Programme
Jeudi 16 décembre :
14h - Céline Labart (Université Savoie Mont-Blanc)
Title: Simulation of McKean-Vlasov BSDEs by Wiener Chaos Expansion
Abstract: We present an algorithm to solve McKean-Vlasov BSDEs based on Wiener chaos expansion and Picard's iterations and study its convergence. Here we are faced with the problem of the approximation of the law of (Y,Z) in the driver, that we solve by using a particle system. In order to avoid solving a system of BSDEs, which would not be feasible in practice, we use the same particles to approximate the law of (Y,Z) and to compute Monte Carlo approximations.
14h45 - Idris Kharroubi (Sorbonne Université)
Title: Discretization and Machine Learning Approximation of BSDEs with a Constraint on the Gains-Process
Abstract: We study the approximation of backward stochastic differential equations (BSDEs for short) with a constraint on the gains process. We first discretize the constraint by applying a so-called facelift operator at times of a grid. We show that this discretely constrained BSDE converges to the continuously constrained one as the mesh grid converges to zero. We then focus on the approximation of the discretely constrained BSDE. For that we adopt a machine learning approach. We show that the facelift can be approximated by an optimization problem over a class of neural networks under constraints on the neural network and its derivative. We then derive an algorithm converging to the discretely constrained BSDE as the number of neurons goes to infinity. We end by numerical experiments.
15h30 - Pause
16h - Jean-François Chassagneux (Université de Paris)
Titre : Modèles de prix dans les marchés carbones et considérations numériques
Résumé : Dans cet exposé, nous présenterons un modèle mathématique pour le prix des droits à polluer dans les marchés carbones.
Ce sont des marchés de type 'cap-and-trade', dont nous décrirons les principales caractéristiques, en nous concentrant sur le marché européen. Le modèle mathématique utilise des équations différentielles stochastiques progressives-rétrogrades singulières liées à certaines EDP quasi-linéaires. Nous présenterons aussi une méthode numérique utilisant un schéma de splitting pour calculer des solutions approchées.
Cet exposé est basé sur des travaux joints avec H. Chotai (Citigroup), D. Crisan (Imperial College London), M. Muuls (Imperial College London) et M. Yang (Université de Paris).
16h45 - Cyril Bénézet (ENSIIE Evry)
Titre : Problèmes de commutation avec randomisation contrôlée
Résumé : Nous étudions de nouveaux problèmes de commutation optimale, appelés problèmes de commutation randomisée et plus généralement problèmes de commutation avec randomisation contrôlée. Lorsque l'agent décide de changer de mode, le choix du nouveau mode est impacté par un aléa indépendant du passé. Pour les problèmes avec randomisation contrôlée, l'agent a le choix de la loi du nouveau mode dans une famille de probabilités sur l'espace des modes.
Nous montrons, dans le cas de coûts positifs et dans un cadre non-Markovien, que la fonction valeur d'un tel problème est solution d'une EDSR à réflexions obliques. Nous déduisons l'unicité de la solution dans le cas des coûts signés. Dans le cas de coûts signés et pour la commutation randomisée, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes de type "inégalité triangulaire" pour que le domaine soit non-vide, conduisant à des résultats d'existence de solutions à l'EDSR dans un cadre Markovien en particulier. Travail en collaboration avec J.-F. Chassagneux et A. Richou.
17h30 - Adrien Richou (Université de Bordeaux)
Remue-méninges sur le contrôle robuste adaptatif et l'apprentissage par renforcement
Vendredi 17 décembre :
8h40 - Thibaut Mastrolia (Berkeley)
Title: Market Making and incentives design in the presence of a dark pool.
Abstract: We consider the issue of a market maker acting at the same time in the lit and dark pools of an exchange. The exchange wishes to establish a suitable make-take fees policy to attract transactions on its venues. We first solve the stochastic control problem of the market maker without the intervention of the exchange. Then we derive the equations defining the optimal contract to be set between the market maker and the exchange. This contract depends on the trading flows generated by the market maker's activity on the two venues. In both cases, we show existence and uniqueness, in the viscosity sense, of the solutions of the Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated with the market maker and exchange's problems. We finally design deep reinforcement learning algorithms enabling us to efficiently approximate the optimal controls of the market maker and the optimal incentives to be provided by the exchange.
9h25 - Alexandre Popier (Le Mans Université)
Titre : Liquidation optimale, EDS(P)R singulières
Résumé : En finance la liquidation optimale est un problème de contrôle stochastique optimal avec une contrainte forte sur la valeur terminale du processus d’état. Cela revient au problème de calculs des variations. Une méthode de résolution passe par l’étude d’une EDSR non linéaire avec condition terminale singulière (non-intégrabilité ou explosion), qu’on peut relier à la notion de trace d’une EDP non linéaire. Dans le cas général, on a une EDSPR avec condition terminale sur le processus forward. C’est le couplage qui porte la singularité.
10h10 - Pause
10h30 - Marie-Amélie Morlais (Le Mans Université)
Titre : Approche par randomisation du problème de commutation optimale avec nombre infini de modes
Résumé : Nous proposons une nouvelle approche du problème de commutation optimale (ou "optimal switching problem"): l'objectif d'un tel problème est classiquement de chercher à déterminer la politique optimale à savoir de déterminer les instants et les "modes" dans lequel le décideur doit commuter afin de maximiser une bonne fonction profit tout en minimisant les coûts de commutation. Ce dernier est étudié sous les hypothèses suivantes
le processus sous-jacent X (pouvant modéliser par exemple le prix d'une ressource (gaz, \électricité,..)) est non nécessairement Markovien : il résout une EDS (dirigée par un mouvement brownien) avec des coefficients pouvant être aléatoires et dépendre du passé de la trajectoire. Les coefficients dépendent de l'état a du système.
le nombre de modes (d'états) du système est un ensemble A qui est un ensemble de Borel métrique séparable (en particulier, A est infini non dénombrable).
Exploitant la méthode dite de randomisation (employée par B. Bouchard 2009, M. Fuhrman, H Pham (cadre non Markovien) et Elie, Kharroubi (2011, 2013), on présentera les deux résultats majeurs suivants:
égalité entre la fonction valeur VR (définie sur l'espace randomisé abstrait) et la fonction valeur V primal du problème de contrôle initial
représentation de cette fonction valeur à l'aide d'une équation Backward avec contraintes sur les sauts (dite équation randomisée)
En conclusion de cette présentation, on proposera de possibles développements futurs. Les résultats présentés sont ceux d'un papier écrit avec Marco Fuhrman (publié en Mai 2020 à SPA)
11h15 - Christine Grün (TSE Toulouse)
Title: ON SYSTEMS OF PDES ASSOCIATED TO GAMES WITH A VARYING NUMBER OF PLAYERS
Abstract: We consider systems of partial differential equations with a special coupling in the zero order terms. We show the existence of solutions establishing suitable a priori bounds. The system is related to non zero sum stochastic differential game with several players. The players control a diffusion in order to minimise a certain cost functional. During the game it is possible that present players may die or a new player may appear. We assume that the death, respectively the birth time of a player is exponentially distributed with intensities that depend on the diffusion and the controls of the players who are alive.