Disequazioni di primo grado

Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali legate da uno dei seguenti segni:

• < minore;

• > maggiore;

• ≤ minore uguale;

• ≥ maggiore uguale.

Una disequazione si dice lineare se ha grado 1 e se non è fratta.

Risolvere una disequazione significa trovare tutte le soluzioni che rendono vera la disuguaglianza. Per risolvere algebricamente le disequazioni sfruttiamo due principi:

- Primo principio di equivalenza:

aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso numero o espressione si ottiene una disequazione equivalente.

- Secondo principio di equivalenza:

moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero diverso da 0 o per una espressione che non possa annullarsi otteniamo una disequazione equivalente:

1 - mantenendo lo stesso verso se il numero è positivo

2 - cambiando verso se il numero per cui moltiplichiamo è negativo

Tipi di rappresentazione

Ricordiamoci innanzi tutto che il risultato di una disequazione è in realtà un intervallo di valori.

Per rappresentare questo intervallo di valori i matematici si affidano a quattro tipologie di rappresentazione:

• RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICA: viene indicato con una disuguaglianza l'intervallo di valori che risolve la disequazione esaminata.

Esempio: x<2 oppure x<3 ∨ x>5

• RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE INTERVALLI: tra parentesi quadre vengono posti i limiti dell'intervallo, separati da un punto e virgola. Per entrambi gli estremi si pone una parentesi rivolta verso l'esterno se l'estremo non è compreso o verso l'interno se l'estremo è compreso (infinito positivo e infinito negativo sono sempre esclusi).

Esempio: ] 1; +∞ [ ovvero da 1 (escluso) fino a più infinito

• RAPPRESENTAZIONE TOPOLOGICA: con le parole vengono descritti gli intervalli. Ogni intervallo può essere descritto con le parole aperto/chiuso, limitato/illimitato, superiormente/inferiormente, destra/sinistra.

Esempio: "intervallo limitato superiormente e aperto a destra" nel caso di ]-∞; 2]

• RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE PARTI DI RETTA: su una retta vengono posizionati gli estremi dell'intervallo. I valori vengono individuati da palline piene (quando l'estremo è compreso) e da palline vuote (quando l'estremo non è compreso).