono lineari. Lo spazio delle applicazioni lineari. Relazione tra lo spazio delle applicazioni lineari e lo spazio delle matrici mxn: una base dello spazio delle applicazioni lineari, la matrice associata a un'applicazione rispetto a delle basi di V e W.
Testi: [AdF] sez. 7.1, 8.1 e 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2.
Programma: La mappa che associa a una matrice mxn un'applicazione lineare da V a W, esempi su matrici associate. La matrice di cambio base. Prodotto tra matrici.
Testi: [AdF] sez. 7.1, 7.2, 8.1 e 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2 e 4, Cap. 3, sez. 2.
Programma: Proprietà del prodotto tra matrici. Formula per la matrice associata alla composizione, formula di cambio base. Come calcolare le matrici di cambio base. Esempi.
Testi: [AdF] sez. 7.1, 7.2, 8.1 e 8.2 o [CCG] Cap. 5, sez. 2 e 4, Cap. 3, sez. 2.
Programma: Matrici inverse e applicazioni inverse. Esistenza e proprietà della matrice inversa. Inversa di un prodotto/composizione. Calcolo dell'inversa con Gauss-Jordan.
Testi: [AdF] sez. 7.3. Nota: l'uso dell'algoritmo di Gauss-Jordan per calcolare l'inversa è descritto nell'esempio 7.7 o [CCG] Cap 3, osservazione 3.4.7 per il calcolo dell'inversa.
Programma: Endomorfismi: coniugio e matrici simili, classi di coniugio/similitudine. Il determinante: assiomi e proprietà principali, sviluppo di Laplace.
Testi: [AdF] sez. 8.2, 9.1 e 9.2 o [CCG] Cap. 5, sez 5.4 e 5.5 e Cap. 3, sez 5 e 6.
Programma: Il determinante: sviluppo per righe, il determinante ha le stesse proprietà per righe e per colonne, teorema di Binet, il determinante di due matici simili è uguale, determinante di un endomorfismo. Formula di Cramer e inversa con Cramer. Il teorema degli Orlati.
Testi: [AdF] sez. 9.2 e 9.3 (l'inversa con Cramer è fatta nell'esercizio 9.18) o [CCG] Cap. 6 sez 2 per Cramer, Cap 5 sez. 3 per il criterio degli orlati
Programma: Autovettori e autovalori, endomorfismi e matrici diagonalizzabili, diagonalizzabilità equivale all'esistenza di una base di autovettori. Il polinomio caratteristico, gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico. Definizione di autospazi. Esempi di diagonalizzazione.
Testi: [AdF] sez. 13.1-13.2 o [CCG] Cap. 7 sez 1-2.
Programma: Qualche fatto sui polinomi: fattorizzazione unica, teorema fondamentale dell'algebra, lemma di Gauss, divisione polinomiale. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, diseguglianza tra le due, autovettori per autovalori distinti sono indipendenti, criterio di diagonalizzabilità.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3.
Programma: Esercizi su diagonalizzazione e similitudine. Discussione informale: la forma di Jordan (fuori da programma d'esame). Esempio: angoli e lunghezze in nel piano Cartesiano. I prodotti scalari: definizione e esempi.
Testi: [AdF] Sez. 13.1-13.3 e Sez. 11.1 o [CCG] Cap. 7 sez 1-3, Cap. 8 sez. 1.
Programma: La matrice di un prodotto scalare in una data base, formula di cambio base, ortogonalità, sottospazio ortogonale a un sottospazio, nucleo di un prodotto scalare.
Testi: [AdF] Sez. 11.1 e 11.5. [CCG] tratta gli argomenti in una maniera differente e non ha un corrispondente di questa lezione.
Programma: Dimensione del sottospazio ortogonale, prodotti scalari definiti, semidefiniti, indefiniti. Criterio per avere un prodotto scalare definito. Spazi metrici, l'ortogonale è in somma diretta, basi ortogonali e ortonormali, algoritmo di Gram-Schmidt, un prodotto è positivo se e solo esiste una base ortonormale.
Testi: [AdF] Sez. 11.3 e 11.4 o [CCG] Cap. 8 sez. 2, 4 e 5
Programma: Basi ortogonali e coefficienti. Calcolare la proiezione su un sottospazio usando una base ortogonale. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angoli e distanze in uno spazio metrico, distanza da un sottospazio. .
Testi: [AdF] Sez. 11.4, 12.1, 12.2 o [CCG] Cap. 8, sez. 4 e 5.