Titres et Résumés

• Carmen Arana
  Titre : Quadrangulations, outils topologiques et le nombre chromatique.
  Résumé : Le complexe de voisinage a été défini pour traiter le problème du nombre chromatique des graphes de Kneser. Depuis, cet outil a été utilisé pour étudier le nombre chromatique d'autres familles de graphes. Dans cet exposé, nous parlerons d'une rétraction du complexe de voisinage : le complexe de Lov\'{a}sz. En particulier, nous étudierons le complexe de Lov\'{a}sz des quadrangulations de surfaces, que nous construirons et identifierions. Nous calculerons ensuite la hauteur de Steifel-Whitney de ce complexe et nous pourrons en déduire une borne inférieure sur le nombre chromatique des graphes

• Clovis Chabertier
  Titre : Modules croisés supérieurs d’algèbres de Lie et homotopie rationnelle.
  Résumé : Il est connu depuis longtemps que la catégorie des groupes modélise les 1-types d'homotopie pointés. Dans les années 40, Whitehead étend cette équivalence en fournissant un modèle purement algébrique des 2-types pointés : les modules croisés de groupes. Enfin Loday dans es années 80 introduit les n-Cat-grp, généralisant les modules croisés, et permettant de modéliser les n+1-types pointés. Au début des années 70, Quillen puis Sullivan introduisent les types d'homotopie rationnelle et donnent des modèles purement algébriques (sous certaines conditions) :  les algèbres de Lie différentielles graduées et les algèbres commutatives différentielles graduées respectivement. Récemment, dans le but d’ôter certaines hypothèses techniques liées à ces modèles, Buijs - Félix - Murillo - Tanré d’une part, et Robert-Nicoud - Vallette d’autre part, étendent le modèle de Quillen des algèbres de Lie aux cas des espaces non simplement connexes en introduisant l’intégration des algèbres de Lie complètes. Félix et Tanré démontrent que l’on peut lier les approches des 2-types d'homotopie par les modules croisés et par les algèbres de Lie complètent puis conjecturent que l’on peut aller plus loin en utilisant les modèles de Loday et les les n-cat-grp. On se propose de passer en revue ces diverses notions et si le temps le permet, d’exposer certaine pistes dans le but de résoudre cette conjecture.

• Yorgo Chamoun
  Titre :  Sheaves can blow up locally ordered spaces.
  Résumé : Directed algebraic topology is a field whose goal is to model non-reversible phenomena, typically when there is some notion of time involved. The main example is given by geometric models of concurrent systems, where one wants to study the interaction of non-reversible parallel processes [Faj+16]. Many such models exist, and we will be concerned with two of them. On the one hand, locally ordered spaces are topological spaces such that every point has a neighborhood of ordered open sets (with a coherence condition on the intersections), and can be thought of as ”continuous” models. On the other hand, precubical sets are presheaves over the cube category, and can be thought of as ”discrete” or ”com- binatorial” models. In algebraic topology, we are used to having a ”realization” functor from combinatorial to continuous models, for example, the realization of simplicial sets in topological spaces, which is simply given by Kan extension.

In the directed case, the situation is more complicated, since the category of locally ordered spaces is not cocomplete [CH24]. However, it is indeed possible to realize every precubical set as a locally ordered space (see [FRG06] for a particular case; the general case is still unpublished). We will start by showing that the subcategory of euclidean local orders, which are locally ordered spaces locally isomorphic to a euclidean ordered space, is coreflective in the category of locally ordered spaces, which can give a universal way to get a parallelized manifold out of a locally ordered space. In the context of modeling concurrent systems, the geodesics of this manifold will represent the optimal way to execute the parallel processes with respect to execution time (see [Hau24] for a particular case of this construction and its applications). The study of this construction in the case of realizations of precubical sets led us to study iso- morphisms between such realizations, and we arrived at a very surprising result : two precubical sets with isomorphic realizations are essentially isomorphic up to subdivision. This illustrates the rigidity of ordered realizations, compared to topological realizations where this result is clearly wrong, and should lead to other surprising results of this kind.

• Matthew Cellot
  Titre : Théories des champs homotopiques construites par sommes d’états.
  Résumé : Une des notions fondamentales de la topologie quantique est celle de théorie des champs topologique (TQFT) formulée par Witten. Elle a pour pour origine des idées de la physique quantique et forme un cadre qui organise certains invariants topologiques des variétés, appelés invariants quantiques. Les théories des champs homotopiques (HQFT) sont une généralisation des TQFT. L'idée est d'utiliser les techniques des TQFT pour étudier les fibrés principaux sur les variétés et, plus généralement, les classes d’homotopie d'applications de variétés vers un espace topologique but X. Nous montrerons une construction de HQFT de dimension 4 (par sommes d’états) à partir d’une 2-catégorie de fusion graduée.

• Adrien Clément
  Titre : Groupes associés et homologie de quandle.
  Résumé : Je commencerai par introduire différents groupes associés à un quandle avant de présenter la formule d'Eisermann, qui donne un lien entre le groupe de structure et le second groupe d'homologie d'un quandle. Je proposerai ensuite d'utiliser des méthodes de réécriture pour comprendre le groupe de structure sur des exemples de quandles d'Alexander. Pour terminer, j'évoquerai une nouvelle approche visant à calculer le groupe de structure de n'importe quel quandle d'Alexander.

• Benachir El Allaoui

Titre : Représentation de catégories semi-additives k-triviales.
Résumé : La notion de foncteur polynomiale entre catégories additives a été introduite dans les années 50 par Eilenberg et Mac Lane pour étudier l'homologie des espaces d'Eilenberg Mac Lane mais on peut les définir plus généralement lorsque la source est seulement semi-additive. Depuis, les foncteurs polynomiaux ont eu de nombreuses applications en homologie stable des groupes. Dans un premier temps, je rappellerai la définition de foncteur polynomial puis je parlerai du cas orthogonal sur lequel je travaille, celui des catégories de foncteurs lorsque la source est semi-additive et qu'il n'y a aucun foncteur polynomial non constant.

• Bruno Galvez Araneda
  Titre : Étude cohomologique et homotopique des singularités.
  Résumé : Les principaux résultats et propriétés des variétés tels que la dualité de Poincaré, l'existence de théories de classes de caractéristiques, les théorèmes de type Lefschetz, ne sont pas vrais pour les espaces singuliers si l'on considère l'homologie habituelle. L'homologie d'intersection a été introduite par M. Goresky et R. MacPherson dans le but de retrouver de telles propriétés et de tels résultats dans le cas d'espaces singuliers. Dans cet exposé, on exposera les différents problèmes liés à la cohomologie d'intersection et au contexte d'homotopie sous-jacent aux espaces avec singularités et on expliquera quelques solutions à ces problèmes grâce à l'introduction d'une théorie bivariante associée à la cohomologie d'intersection.

• Owen Garnier
  Titre : Sous-groupes paraboliques des groupes de tresses complexes.
  Résumé : Les groupes de tresses associés aux groupes de réflexions complexes forment une famille remarquable de groupes dont les propriétés généralisent (souvent) celles du groupe de tresses usuel à n brins. Dans le cas des groupes de réflexions réels, la théorie générale des groupes d'Artin permet de bien comprendre les groupes de tresses associés. En particulier, une famille de sous-groupes
  "paraboliques" est définie de manière algébrique pour tout groupe d'Artin. En 2022, Gonzàlez-Meneses et Marin ont introduit une notion cette fois purement topologique de sous-groupe parabolique d'un groupe de tresses complexe, qui vient généraliser les sous-groupes paraboliques des groupes d'Artin.
  Dans cet exposé, je présenterai la construction des groupes de tresses complexes, ainsi que celle de leurs sous-groupes paraboliques. Si le temps le permet, je décrirai succinctement les méthodes algébro-combinatoires qui permettent d'étudier ces sous-groupes.

• Juan-Ramón Gómez-García
  Titre : Turaev Coproduct, Skein Categories, and Parabolic Restriction.
  Résumé : Inspired by Jaeger's composition formula for the HOMFLY polynomial, Turaev defined a coproduct on the HOMFLY skein algebra of a framed surface S turning it into a bialgebra. Jaeger's formula can be viewed as a universal version of the restriction of the fundamental representation from GL_{m+n} to GL_m x GL_n. The restriction functor is, however, not braided hence it cannot be extended to the skein category of an arbitrary surface. So there was a priori no reason for Turaev's coproduct to be well-defined. In this talk, I will briefly explain how to extend Turaev’s construction to the skein category using parabolic restriction and skein theory with defects.

• Alexey Gorelov
  Titre : Lifting maps between graphs to embeddings.
  Résumé : Given a continuous, smooth, or piecewise-linear map $f \colon X \to Y$ between topological spaces, manifolds, or polyhedra, can we turn it into an embedding by first extending the codomain to $Y \times \mathbb{R}$, and then perturbing $f$ along the new dimension? Formally, does there exist an embedding $F \colon X \to Y \times \mathbb{R}$ such that $f = \operatorname{pr}_{Y} \circ F$? The case of piecewise-linear maps between graphs (i.e. compact 1-dimensional polyhedra) plays a central role in this problem. In fact, the liftability of smooth immersions or piecewise-linear maps between arbitrary polyhedra often reduces to this setting. Moreover, the graph liftability problem is connected to broader questions in topological graph theory (such as approximability of maps between graphs) and even to problems in other fields. In my talk, I will present an overview of known results and open questions related to the liftability problem of maps between graphs.

• Alexis Guérin
  Titre :  Une action de la demi algèbre de Witt sur l'homologie de Khovanov-Rozansky.
  Résumé : En théorie des nœuds, la catégorification des invariants polynômiaux a donné lieu à la création d'invariants homologique tel que l'homologie de Khovanov. L'étude d'actions d'algèbre de Lie sur des homologies d'entrelacs a été initiée par Gorsky, Oblomov et Rasmussen, qui ont conjecturé que certaines homologies ont des dimensions graduées égales aux caractères des représentations des algèbres de Lie affines. Dans un de leur papiers Qi, Robert, Sussan et Wagner construisent une action de l'algèbre de Lie sl2 sur l'homologie de Khovanov-Rozansky et laisse entendre que cette action peut se généraliser à la demi algèbre de Witt. C'est dans la continuité de ce travail que Felix Roz et moi-même avons étendu cette action.

• Nicolas Guès
  Titre : Stabilité homologique et stabilité de représentation des espaces de configurations.
  Résumé : De nombreux objets algébro-géométriques (groupes symétriques, espaces de configuration, groupes de tresses, groupes linéaires, etc.) apparaissent en familles indexées par les entiers. Leurs groupes d'homologie présentent souvent un phénomène de stabilisation : pour n suffisamment grand, H_d(X_n)≅H_d(X_{n+1}). Ce comportement, étudié par Quillen, Nakaoka, Hatcher, Wahl..., devient plus subtil lorsque ces objets portent une action des groupes symétriques — c'est alors la notion de stabilité de représentation (Church–Farb, 2012) qui s'applique. Dans cet exposé, j'introduirai ces deux formes de stabilité et montrerai comment elles simplifient le calcul d'invariants géométriques, tels que les groupes de cohomologie et d'homotopie des espaces de configuration de variétés.

• Paul Laubie
  Titre :  Une application des opérades à l'analyse numérique.

Résumé : B-series are power series indexed by rooted trees used in numerical analysis to study solutions of ODE. We will see how we can use algebraic operads to study B-series, and how to recover some results on B-series.

• Tommy-Lee Klein
  Titre :  La théorie de l’homotopie des petites catégories (supérieures) à la Grothendieck.

Résumé : L’idée de d’utiliser les petites catégories pour représenter les espaces topologiques afin d'étudier la théorie de l’homotopie est due à Quillen, notamment ses théorèmes A et B. Elle a ensuite été systématisée et généralisée par Grothendieck dans Pursuing Stacks, qui lui propose de fonder la théorie de l’homotopie sur les petites catégories. Bien que, comme l’a prouvé Quillen (cf. thèse d’Illusie), tout type d’homotopie peut-être décrit par une petite catégorie, cette petite catégorie est souvent peu naturelle. Pour obtenir des modèles plus naturels, on est conduit à se placer dans le monde plus vaste des catégories supérieures ou n-catégories. On est donc amené à s’intéresser à la théorie de l’homotopie des n-catégories (1 <= n<= \infty). Dans les cas n=1 est celui traité par Grothendieck (puis Cisinski). Le cas n=2 est assez bien compris, mais déjà là des éléments clés de la théorie de Grothendieck restent incompris. Le cas n = ω est aussi étudié, et il reste dans ce cas encore plus de choses encore à établir. Lors de l’exposé j’essaierai de présenter le paysage de cette belle théorie, héritée en partie de Grothendieck.

• Yohan Mandin-Hublé
  Titre :  An invariant of three-dimensional manifolds from 4-point configurations.
  Résumé : In this presentation, we introduce four connected edge-oriented trivalent graphs with four vertices.  We explain how to count configurations of these four graphs in a three-dimensional smooth closed oriented manifold with the same rational homology as the three-dimensional sphere so that the result is an invariant of the given manifold up to diffeomorphism. We outline a strategy to obtain a combinatorial formula for this invariant from the datum of a Heegaard splitting of the manifold. This invariant is equivalent to the degree two part of a universal finite type invariant of rational homology spheres known as the logarithm of the perturbative expansion of the Chern-Simons theory.

• Joseph Nardin-Gennequin
  Titre :  Topological persistence and spectral geometry of protein structures.
  Résumé : Proteins are fundamental macromolecules in all living organisms, which carry biological information related to their function and their evolution over time. Traditionally, protein analysis has been conducted through one-dimensional approaches based on their encoding as fragments of DNA sequences. However, with the recent advent of machine learning models for structure prediction, an increasing number of structural methods have emerged to leverage three-dimensional data to produce more accurate models of proteins. In this presentation, I will introduce a novel framework incorporating topological data analysis methods to study protein families by representing their 3D structures. I will first revisit the basic theory of persistent homology, then explain how this theory extends to discrete spectral geometry through the definition of the persistent Laplacian. This invariant of filtrations of simplicial complexes captures both persistent homology and  additional information about how shape evolves throughout the filtration process. Furthermore, it is supported by a stability theorem analogous to the one in persistent homology. With these tools in hand, I will present results from an ongoing study that demonstrate how spectral geometry can uncover information about the evolutionary history of proteins, extending previous results based solely on their persistent homology representations.

• Adrien Pautre
  Titre :  Partial groups and dimension.

Résumé : Partial groups are a generalization of groups. In groups we allow ourself to do every possible product in the sense that when we take a word with letters the element of the group, there is always a product defined on this word. In partial groups we restricts the words to a domain on which the product is defined in a way that is compatible with inversion and satisfies some properties we usually want for products. At first glance it seems that we need to specify an infinite amount of information to define the domain of a partial group, but we will see that we can endow partial groups with a symmetric simplicial set structure that make them truly finite objects.

• Victor Marçon Pirozelli

Titre : Braid representations: an overview.

Résumé : Braids are mathematical objects of a notably intuitive nature, yet they lead to several interesting connections between topology and algebra. In particular, representations of the braid group are not only a source of information about the group itself, but also serve as bridges to describe structures such as link invariants and quantum group representations. In this talk, I will provide a brief overview of the key aspects of this theory, including well known examples and generalizations of the classical setting.

• Sardor Yakupov

Titre : Espace de modules de courbes et fibrations de Lefschetz achirales.

Résumé : Les fibrations de Lefschetz représentent un outil essentiel dans l'étude de la topologie des variétés symplectiques de dimension 4 et des variétés de contact de dimension 3. Les fibrations de Lefschetz achirales constituent une généralisation qui s'étend en dehors du cas symplectique et permet s'attaquer aux variétés plus générales. L'espace de modules de courbes algébriques est, à son tour, un des objets centraux de la géométrie complexe et riemannienne des surfaces. Le but de cet exposé est d'introduire les deux concepts séparément et ensuite les faire converger à travers la notion de l'application classifiante.

• Lorenzo Zanichelli
  Titre :  Finite type invariants and the bialgebra of knots.
  Résumé : In my talk I will give a quick introduction to (singular) knots, Vassiliev invariants, and the algebraic structures they induce on the set of knots. I will conclude with the main open conjectures of the theory, regarding the completeness of these invariants.