Horário das aulas presenciais: 4ª e 6ª-feiras, de 10:00 até 12:00, sala 209
Descrição da disciplina: A topologia diferencial estuda as variedades e as aplicações entre variedades sob um ponto de vista diferenciável, com interesse em obter propriedades topológicas das mesmas. No último século houve um grande interesse no estudo das variedades, tanto na Matemática quanto na Física e na Modelagem Matemática. Nesta disciplina estudaremos os principais objetos relacionados às variedades, incluindo a topologia de Whitney no espaço de aplicações de classe C^r, o Teorema da Transversalidade de Thom, o grau topológico de uma aplicação e o número de interseção. Também estudaremos alguns invariantes topológicos, como a característica de Euler, os grupos de cohomologia de de Rham e o grupo fundamental.
Ementa do curso: Variedades diferenciáveis, aplicações diferenciáveis entre variedades. Partição da unidade. Topologia de Whitney, aproximações, espaço de jatos. Transversalidade, Lema de Sard. Fibrados vetoriais. Vizinhança tubular. Grau topológico, número de interseção, característica de Euler. Cálculo em variedades, Teorema de Stokes. Cohomologia de de Rham. Grupo fundamental e espaços de recobrimento. Elementos de teoria de Morse.
Cronograma de aulas: Cronograma de aulas neste link
Bibliografia Principal:
M. Hirsch - Differential Topology (ver também as notas 1, 2 e 3 do prof A. Arbieto)
J. Milnor - Topology from the Differentiable Viewpoint
Elon Lages Lima - Variedades Diferenciáveis
Elon Lages Lima - Introdução à Topologia Diferencial
Bibliografia Secundária:
V. Guillemin, A. Pollack - Differential Topology
W. de Melo - Topologia das Variedades
Bibliografia complementar sobre variedades diferenciáveis:
J. Lee - Introduction to Smooth Manifolds
L. Tu - An Introduction to Manifolds
Listas:
Lista 1 - entregar dia 16/09
Lista 2 - entregar dia 21/10
Lista 3 - entregar dia 02/12 -> Obs: não precisa fazer o Exercício 6 da Lista 3, já que ele aparece na Lista 4.
Lista 4 - entregar dia 08/12
Prova:
Seminário: Sugestões de seminários (e sugestões de referências):
- Classificação das variedades de dimensão 1 (apêndice do livro do Milnor ou apêndice 2 do Guillemin-Pollack)
- Teorema da Curvatura Integral (seção 4.9 do Guillemin-Pollack ou capítulo IV do Elon)
- Teorema de Hopf (Teorema 8 do Capítulo II do Elon ou seção 6 do capítulo 3 do Guillemin-Pollack)
- Distribuições e o Teorema de Frobenius (capítulo 19 do Lee)
- Teoria de Morse (capítulo 6 do Hirsch)
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