Le grandezze come lunghezza, tempo e massa sono completamente determinate da un valore numerico seguito da un'unità di misura. Queste grandezze si chiamano grandezze scalari.

Si chiamano grandezze vettoriali (o vettori) quelle grandezze che sono definite da:

• Modulo: la quantità numerica positiva che indica il valore della grandezza

• Direzione: la retta su cui giace il vettore

• Verso: l'orientazione del vettore

Se moltiplichiamo un vettore v per uno scalare k otteniamo un vettore w con le seguenti caratteristiche:

• Modulo pari al prodotto del modulo di v e il valore dello scalare k;

• Direzione uguale a quella del vettore v;

• Verso uguale a quello del vettore v se lo scalare è positivo, se lo scalare è negativo il vettore risultante avrà verso opposto.

Per sommare graficamente due vettori, si possono utilizzare due tecniche:

• La regola del parallelogramma

Si costruisce un parallelogramma con i due vettori (mettendoli con origine in comune), il vettore risultante sarà la diagonale del parallelogramma (fig.1);

• Il metodo punta a coda

Si trasporta il secondo vettore in modo che la sua coda coincida con la punta del primo, il vettore risultante avrà per coda la coda del primo vettore, e per punta la punta del primo vettore (fig.2).

La differenza tra due vettori si ottiene sommando il primo e l'opposto del secondo.

Per vettore opposto si considera un vettore v' con modulo e direzione uguale a v, ma con verso opposto.

Le componenti cartesiane di un vettore sono le proiezioni del vettore sull'asse x e y del piano cartesiano. Per calcolarle dobbiamo prima introdurre i concetti di seno e coseno.

Le funzioni goniometriche sono tre (seno, coseno e tangente) ma poiché la tangente non la utilizzeremo la introdurremo in futuro.

"Il seno di alfa è uguale al rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa"

sin A = Co/i

"Il coseno di alfa è uguale al rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa"

cos A = Ca/i

Vy = v sin A

Vx = v cos A

Esistono tre casi in cui ci si può trovare:

• Somma di 2 vettori paralleli (stessa direzione): in questo caso, il vettore risultante avrà modulo pari alla somma dei due moduli, direzione uguale a quella dei moduli, verso del vettore maggiore.

• Somma di 2 vettori perpendicolari: possiamo calcolare il modulo con il Teorema di Pitagora, il verso lo intuiamo dal disegno e la direzione la calcoliamo con la formula inversa del coseno o del seno ovvero A = cos^-1 (Ca/i) e A = sen^-1 (Co/i)

• Somma di due vettori qualsiasi: scomponiamo i vettori nelle loro componenti cartesiane, poi sommiamo le componenti totali di x e componenti totali di y, poi faremo il Teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore risultante e useremo le formule prima citate per calcolare la direzione.

Esistono tre casi in cui ci si può trovare:

• Differenza di 2 vettori paralleli (stessa direzione): in questo caso, il vettore risultante avrà modulo pari alla differenza dei due moduli, direzione uguale a quella dei moduli, verso del vettore maggiore.

• Differenza di 2 vettori perpendicolari: possiamo calcolare il modulo con il Teorema di Pitagora, il verso lo intuiamo dal disegno (ricordandoci di invertire il verso del secondo vettore) e la direzione la calcoliamo con la formula inversa del coseno o del seno ovvero A = cos^-1 (Ca/i) e A = sen^-1 (Co/i)

• Differenza di due vettori qualsiasi: scomponiamo i vettori nelle loro componenti cartesiane, poi effettueremo una differenza tra le componenti di x e di y, poi faremo il Teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore risultante e useremo le formule prima citate per calcolare la direzione.

il prodotto scalare u ∙ v da come risultato uno scalare che si ottiene moltiplicandi il modulo di v per il modulo di u per il coseno dell'angolo tra i due vettori:

u ∙ v = u v cos A

Proprietà:

• il prodotto scalare è commutativo

• il prodotto scalare è nullo se e solo se uno dei due vettori è nullo o se i due vettori sono perpendicolari (90°)

• il prodotto scalare ha valore massimo quando il coseno è 1, ovvero quando i due vettori sono paralleli (0°)

• il prodotto scalare ha valore minimo quando il coseno è -1, ovvero quando l'angolo è piatto (180°)

• il quadrato di un vettore è uno scalare, ed è uguale al quadrato del suo modulo. Infatti: v ∙ v = v v cos 0° = v^2

Interpretazione geometrica:

Da un punto di vista geometrico il prodotto scalare u * v coincide con il prodotto tra il modulo del primo vettore u e la proiezione del secondo vettore v sul primo.

(Per le varie casistiche consiglio di consultare il libro lo sguardo fisico p. 112)

Il prodotto vettoriale di due vettori u e v è un vettore, che ha modulo pari al prodotto del modulo di u per il modulo di v per il sen dell'angolo compreso tra i due vettori , direzione perpendicolare al piano individuato dai due vettori. Per individuare il verso occorre affidarsi alla regola della mano destra.

Il vettore, quando viene disegnato, se è entrante si rappresenta con un cerchio contenente una x, se è uscente con un cerchio e contenente un puntino. (per approfondimenti p.113 del libro di testo "oltre lo sguardo fisico")

Proprietà

• il il prodotto vettoriale è anticommutativo

• il il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli o opposti (0° e 180°)

• il il prodotto vettoriale è massimo per il seno di 1, quando i vettori sono ortogonali (90°)

Interpretazione geometrica

Il modulo del prodotto vettoriale è pari all'area del parallelogramma determinato da due vettori.