L'equazione di una retta

L’equazione di una retta è un'equazione che ha a primo membro la y e a secondo membro un polinomio.

Equazione di una retta passante per l'origine

m = è il coefficiente angolare della retta che indica la pendenza della retta rispetto all’asse x

Se m ha valore:

• positivo, allora la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle x

• negativo, allora la retta forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle x

• uguale a 0, allora la retta coincide con l’asse delle x

Assi cartesiani

Gli assi cartesiani sono due rette, sono quindi descrivibili con equazioni:

Asse X

L'equazione che descrive l'asse X è y = 0 .

Asse Y

L'equazione che descrive l'asse Y è x = 0 .

Equazione generale della retta (non parallela all’asse y)

La formula generica è y = mx+q con m,q ∈ IR.

Nell'equazione y = mx+q abbiamo che:

• m è il coefficiente angolare;

• q è l'intercetta (rappresenta il punto di intersezione della retta con l’asse y, quindi se q = 0 la retta è passante per l’origine degli assi).

Appartiene o non appartiene? Questo il dilemma!

Come capire se un punto appartiene ad una retta? "Un punto appartiene a una retta se e solo se soddisfa la sua equazione", quindi basta sostituire al posto della x (nell'equazione) la x del punto (ascissa) e verificare che la y nell'equazione corrisponda alla y (ordinata) del punto (ovvero dobbiamo verificare se effettuando la sostituzione ci risulta un'identità).

Posizione reciproca tra due rette

Date due rette r e s, esse possono essere di tre tipologie:

• incidenti

• parallele distinte

• parallele coincidenti

r: ax+by+c=0

s: a’x+b'y+c=0

Se aa'≠ bb' ⟶ rette incidenti

Se aa'=bb'≠cc'⟶ rette parallele e distinte

Se aa'=bb'=cc'⟶ rette parallele e coincidenti

Rette parallele e perpendicolari

Parallelismo in forma esplicita

Due rette in forma esplicita sono tra loro parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare.

r: y= mx + q

s: y = m’x + q’

In "matematichese" possiamo dire:

r ∥ s ⇔ m = m’

Parallelismo in forma implicita

r: ax + by + c = 0

s: a’x + b’y + c’ = 0

Perpendicolarismo in forma esplicita

Due rette in forma esplicita sono tra loro perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare di una retta coincide con l'antireciproco dell’altra.

r: y = mx + q

s: y = m’x + q’

In "matematichese" possiamo dire:

Effettuare l’antireciproco di un numero significa cambiare segno e scambiare numeratore e denominatore.

Perpendicolarismo in forma implicita

r: ax + by + c = 0

s: a’x + b’y + c’ = 0

In forma implicita due rette sono perpendicolare se soddisfano la seguente condizione:

aa’ + bb’ = 0

I fasci di rette

FASCI IMPROPRI DI RETTE

Si definisce fascio improprio di rette tutte le rette di equazione y = mx + q dove m è costante e q è un parametro. Si definisce retta base del fascio la retta y = mx.

Funzioni lineari a tratti

Una funzione è una legge che ad ogni elemento di un sottoinsieme A di IR associa uno ed un solo elemento a di B ⊆ IR. Le funzioni lineari a tratti sono funzioni il cui grafico è costituito dall’unione di segmenti e/o semirette.

Equazione di una retta passante per due punti

dati due punti di coordinate A (Xa ; Ya) e B (Xb ; Yb) esiste un’unica retta passante per A e B di equazione:

Funzione in valore assoluto

Y = I A(x) I

dove A(x) è un polinomio e si chiama argomento del valore assoluto. Abbiamo già parlato di valore assoluto (o modulo) di un numero qui.

Quando A(x) > 0 ➝ | A(x) | = A(x)

Quando A(x) < 0 ➝ | A(x) | = - [ A(x) ]

X < 0 ➝ disequazione di primo grado. abbiamo trattato l'argomento qui.