Horário das aulas presenciais: 2ª e 3ª-feira, 13:00-15:00, sala 208 do DMAT
Pré-requisito: Introdução à Topologia e Análise na Reta.
Descrição da área: Sistemas Dinâmicos é uma das áreas mais ativas da matemática atual, envolve ferramentas e técnicas de muitas outras áreas como análise, geometria, topologia, probabilidade, teoria dos números, e tem muitas aplicações em muitos outros campos da ciência, como física , astronomia, meteorologia, economia, biologia, entre muitas. O objeto de estudo são sistemas que evoluem ao longo do tempo. Na Matemática, tal evolução no tempo pode ser obtida iterando uma função ou deixando evoluir o tempo na solução de uma equação diferencial ordinária; o sistema dinâmico é dito discreto quando o tempo evolui em unidades discretas (inteiras), e é dito contínuo quando a variável tempo é dada por um número real t.
Descrição da disciplina: Tendo um âmbito introdutório, o foco maior nessa disciplina será estudar sistemas dinâmicos discretos mais simples, que exigem como pré-requisito para estudá-los apenas técnicas de Análise Real e Espaços Métricos. Introduziremos os principais conceitos topológicos através do estudo da família quadrática e da aplicação deslocamento, em seguida estudaremos aplicações do intervalo mais gerais. Como exemplo de aplicação, vamos considerar fractais auto-afins e o cálculo de suas dimensões. Na parte final vamos introduzir noções de hiperbolicidade, primeiramente estudando a dinâmica na vizinhança de um ponto fixo hiperbólico, e depois estudando alguns conjuntos hiperbólicos historicamente importantes. A cada estudante será designado um tópico para estudar e apresentar na forma de seminário.
Ementa do curso: Conceitos básicos de sistemas dinâmicos: órbita, recorrência, transitividade, conjugação. Aplicações do intervalo e a família quadrática. O mapa tenda. Teorema de Sharkovskii. Aplicação deslocamento e suas propriedades. Entropia topológica. Fractais auto-afins e sua dimensão de Hausdorff. Dinâmica na vizinhança do ponto fixo hiperbólico, Teorema de Hartman-Grobman. Exemplos de dinâmica hiperbólica: ferradura, solenoide, automorfismos hiperbólicos do toro.
Conteúdo extra (podem ser seminários ou coberto pelo professor se o tempo permitir): Médias temporais e noções de Teoria Ergódica. Ponto fixo de contrações e dependência do parâmetro. Prova do Teorema de Hutchinson. Teorema de Perron-Frobenius e o Google Ranking. Alguns tópicos de EDO´s.
Cronograma de aulas:
Cronograma de aulas neste link
Bibliografia Principal:
S. Sternberg - Dynamical Systems
Bibliografia Complementar:
R. Holmgren - A first course in discrete dynamical systems
R. Devaney - An introduction to chaotic dynamical systems
C. Robinson - Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos
Listas:
Lista 1 - entregar até 02/08
Lista 2 - entregar até 20/09
Lista 3 - entregar até 28/09
Provas:
Prova 1 - dia 08/08 - gabarito
Seminários: Cada estudante deverá apresentar um seminário ao final da disciplina, o qual fará parte da avaliação.
Apresentações:
- Paulo Fernando: entropia topológica (03/11, 09:00-10:00)
- Daniel: Dinâmica complexa (03/11, 10:10-11:10)
- Rafaela: Teorema de Perron-Frobenius (04/11, 08:00-09:00)
- Antonio Marcos: Teorema de Moran (04/11, 09:10-10:10)
- Paulo Batista: Teorema de Weyl (04/11, 14:40-15:40)
Sugestões de seminários (e sugestões de referências):
- Bifurcação de duplicação de período (Seção 6.3 do Robinson);
- Teorema da Variedade Estável Lipschitz (Teorema 8.2.1 do Sternberg);
- Teorema de Perron-Frobenius (Teorema 9.1.1 do Sternberg);
- Entropia topológica: definição, invariância por conjugação e exemplos (Seção 12.4 do Sternberg);
- Automorfismos hiperbólicos do toro são caóticos (Seção 2.4 (Teorema 4.8) do Devaney)
- Teorema de Moran (Lectures 7 e 10 do Pesin-Climenhaga, ver também a parte final dessa apresentação);
- Lema de Inclinação (Lema 2.49 do Palis-deMelo);
- Estabilidade estrutural dos isomorfismos hiperbólicos (Teorema 3.1.1 das notas do Sambarino);
- Teorema de Poincaré-Siegel (Seções 2.7 e 2.8 do Katok-Hasselblat);
- Número de rotação e homeomorfismos do círculo (Seção 4.1 do Barreira-Valls, ou Seção 2.8 do Robinson, ou Seção 3.11 do Katok-Hasselblat, ou Seção 7.1 do Brin-Stuck)
- Teorema de Kronecker-Weyl: Rotação irracional no toro tem órbitas equidistribuídas (prova com Teoria dos Números: Teorema 8.7 do livro do Gugu / prova com Análise de Fourier: Seção 4.3 do Stein "Fourier analysis" ou aqui).
- Introdução à dinâmica complexa (Parte 3 do Devaney)