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Integrantes: José Valencia, Diego Aldás y Ángel Arcos
Objetivo del proyecto
Objetivo del proyecto
Maximizar la producción de energía total producida de una planta de energía hidroeléctrica que funciona a partir de tres turbinas con cierto flujo de agua y ciertas restricciones predeterminadas.
Maximizar la producción de energía total producida de una planta de energía hidroeléctrica que funciona a partir de tres turbinas con cierto flujo de agua y ciertas restricciones predeterminadas.
Comparar la energía total producida de cada turbina individualmente cuando se reduce el flujo de agua y decidir si es que se debe poner en funcionamiento una sola turbina o las tres a la vez.
Comparar la energía total producida de cada turbina individualmente cuando se reduce el flujo de agua y decidir si es que se debe poner en funcionamiento una sola turbina o las tres a la vez.
MARCO TEÓRICO
MARCO TEÓRICO
Multiplicadores de Lagrange
Multiplicadores de Lagrange
Es un procedimiento con el cuál se encuentra los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas con más facilidad. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.
Es un procedimiento con el cuál se encuentra los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas con más facilidad. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.
PROBLEMA DE APLICACIÓN
PROBLEMA DE APLICACIÓN
La Great Northern Paper Company de Millinocket, Maine, opera una estación generadora hidroeléctrica en el río Penobscot. El agua de una presa se lleva por tuberías a la estación generadora. La razón a la que circula el agua en las tuberías varía, dependiendo de condiciones externas.
La Great Northern Paper Company de Millinocket, Maine, opera una estación generadora hidroeléctrica en el río Penobscot. El agua de una presa se lleva por tuberías a la estación generadora. La razón a la que circula el agua en las tuberías varía, dependiendo de condiciones externas.
La estación generadora cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con función de potencia conocida (única), que da la cantidad de energía eléctrica generada como función de la cantidad de agua que llega a la turbina, de modo que el objetivo es determinar cómo distribuir agua entre las turbinas para dar la máxima producción total de energía para cualquier caudal.
La estación generadora cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con función de potencia conocida (única), que da la cantidad de energía eléctrica generada como función de la cantidad de agua que llega a la turbina, de modo que el objetivo es determinar cómo distribuir agua entre las turbinas para dar la máxima producción total de energía para cualquier caudal.
Usando evidencias experimentales y la ecuación de Bernoulli según Stewart [12], se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina, junto con los flujos permisibles de operación:
Usando evidencias experimentales y la ecuación de Bernoulli según Stewart [12], se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de potencia de cada turbina, junto con los flujos permisibles de operación:
Resolución del problema
Resolución del problema
El objetivo es maximizar la producción total de energía respecto a un flujo total dado. Además se necesita encontrar los flujos de cada turbina en términos de QT
El objetivo es maximizar la producción total de energía respecto a un flujo total dado. Además se necesita encontrar los flujos de cada turbina en términos de QT
Se puede suponer que QT es fijo y se eliminan los términos constantes de cada ecuación para simplificar los cálculos. Obteniendo lo siguiente:
Se puede suponer que QT es fijo y se eliminan los términos constantes de cada ecuación para simplificar los cálculos. Obteniendo lo siguiente:
La restricción es :
La restricción es :
Por ende nos queda así:
Por ende nos queda así:
Con la ayuda de un software procedimos a calcular las primeras derivadas de la función, obteniendo:
Con la ayuda de un software procedimos a calcular las primeras derivadas de la función, obteniendo:
La ecuación 4 es la sumatoria de flujos de cada turbina
La ecuación 4 es la sumatoria de flujos de cada turbina
Se resuelve el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
Se resuelve el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
Sustituimos las ecuaciones obtenidas en la ecuación 4, y obtenemos el valor de Q2
Sustituimos las ecuaciones obtenidas en la ecuación 4, y obtenemos el valor de Q2
Una vez despejado Q2 , despejamos las ecuaciones correspondientes a Q1 y Q3
Una vez despejado Q2 , despejamos las ecuaciones correspondientes a Q1 y Q3
Se calculan los valores de QT para el dominio de cada turbina:
Se calculan los valores de QT para el dominio de cada turbina:
Se deben intersecar estos valores para así obtener los valores válidos para QT
Se deben intersecar estos valores para así obtener los valores válidos para QT
Para la resolución de la pregunta 3, se debe asumir que el flujo de agua que entra por cada turbina es de 2500 Ft3 / s , por lo que los valore para Q1 , Q2 y Q3 son los siguientes:
Para la resolución de la pregunta 3, se debe asumir que el flujo de agua que entra por cada turbina es de 2500 Ft3 / s , por lo que los valore para Q1 , Q2 y Q3 son los siguientes:
Una vez obtenidos los valores de flujo de agua de cada turbina, se reemplazan en la ecuación de producción de energía para cada turbina.
Una vez obtenidos los valores de flujo de agua de cada turbina, se reemplazan en la ecuación de producción de energía para cada turbina.
La energía total producida por el sistema es igual a la suma de la energía producida por cada turbina.
La energía total producida por el sistema es igual a la suma de la energía producida por cada turbina.
El enunciado nos sugiere probar con distribuciones cercanas para el flujo de agua que entra en cada turbina ,por lo que se definen valores de entrada para cada turbina. Y el total del valor de la energía producida es:
El enunciado nos sugiere probar con distribuciones cercanas para el flujo de agua que entra en cada turbina ,por lo que se definen valores de entrada para cada turbina. Y el total del valor de la energía producida es:
Realizando una comparación de los resultados obtenidos de las energías producidas por cada sistema podemos concluir que los valores de flujo de agua que maximizan la producción de energía del sistema son:
Realizando una comparación de los resultados obtenidos de las energías producidas por cada sistema podemos concluir que los valores de flujo de agua que maximizan la producción de energía del sistema son:
Con la ayuda de un software procedemos a graficar la producción de energía de cada turbina con su dominio correspondiente.
Con la ayuda de un software procedemos a graficar la producción de energía de cada turbina con su dominio correspondiente.
Antes de realizar una comparación entre la energía total producida de las 3 turbinas juntas con respecto a la energía producida por una sola turbina se debe calcular este valor y compararlo con la gráfica que nos muestra la energía producida por cada turbina individualmente respecto a un flujo determinado de agua.
Antes de realizar una comparación entre la energía total producida de las 3 turbinas juntas con respecto a la energía producida por una sola turbina se debe calcular este valor y compararlo con la gráfica que nos muestra la energía producida por cada turbina individualmente respecto a un flujo determinado de agua.
Basándonos en la gráfica podemos afirmar que cuando el flujo de agua es igual a 1000 Ft3 / s es preferible solo utilizar la turbina 3, debido a que el valor de energía que produce esta turbina (12000 kW aprox.) es mayor al valor de energía producida si se hacen funcionar a las 3 turbinas a la vez (8400.96 kW)
Basándonos en la gráfica podemos afirmar que cuando el flujo de agua es igual a 1000 Ft3 / s es preferible solo utilizar la turbina 3, debido a que el valor de energía que produce esta turbina (12000 kW aprox.) es mayor al valor de energía producida si se hacen funcionar a las 3 turbinas a la vez (8400.96 kW)
Para el caso en el que hay que distribuir 600 Ft3 / s entre las tres turbinas, no es posible llevarlo a cabo debido a que el flujo mínimo de cada turbina es de 250 Ft3 / s por lo que el flujo de agua mínimo para utilizar las tres turbinas a la vez es mayor al flujo dado por el problema. Sin embargo se puede hacer funcionar a la turbina que produzca la mayor cantidad de energía. En ese caso se debría hacer funcionar a la turbina 1 que produce un valor aproximado de 7300 kW de energía.
Para el caso en el que hay que distribuir 600 Ft3 / s entre las tres turbinas, no es posible llevarlo a cabo debido a que el flujo mínimo de cada turbina es de 250 Ft3 / s por lo que el flujo de agua mínimo para utilizar las tres turbinas a la vez es mayor al flujo dado por el problema. Sin embargo se puede hacer funcionar a la turbina que produzca la mayor cantidad de energía. En ese caso se debría hacer funcionar a la turbina 1 que produce un valor aproximado de 7300 kW de energía.
Cuando observamos la gráfica presentada anteriormente, podemos ver que con un flujo de 450 Ft3 /s. La turbina 2 es la que produce una menor cantidad de energía, por ende, sería ideal que el flujo (1500Ft3 /s) se repartiera entre las tus turbinas 1 y3. Entonces, deseamos optimizar la función, sujeto a su restricción.
Cuando observamos la gráfica presentada anteriormente, podemos ver que con un flujo de 450 Ft3 /s. La turbina 2 es la que produce una menor cantidad de energía, por ende, sería ideal que el flujo (1500Ft3 /s) se repartiera entre las tus turbinas 1 y3. Entonces, deseamos optimizar la función, sujeto a su restricción.
Entonces, la producción total de energía es KW1+KW3= 18208.29 kW.
Una vez encontrados los kW producidos por la turbina 2, se encuentra que la nueva producción total será de: KW1+KW2+KW3= 16543.33 kW.
Para este flujo sería mejor utilizar solo dos turbinas (turbina 1 y turbina 3), a que las tres turbinas juntas.
Una vez sumados todos los flujos máximos da un total de 3425 Ft3/s, que es superior a 3400 Ft3/s. Lo que buscaremos es como distribuir este flujo (3400 Ft3/s) entre las tres turbinas.
Una vez sumados todos los flujos máximos da un total de 3425 Ft3/s, que es superior a 3400 Ft3/s. Lo que buscaremos es como distribuir este flujo (3400 Ft3/s) entre las tres turbinas.
Como observamos, el valor de Q1 supera el máximo permitido para esta turbina. Lo que se le recomendaría a la empresa es que utilice la turbina 1 al máximo (1110 Ft3/s ), la turbina 3 al máximo (1225 Ft3/s) y el flujo restante (1065 Ft3/s) en la turbina 2. De esta manera se encuentra las distribuciones que optimizan la producción de energía.
De esta manera encontramos una producción total de energía de 33878.87 kW. Comprobando de esta manera que los valores hallados representan la distribución optima para la mayor producción energética.
Conclusiones:
Como pudimos ver a lo largo del proyecto, cada turbina genera una diferente carga eléctrica. Se concluyó que hay casos en los que es mejor utilizar solo una o ciertas turbinas, dado que el uso de las tres en todos los casos era algo inútil ya que cada turbina tiene un flujo mínimo.
Mediante la aplicación del teorema de Lagrange, pudimos calcular la potencia generada por cada turbina, obtenida de cada una de las ecuaciones, determinando así el flujo de agua necesario para cada turbina.
Paralelo a esto, mediante el análisis y lectura de gráficas, pudimos evaluar el comportamiento que genera físicamente el proceso de manejo de potencia. Logramos concluir que la turbina tres genera una mayor energía cuando el caudal es superior a 650 Ft3/s y que se la puede utilizar a grandes caudales, siempre y cuando se tenga en cuenta su máxima capacidad para admitir flujo de agua.
Con base en esto y los demás análisis se logró determinar y dar solución a los distintos problemas propuestos para este proyecto.
Referencias:
Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas / James Stewart (7a. ed. --.). México D.F.: Cengage Learning.
http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/optimizacion-con-restricciones-de-igualdad
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