Programme des exposés

Dans cet exposé on s'intéressera à la question suivante : pour quelles chaînes de Markov, toute fonctionnelle L² satisfait le TCL ? On parle alors de TCL global. Plus précisément on se demande si le TCL global  implique un trou spectral dans L²  ? On s'intéressera en particulier au cas des chaînes symétriques.

Travail commun avec Michael Lin.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats concernant une classe de processus de Galton-Watson multitypes, où le type des individus correspond à une notion d'âge (sans âge maximum, il y a donc un ensemble de types infini). Au delà de sa motivation biologique, cette classe assez large de processus permet de calculer explicitement de nombreuses quantités d'intérêt. Cela permet donc d'obtenir des résultats complets sur des questions connues comme difficiles pour des processus de branchement avec une infinité de types. Je présenterai ainsi dans cet exposé une description complète des éléments propres positifs de la matrice moyenne, une caractérisation de son ergodicité, une comparaison précise des événements d'extinction locale et globale et une CNS pour que ces événements soient presque sûrs.

We consider a Galton–Watson tree in which each node is independently marked, with a probability that depends on its number of offspring. We give a complete picture of the local convergence of critical or subcritical marked Galton–Watson trees, conditioned on having a large number of marks. In certain cases, the limit is a randomly marked tree with an infinite spine, known as the marked Kesten tree. In other cases, the local limit is a randomly marked tree with a node having infinitely many children. This corresponds to the so-called marked condensation phenomenon. 

Nous étudions une marche aléatoire à incréments réels, centrée et de moment d'ordre 2+δ fini. En utilisant une approximation préalablement établie du noyau de la chaleur gaussien pour les probabilités de persistance, nous démontrons un nouveau théorème limite local conditionné par le temps de sortie du demi-plan. Ce résultat unifie et généralise des théorèmes existants et fournit des asymptotiques uniformes au point de depart et d’arrivée.

La structure de grands arbres de Bienaymé-Galton-Watson conditionnés à être de grande taille a fait l'objet de nombreux travaux. En particulier, sous certaines hypothèses de régularité, ils convergent "localement" vers un arbre infini dit arbre de Kesten, et convergent "globalement" (après renormalisation des distances) vers un espace aléatoire appelé CRT (Continuum Random Tree). Une hypothèse-clé dans ces résultats est celle de criticalité : un individu doit avoir en moyenne exactement un enfant. Lorsque cette hypothèse de criticalité n'est plus vérifiée, on peut parfois se ramener au cas critique en changeant la loi de reproduction de l'arbre initial d'une manière précise.

Après avoir introduit ces notions et résultats, j'en présenterai une extension récente dans le cas d'arbres à plusieurs types. Sous certaines hypothèses—fortes—de régularité, on peut également ramener l'étude d'arbres multitypes non critiques à celle d'arbres critiques conditionnés, ce qui permet d'en déduire aisément leurs propriétés structurelles.

Travail en collaboration avec Rémy Poudevigne—Auboiron.