Appunti di Geometria per Architettura
Programma: il piano Euclideo: vettori, prodotto scalare, lunghezza di un vettore, angolo tra due vettori, sottospazi.
Testo: Capitolo 2, sezioni 2.1-2.2 per l'intuizione geometrica del piano; Capitolo 11, sezione 11.1 per il prodotto scalare; Capitolo 12, sez. 12.1-12.2 per angoli e distanze; Capitolo 4, sezione 4.1 per il concetto di spazio vettoriale e sottospazio.
Programma: il piano Euclideo: generatori e dimensione di un sottospazio vettoriale, presentazioni parametrica e Cartesiana.
Testo: Capitolo 4, sezioni 4.3 e 4.4 per il concetto di dimensione (tratteremo questo argomento in maniera più simile al libro più avanti); Capitolo 2, sezione 2.3 e Capitolo 6, sezione 6.4.
Programma: il piano Euclideo: geometria affine, sottospazi affini, giacitura di un sottospazio, presentazioni parametrica e cartesiana, sottospazi ortogonali e paralleli.
Testo: Capitolo 2, sezioni 2.2 e 2.3, Capitolo 10, sezione 10.1.
Programma: il piano Euclideo: sistemi di riferimento, isometrie positive (moti rigidi) del piano: traslazioni e rotazioni attorno all'origine.
Testo: Capitolo 2, sezione 2.2 e Capitolo 10, sez. 10.7 per i riferimenti. Capitolo 11, sez. 11.6 per le isometrie (il linguaggio usato qua sarà più chiaro più avanti nel corso).
Esercizi sulla prima parte del corso
Questi esercizi richiedono una comprensione del materiale un po' più salda di quelli alla fine degli appunti settimanali e domande simili potrebbero apparire negli scritti.
Non leggetele prima di avere provato - e riprovato - a farli! Le soluzioni sono più dettagliate di quanto richiesto in uno scritto. Alcuni ragionamenti sono trattati in maniera più approfondita la prima volta che appariono e poi utilizzati senza commenti negli esercizi successivi.
Ho corretto alcuni errori che erano stati gentilmente segnalati da uno studente.
Programma: lo spazio tridimensionale: definizioni, indipendenza lineare, dimensione, scritture parametriche e cartesiane, basi, coefficienti rispetto a una base.
Testo: Capitolo 4, sezioni 4.1, 4.2, 4.3.
Programma: matrici: definizione, moltiplicazione per vettori, immagine e nucleo, determinante.
Testo: Capitolo 5, sezioni 5.1 e 5.2, Capitolo 9, sezione 9.1 (Def. 9.1 e Teo 9.5 per la definizione ricorsiva del determinante).
Fac-simile di prima prova in itinere
Il formato e il tipo di esercizi di questo fac-simile corrisponderanno a quelli della prova. Fatela in condizione da esame, cronometrandovi. Gli esercizi a soluzione breve valgono tutti lo stesso numero di punti, così come quelli a soluzione lunga. La somma totale dei punti supera 30.
Programma: correzione del fac-simile di prova in itinere.
Ancora esercizi sulla prima parte del corso
Questi esercizi sono un misto di (1) conti semplici "all'ingrosso" di cui fare la quantità che ritenete necessaria (2) esercizi da scritto (3) esercizi leggermente più complicati (quelli col parametro) per convincervi che avete veramente capito.
Prima prova in itinere: versione a, versione b
Soluzioni: versione a, versione b
Programma: il determinante. Definizione, principali proprietà, una matrice è non singolare se e solo se ha determinante non nullo.
Testo: Capitolo 9, sezioni 9.1 e 9.2.
Programma: il rango di una matrice. Teorema degli orlati e applicazioni.
Testo: Capitolo 9, sezione 9.4.
Programma: Sistemi di equazioni in forma matriciale, teorema della dimensione, teorema di Rouché Capelli, intersezione di sottospazi. Nel primo esempio ho modificato l'ultimo vettore rispetto a quello che ho fatto in classe perché rifacendo i conti usciva troppo complicato.
Testo: Capitolo 5, sezione 5.2.
Programma: Mosse di riga non cambiano le soluzioni di un sistema. Sistemi e matrici a scala, risoluzione dei sistemi a scala. Ridurre un sistema in forma a scala con l'eliminazione di Gauss.
Testo: Capitolo 6, sezioni 6.1, 6.2 e 6.3.
Programma: Moltiplicazione tra matrici, esistenza e unicità della matrice inversa, calcolo della matrice inversa e sue applicazioni.
Testo: Capitolo 7, sezioni 7.2, 7.3, capitolo 8, sezione 8.1 e capitolo 9, corollario 9.10. I metodi di calcolo della matrice inversa sono presentati come l'esempio 7.7 e l'esercizio 9.18.
Programma: Esercizi sulla seconda parte del corso. Le dispense contengono alcuni esercizi che non ho fatto in tempo a fare in classe.
Fac-simile di seconda prova in itinere
Il formato e il tipo di esercizi di questo fac-simile corrisponderanno a quelli della prova. Fatela in condizione da esame, cronometrandovi. Gli esercizi a soluzione breve valgono tutti lo stesso numero di punti, così come quelli a soluzione lunga. La somma totale dei punti supera 30.
Programma: Cambio base di vettori scritti in coordinate rispetto a una seconda base. Cambio base di matrici. Lo spazio affine tridimensionale: prime definizioni.
Testo: Capitolo 8, sez. 8.1 e 8.2. Capitolo 10, sez. 10.7 (riferimenti affini) e 10.1. Ho cambiato la lettera usata per descrivere un riferimento affine in R per coerenza con quanto fatto in dimensione 2 (e perché ha più senso).
Programma: Lo spazio affine tridimensionale: dimensione dello span affine di due sottospazi, formula di Grassmann affine, equazioni della retta per due punti e del piano per tre punti, esempi.
Testo: Capitolo 10, sez. 10.1 e 10.2.
Programma: Lo spazio affine tridimensionale: spazi paralleli, incidenti, contenuti uno nell'altro, esempi. Il prodotto scalare in R^3: definizione, proprietà di base, proiezione ortogonale su una retta, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cachy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angoli e distanze.
Testo: Capitolo 10, sez. 10.1 e 10.2. Capitolo 11, sez. 11.1, 11.2, 11.4.
Programma: Lo spazio affine tridimensionale: sottospazi ortogonali, distanza tra due sottospazi, esempi.
Testo: Capitolo 12, sez. 12.1, 12.2.
Programma: Basi ortogonali e ortonormali, l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Testo: Capitolo 12, sez. 12.1, 12.2.
Programma: Esercizi su geometria affine e Euclidea.
Programma: Esercizi su diagonalizzazione diagonalizzazione. Argomento fuori programma: la geometria proiettiva.
Programma: Esercizi su ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e diagonalizzazione.