INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL

Método Gráfico.- Este método consiste en hallar el punto de intersección de las dos rectas que representan a ambas ecuaciones. Según la posición relativa de las rectas en el plano, se puede afirmar si el sistema tiene una solución, infinitas soluciones o ninguna solución.

Método de Reducción.- Consiste en eliminar una de las incógnitas para obtener una ecuación con una incógnita; esto se lo hace simplificando o amplificando una o las dos ecuaciones, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimine  y es posible despejar la otra variable.

Método de Sustitución.- Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones del sistema y sustituirla en la otra ecuación, de tal manera que obtendremos una ecuación con una incógnita para despejarla.

Método de Igualación.- Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, para luego igualarlas y despejar la única variable que queda. Finalmente se reemplazaría la variable encontrada en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener la segunda variable.

EXPLICACION

Sistema de ecuaciones 2×2 con el método de Sustitución

Podemos seguir los siguientes pasos para resolver el sistema por sustitución:

Paso 1: Simplificar las ecuaciones: Esto incluye eliminar paréntesis, combinar términos semejantes y eliminar fracciones.

Paso 2: Resolver cualquier ecuación para una variable. No importa la ecuación o la variable que escojamos.

Paso 3: Sustituye la expresión obtenida en el paso 2 en la otra ecuación. Esto resultará en una sola ecuación con una variable.

Paso 4: Resuelve la ecuación obtenida en el paso 3.

Paso 5: Sustituye el valor del paso 4 en cualquiera de las otras ecuaciones y resuelve para la otra incógnita.

Sistema de ecuaciones 2×2 por el método de Reducción

Usamos los siguientes pasos para resolver el sistema de ecuaciones por eliminación:

Paso 1: Simplificar las ecuaciones y colocarlas en la forma Ax+By=C.

Paso 2: Multiplica una o ambas ecuaciones por algún número de modo que obtengamos coeficientes opuestos o bien para x o para y. Necesitamos eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones. Entonces, tenemos que lograr que un coeficiente sea a y el otro –a.

Paso 3: Suma las ecuaciones. Al hacer esto eliminaremos una variable y tendremos una ecuación con una incógnita.

Paso 4: Resuelve la ecuación del paso 3 para la variable restante.

Paso 5: Sustituye el valor del paso 4 en cualquier ecuación y resuelve para la segunda variable.

Sistema de ecuaciones 2X2 por el método de Igualación

Paso 1: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones

Paso 2: Igualamos las expresiones, lo que nos permite obtener  una ecuación con una incógnita

Paso 3: Resolvemos la ecuación

Paso 4: Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita

Paso 5: Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

EJERCICIOS PROPUESTOS

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

CONCEPTO

Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se puede expresar como:

ax + by + c > 0 ; ax + by + c < 0 ; ax + by + c >= 0 ; ax + by <= 0

Gráficamente sus soluciones son porciones del plano.

SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o mas inecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:

El conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la región del plano que se obtiene al intersecar los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones dadas.

EXPLICACION

Represente gráficamente en el plano la inecuación: x + y > 3

• Se halla la ecuación de la recta asociada a la inecuación x + y > 3

x + y > 3 → x + y = 3 → y = 3 - x

• Cómo se trata de una inecuación en sentido estricto, se traza la línea punteada de la recta y = 3 - x, quedando determinados los semiplanos 1 y 2

• Se escoge un punto cualquiera perteneciente a cada semiplano y se verifica si cumple con la inecuación x + y > 3:

El punto A(-1,1), perteneciente al semiplano 1 no satisface la inecuación porque -1+1 > 3 es falso. Entonces A(-1,1) no es solución.

El punto B(2,2), perteneciente al semiplano 2, si satisface la inecuación porque 2 + 2 > 3 es verdadero. Entonces, B(2,2) es una solución.

• El semiplano 2 es el conjunto solución de x + y > 3 porque, así como el punto B, cualquier punto perteneciente a este semiplano satisface dicha inecuación. La representación gráfica de x + y > 3 es el semiplano 2.

Represente gráficamente la solución del sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

x + y <= 1 ; x - y >= 1

• Se representa gráficamente la solución de la inecuación x+y <= 1 y se obtiene el semiplano 1 (figura 1).

• Se representa gráficamente la solución de la inecuación x - y >= 1 y se obtiene el semiplano 2 (figura 2)

• La solución del sistema es la figura 3, que es el resultado de la intersección de los dos primeros semiplanos, como muestra el gráfico.

EJERCICIOS PROPUESTOS

PROGRAMACION LINEAL

CONCEPTO.- La programación lineal facilita la resolución de problemas de producción, economía, finanzas, rendimiento, etc. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetiva, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales.

EXPLICACION

Para plantear la solución de un problema de programación lineal se sugiere los siguientes pasos:

1. Organizar la información mediante una tabla.

2. Identificar y representar las incógnitas.

3. Determinar las restricciones que se crean convenientes.

4. Plantear la función objetivo.

5. Graficar todas las inecuaciones existentes, mediante ecuaciones.

6. Determinar la intersección de los semiplanos solución de cada inecuación o región factible solución.

7. Determinar la solución óptima, encontrando las coordenadas de la región factible o polígono

8. Con todas las coordenadas encontradas x y, verificar en la función objetivo su máximo o mínimo valor según sea el caso del problema.

EJEMPLO:

En una panadería se dispone diariamente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y confitadas) para preparar dos tipos de panetones: especial y premium, según estos requerimientos:

• Panetón especial: 1 kg de masa y 200 g de frutas.

• Panetón premium: 1 kg de masa y 400 g de frutas.

Si el panetón especial se vende a $ 3.00 y el premium a $ 4.00, resolver las restricciones y plantear la función objetivo que determina el máximo ingreso.

SOLUCION:

Del análisis de la información del problema, tenemos:

• Dos cantidades de insumos: masa y frutas (secas y confitadas).

• Dos tipos de panetones: especial y premium.

• Un precio para cada tipo de panetón.

• Se desea obtener el máximo ingreso por la venta de los panetones.

Se organiza la información en una tabla:

Se identifican y se representan las incógnitas:

x: números de panetones especiales y: número de panetones premium

Se determinan las restricciones:

• De insumos: masa → x + y <= 80 frutas → 0.2x + 0.4y <= 24

• De no negatividad , x e y son valores enteros no negativos: x >= 0; y >= 0

Cómo 3x es el ingreso total por la venta de los panetones especiales y 4y por la de los panetones premium, entonces la función objetivo que determina el máximo ingreso es: F(x, y) = 3x + 4y

DETERMINACION DE LA REGION FACTIBLE

La solución de un problema de programación lineal debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible y puede estar o no estar acotada (limitada). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

DETERMINACION DE LA SOLUCION OPTIMA

La solución óptima será aquella que maximiza o minimiza la función objetiva F(x, y). Se encuentra en la frontera de la región factible.

En la función F(x, y) = 3x + 4y, reemplazamos todas las coordenadas de la región factible del gráfico anterior:

• Identificamos los vértices del polígono: A(0, 0); B(80, 0); F(40, 40) y D(0, 60)

Punto A: F(0, 0) = 3(0) + 4(0) = 0

Punto C: F(80, 0) = 3(80) + 4(0) = 240

Punto F: F(40, 40) = 3(40) + 4(40) = 280

Punto D: F(0, 60) = 3(0) + 4(60) = 240

La solución óptima se obtiene en el punto F, donde la función objetiva F(x, y) = 3x + 4y, obtiene su máximo valor cuando x = 40 con y = 40.

Esto quiere decir que para obtener el máximo ingreso ($ 280 diarios), se necesitan preparar y vender 40 panetones especiales y 40 panetones premium por día.

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video tutorial del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 3ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos obtenidos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determina la región factible del sistema formado por: x >= 0; y >= 0; x + y >= 8; x + 2y >= 12

2. Determina la región factible, según las restricciones: x >= 0; y >= 0; x + y <= 120; x + 3y <= 150

3. Utiliza el método algebraico para calcular los valores x e y que hacen máxima la función objetivo F(x, y) = 40x + 70y con las restricciones: x + y <= 60; x + 2y <= 90; x >= 0; y >= 0

4. Utiliza cualquier método para averiguar el mínimo valor para la función objetivo F(x, y) = 30x + 40y considerando las siguientes restricciones: x + 2y >= 80; 3x + 2y >= 120; x >= 0; y >= 0

5. Una fabrica textil confecciona pantalones  y chaquetas del mismo material. Para la elaboración de un pantalón requiere de 2 metros de tela y 4 horas de trabajo al día, y para la elaboración de una chaqueta requiere de 3 metros de tela y 8 horas de trabajo al día. Si se sabe que la fábrica cuenta con 600 metros de tela y 1520 horas de trabajo para todo el proceso, y que por cada pantalón obtiene una utilidad de $ 18 y por cada chaqueta, una utilidad de $ 30. ¿Cuántos pantalones y chaquetas debe confeccionar para obtener el máximo beneficio? 

TIPOS DE SOLUCION

Solución Única

Concepto.- La solución es única cuando la solución óptima se encuentra solo en uno de los vértices como en el caso anterior.

EXPLICACION

Ejemplo:

una fábrica prepara aderezos para carnes de tamaño grande y mediano. La primera contiene 100 gramos de especias y 50 gramos de sal en grano por paquete, la segunda 75 gramos de especias y 25 gramos de sal en granos. Si se abastece de 1 tonelada de especias y 0,5 toneladas de sal en grano, ¿Cuántos paquetes se deben fabricar de cada tipo para obtener la máxima utilidad, ganando en la venta de cada una $ 2,50 y $ 2,00 respectivamente? 

Primero, se asigna una variable a cada una de las incógnitas:

x: número de paquetes grandes

y: número de paquetes medianos

Segundo, se organiza la información en una tabla:

Tercero, se determina las restricciones y la función objetivo:

x >= 0 (1)

y >= 0 (2)

0,1x + 0,075y <= 1.000 (3)

0,05x + 0,025y <= 500 (4)

Función objetivo: F (x, y) = 2,5x + 2y

Cuarto, se grafica la región factible y se determina los vértices A(10.000, 0); B(0, 13.333); C(0, 0).

Finalmente, se determina la solución óptima.

En A: F(10.000, 0) =2,5(10.000) + 2(0) = 25.000

En B: F(0, 13.333) = 2,5(0) + 2(13.333) = 26.666

En C: F(0, 0) = 2,5(0) + 2(0) = 0

La máxima utilidad se obtiene en el vértice B(0, 13.333) con una solución única, que indica que se debe fabricar únicamente 13.333 paquetes del tamaño mediano y ninguno del tamaño grande.

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video tutorial del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 3ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos obtenidos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determina la región factible según las restricciones: 3x - 2y <=12; x + y >=10; x >= 3; y <= 9.

2. Hallar la solución única para determinar los valores x, y que hacen máxima la función objetivo F(x, y) = 50x + 90y, con las siguientes restricciones: x + y <= 80; x + 2y <= 120; x >= 0; y >= 0.

3. Determinar el valor que maximiza la función objetivo F(x,y) = 200x + 300y, en la región factible formada por el polígono cuyos vértices son (0, 0); (7, 0); (6, 5); (4, 8) y (0, 7).

4. Si la fábrica del ejemplo resuelto hace una variación y en la del tamaño grande ahora utiliza 110 gramos de especias y 40 gramos de sal, y en la mediana 70 gramos de especias y 30 gramos de sal, y se mantienen constantes los otros datos, ¿Cuántos paquetes de cada tipo debe fabricarse?

Solución Múltiple

Concepto.- La solución es múltiple cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del segmento que tiene por extremos a dos vértices de la región factible.

EXPLICACION

Ejemplo:

Un pesquero se dedica a la pesca de lenguado y merluza. Las autoridades han determinado que las capturas juntas no excedan de 30 toneladas. Además, la cantidad de lenguado no puede pasar del triple de la cantidad de merluza. La cantidad de merluza no puede pasar de 18 toneladas. Si el precio de venta del kilogramo de lenguado es de $ 10 y el de merluza es de $ 10, hallar la cantidad de cada especie que debe pescar para maximizar los ingresos por venta.

Primero, se asigna las variables:

x: número de kilogramos de lenguado

y: número de kilogramos de merluza

Segundo, se determinan las restricciones:

x >= 0; y >= 0; x + y <= 30.000 x <= 3y; y <= 18.000

Tercero, se realiza el gráfico y se obtiene la región factible

Luego, se determina los vértices: A(0, 18000); B(12000, 18000); C(0, 0); D(22500, 7500).

Finalmente, se calcula el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices:

En A: F(0, 18000) = 10(0) + 10(18.000) = 180.000

En B: F(12000, 18000) = 10(12.000) + 10(18.000) = 300.000

En C: F(0, 0) = 10(0) + 10(0) = 0

En D: F(22500, 7500) = 10(22.500) + 10(7.500) = 300.000

Por lo tanto, la máxima utilidad se obtiene en los vértices B y D, así como también en cualquiera de los puntos del segmento.

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video tutorial del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 3ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos obtenidos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indica los valores  de x, y que minimizan la función objetivo F(x, y) = x + 2y, sujeta a las restricciones x + 2y >= 6; x - 2y >= 3; x >= 0; y >= 0. Indica el tipo de solución.

2. Maximiza la función objetivo F(x, y) = x + 2y para un problema cuyas restricciones son: x >= 0; y >= 0; x - 2y <= -4; x - y >= 2. Indica el tipo de solución.

3. Un granjero tiene 480 hectáreas en las que puede sembrar maíz o trigo. Los márgenes de utilidad para cada uno de los productos son $ 40 por hectárea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz son 2 horas por hectárea y en la siembra de trigo, 1 hora por hectárea. Si durante la temporada dispondrá de 800 horas de trabajo. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe plantar para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?

4. En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: económica y especial. Cada torta económica necesita 250 gramos de relleno y 1 kg de bizcocho y produce una ganancia de $ 10; mientras que una torta especial necesita 500 gramos de relleno y 1 kg de bizcocho y produce $ 15 de ganancia. En la pastelería se puede disponer semanalmente de hasta 150 kg de bizcocho y 50 kg de relleno, aunque por problemas de personal  no pueden hacerse mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas de cada tipo se deben vender a la semana para que se obtenga una ganancia máxima?

LAS CONICAS

CONCEPTOS Y EXPLICACION

Superficie cónica de revolución

Una superficie de revolución es generada por una curva plana, que se hace girar alrededor de una recta fija ubicada en el mismo plano de la curva.

Cuando se hace girar una recta alrededor de una recta fija, la superficie generada puede ser un cono circular recto denominado superficie cónica de revolución.

La recta que gira se denomina generatriz de la superficie. La recta fija se denomina eje. El punto de corte de las dos rectas se denomina vértice.

En la figura se muestra una superficie cónica de revolución:

Sección cónica

Una sección cónica es una curva que se obtiene al intersecar un plano con una superficie cónica de revolución.

Las secciones que se pueden obtener, dependiendo del ángulo de inclinación del plano que corta la superficie cónica de revolución, son la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

Cónicas degeneradas

Las secciones cónicas degeneradas pueden ser:

Un punto, cuando el plano es perpendicular al eje de la superficie cónica y pasa por su vértice.

Una recta, cuando el plano es paralelo a una generatriz de la superficie.

Dos rectas secantes, cuando el plano es paralelo al eje de la superficie cónica y lo contiene.

Las cónicas están presentes en el estudio de la astronomía, la óptica, la acústica, la arquitectura, la ingeniería, la navegación y muchas otras áreas.

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

LA CIRCUNFERENCIA

CONCEPTO

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio.

Ecuación canónica de la circunferencia

En la figura se muestra una circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r.

El punto P(x, y) pertenece a la circunferencia; por tanto, la distancia de P(x, y) a C(h, k) es igual al radio, en consecuencia, se tiene:

Por tanto, la ecuación: (x - h)² + (y - k)² = r², es la ecuación de la circunferencia con centro en C(h, k) y radio r.

En particular, si C(h, k) = C(0, 0), se tiene que la ecuación canónica de la circunferencia es:  x² + y² = r²

EXPLICACIÓN

1.- Encontrar la ecuación canónica de la circunferencia cuyo radio es 3, con centro en el punto C(-2, 7).

Como el centro es C(-2, 7), entonces , h = -2 y k = 7; además el radio r = 3

Ecuación canónica de la circunferencia es: (x - h)² + (y - k)² = r²

Se reemplaza por h, k y r:     (x + 2)² + (y - 7)² = 3²

Se resuelve la potencia:     (x + 2)² + (y - 7)² = 9 → ecuación canónica

2.- Determinar si el punto P(1, -3) pertenece o no a la circunferencia cuya ecuación canónica es:

(x + 2)² + (y - 1)² = 25

Primero, se tiene P(x, y) = P(1, -3)

Luego, se reemplaza las coordenadas de P en la ecuación de la circunferencia, así: 

(x + 2)² + (y - 1)² = (1 + 2)² + (-3 - 1)²

    = 3² + (-4)²

    = 9 + 16 = 25

Por tanto, las coordenadas del punto satisfacen la ecuación.

Luego, P(1, -3) es una punto de la circunferencia.

3.- Determinar la ecuación canónica de la circunferencia que pasa por el punto A(3, -2), cuyo centro pertenece a la recta 2x - y + 2 = 0 y que tiene radio r = 5.

(x - h)² + (y - k)² = 25  →  Ecuación de la circunferencia con C(h, k) y r = 5

(3 - h)² + (-2 - k)² = 25 → Se reemplazan las coordenadas A (3, -2), la circunferencia pasa por ese   punto.

(3 - h)² + (2 + k)² = 25 → Se simplifica

Como el centro C(h, k), pertenece a la recta con ecuación 2x - y + 2 = 0, se tiene:

2x - y + 2 = 0 → ecuación de la recta

2h - k + 2 = 0 → Se reemplaza x por h, y por k

k = 2h + 2 → Se despeja k

Ahora, en la ecuación  (3 - h)² + (2 + k)² = 25, se tiene:

(h - 3)² + (2 + 2h + 2)² = 25 → Se reemplaza k por 2h + 2

(h - 3)² + (2h + 4)² = 25 → Se suma

h² - 6h + 9 + 4h² + 16h + 16 = 25 → Se resuelve cada cuadrado del binomio

5h² + 10h + 25 = 25 → Se resuelven lo términos semejantes

5h² + 10h = 0 → Se iguala a cero

h1 = 0 ; h1 = -2 → Se factoriza y se halla h1 y h2

Luego se obtiene k reemplazando h1 por 0 y h2 por -2, en la ecuación k = 2h + 2, entonces, k1 = 2 ; 

k2 = -2 respectivamente, Luego, C1(0, 2) o C2(-2, -2).

Por lo tanto, las ecuaciones de las posibles circunferencias que pasan por el punto A(3, -2), de radio 5 y cuyo centro pertenece a la recta 2x - y + 2 = 0 son:

x² + (y - 2)² = 25 ; (x + 2)² + (y + 2)² = 25

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Ecuación general de la circunferencia

CONCEPTO

La ecuación general de una circunferencia se determina a partir de su ecuación canónica. En la ecuación canónica de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r, se tiene que:

(x - h)² + (y - k)² = r²

x² - 2xh + h² + y² - 2yk + k² = r² → Se desarrollan los cuadrados de los binomios.

x² + y² - 2xh - 2yk + h² + k² - r² = 0 → Se iguala a cero y se ordena.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → Se reemplazan D = - 2h, E = - 2k ; F = h² + k² - r²

La ecuación x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se conoce como la ecuación general de la circunferencia.

Caracterización de la ecuación de la circunferencia.

Para caracterizar la ecuación general de la circunferencia, se expresa en forma canónica como sigue:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Resolviendo completando cuadrados perfectos para hacerlo canónica se tiene que: C(-D/2, -E/2) y r² = (D² + E² - 4F) / 4

Para el radio se presentan los siguientes casos:

• Si D² + E² - 4F > 0, entonces, se tiene una circunferencia.

• Si D² + E² - 4F = 0, entonces, se tiene un punto.

• Si D² + E² - 4F < 0, entonces, no se tiene una circunferencia.

EXPLICACION

1.- Determinar el centro y el radio de la circunferencia, a partir de su ecuación general: x² + y² + 6x - 8y - 2 = 0, luego realizar su gráfica.

x² + y² + 6x - 8y - 2 = 0

x² + y² + 6x - 8y = 2

(x² + 6x + 9) + (y² - 8y + 16) = 2 + 9 + 16

(x + 3)² + (y - 4)² = 27

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es C(-3, 4) y el radio  es 5.2

2.- Determinar la ecuación general y la ecuación canónica de la circunferencia que pasa por los puntos:

P(-4, 6), Q(3, 5) y R(2, -2)

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → ecuación modelo

Primero, se reemplaza en la ecuación los puntos P.

(- 4)² + 6² + (- 4)D + 6E + F = 0

-4D + 6E + F = - 52

Luego, se repite el proceso anterior para los puntos P y Q.

3² + 5² + 3D + 5E + F = 0

3D + 5E + F = 34

2² + (- 2)² + 2D + (- 2)E + F = 0

2D - 2E + F = - 8

Ahora se resuelve el sistema con las tres ecuaciones determinadas por los puntos:

P(-4, 6); Q(3, 5); R(2, -2) - 4D + 6E + F = - 52

 3D + 5E + F = - 34

   2D - 2E + F = - 8

La solución del sistema de ecuaciones es D = 2, E = - 4, F = - 20, el centro y el radio se hallan de la siguiente manera:

C (- D/2, - E/2) → Coordenadas del centro de la circunferencia

C (- 2/2, - (- 4)/2) = C (- 1, 2) → Se reemplazan los valores de D y E

r² = (D² + E² - 4F) / 4 → Expresión para hallar el radio

r² = [2² + (- 4)² - 4(- 20)] / 4 → Se reemplazan los valores de D, E y F

Se resuelve la operación y entonces r = 5

Por lo tanto, la ecuación canónica de la circunferencia es:

(x + 1)² + (y - 2)² = 25 y su representación gráfica es:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia en el plano

CONCEPTO

Dadas una recta y una circunferencia en un mismo plano, se pueden presentar las siguientes situaciones:

Posición relativa de dos circunferencias en el plano

• Cuando las circunferencias no se intersecan. En este caso las circunferencias pueden ser exteriores, interiores o concéntricas, como se muestra a continuación:

• Cuando las circunferencia se intersecan en un solo plano, en este caso, las circunferencias son tangentes externas e internas, como se muestra:

• Cuando las circunferencias se intersecan en dos puntos. En este caso, son secantes, como se muestra:

Para saber analíticamente si dos circunferencias son secantes o no, se aplican las siguientes consideraciones:

d(r1, r2) > r1 + r2 → son circunferencias exteriores y no se cortan

d(r1, r2) < r1 + r2 → son circunferencias secantes y se cortan en dos puntos.

d(r1, r2) = r1 + r2 → son circunferencias tangentes y tienen contacto en un solo punto.

La fórmula de distancia es: d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

EXPLICACION

1.- Determinar la posición de la recta x - y + 4 = 0 con respecto a la circunferencia cuya ecuación es

      x² + y² + 6x + 4y + 4 = 0

Primero, se resuelve el sistema de ecuaciones para determinar si hay puntos comunes entre la recta y la circunferencia, así:

x -  y + 4= 0, luego, y = x + 4

x² + y² + 6x + 4y + 4 = 0

Se reemplaza por x + 4 en la ecuación de la circunferencia.

x² + (x + 4)² + 6x + 4(x + 4) + 4 = 0

Se realizan las operaciones y se simplifica

x² + x² + 8x + 16 + 6x + 4x + 16 + 4 = 0

  2x² + 18x + 36 = 0

      x² + 9x + 18 = 0

Se resuelve la ecuación cuadrática por factorización:

(x + 6)(x + 3) = 0 → x1 = - 6;  x2 = - 3

Como el sistema tiene dos soluciones, la recta es secante a la circunferencia.

Luego, se aplica la ecuación de la recta y = x + 4 para hallar los puntos de intersección.

Para x1 = - 6 se tiene que y1 = - 6 + 4 = - 2

Para x2 = - 3 se tiene que y2 = - 3 + 4 = 1

Por tanto, la recta  x - y + 4 = 0 interseca a la circunferencia x² + y² + 6x +4y + 4 = 0 en los puntos (-6, -2) y (-3, 1) como se muestra:

2.- Determinar la posición relativa entre las circunferencias cuyas ecuaciones canónicas son: 

(x - 2)² + (y - 1)² = 9 y (x + 3)² + (y - 5)² = 4

Primero, se determina el centro y radio de cada circunferencia

(x - 2) + (y - 1)² = 9 → C1(2, 1) y r1 = 3

(x + 3)² + (y - 5)² = 4 → C2(-3, 5) y r2 = 2

Se suman los radios: 3 + 2 = 5

Luego, se calcula la distancia entre los radios.

d² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)² = (2 + 3)² + (1 - 5)² = 41 → d = 6,4

Se observa que la distancia obtenida es mayor que la suma de las longitudes de sus radios. Por ello, ambas circunferencias son exteriores, como indica la figura:

3.- Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que pasa por el punto A(1, 0), y es concéntrica con la circunferencia x² + y² - 2x - 8x + 13 = 0.

x² - 2x + y² - 8y + 13 = 0 → Ecuación

x² - 2x + y² - 8y = - 13 → Se resta 13

(x² - 2x + 1) + (y² - 8y + 16) = - 13 + 1 +16 → Se completan cuadrados perfectos

(x - 1)² + (y - 4)² = 4 → Se factoriza y se resuelven las operaciones

Luego, la circunferencia tiene como centro C(1, 4)

Como el punto A(1, 0), pertenece a la circunferencia que se busca  y el centro C(1, 4), entonces, se determina el radio, así:

(x - h)² + (y - k)² = r² → Ecuación canónica de la circunferencia

(1 - 1)² + (0 - 4)² = r² → Se reemplaza las coordenadas A(1, 0) y C(1, 4) respectivamente

16 = r²

r = 4

Por tanto, la circunferencia tiene centro en C(1, 4) y radio 4, y su ecuación es:

(x - 1)² + (y - 4)² = 16 como muestra la gráfica:

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video tutorial del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 3ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos obtenidos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

LA PARÁBOLA

CONCEPTO

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano cartesiano que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija del mismo plano, llamado directriz.

Si M es el punto en el que se proyecta P en la directriz, como se muestra la figura, entonces se cumple que: d(P,F) = d(P,M).

Elementos de la parábola

El foco F y la directriz l, son el punto y la recta respectivamente, que equidistan de cualquier punto de la parábola.

El eje de simetría es la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz l.

El vértice V es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.

A la distancia entre el foco y el vértice se le denomina distancia focal.

El lado recto PQ es el segmento cuyos extremos pertenecen a la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría.

Longitud del lado recto de una parábola

Para determinar la longitud del lado recto PQ de una parábola como la que se muestra en la figura se siguen los siguientes pasos:

En conclusión, la longitud del lado recto de una parábola es cuatro veces la distancia entre el foco y el vértice.

Ejemplo:

1. Determinar los elementos de la parábola y la longitud del lado recto a partir de la gráfica.

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (0, 0)

En la gráfica se muestra una parábola con vértice en el origen, cuyo eje de simetría coincide con el eje y. Si las coordenadas del foco F son (0, p), entonces, la directriz es y = -p, con lo cual R(x, -p) es la proyección del punto Q en la directriz. Teniendo en cuenta esto, los pasos para deducir la ecuación de la parábola son:

En este caso, si p > 0, la parábola abre hacia la derecha. En cambio, si p < 0, abre hacia la izquierda.

En la siguiente tabla se resumen las características de cada parábola con vértice en (0, 0), según sus ejes de simetría:

EXPLICACION

Ejemplos:

1. Encontrar los puntos de intersección de la parábola x² = 2y con la recta x + y - 4 = 0

Solución:

Se plantean las ecuaciones en función de y

y = x² / 2 → y = - x + 4

Se igualan las dos ecuaciones: x² / 2 = - x + 4

Se iguala a cero: x² + 2x - 8 = 0

Se factoriza: (x + 4) (x - 2) = 0

Se escribe las soluciones de la ecuación: x1 = - 4 o x2 = 2

Finalmente, se reemplazan los valores de x y se obtiene que y1 = 8 o y2 = 2. Por lo tanto, los puntos de corte de la parábola y de la recta son P1(-4, 8) y P2(2, 2), como se muestra:

2. Halla la ecuación de la parábola con vértice V(0, 0) y foco F(0, 3)

Primero, se tiene que, por sus coordenadas, el vértice V(0, 0) se ubica en el origen.

Segundo, por las coordenadas del foco F(0, 3), el eje focal coincide con el eje y. Por tanto, la ecuación de la parábola es de la forma: x² = 4py

Luego, se determina p: F(0, 3), entonces p = 3.

Finalmente, se reemplaza p en la ecuación x² = 4py y se tiene: x² = 4(3)y → x² = 12y

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k)

EXPLICACION

1. Halla la ecuación canónica de la parábola con foco F(-4, -1) y directriz  y = 3.

Primero, se tiene que el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje y porque la directriz es y = 3. Además, el eje de simetría x = -4 interseca a la directriz en el punto R(-4, 3).

Luego, como d(V,F) = d(V,R), entonces, la parábola tiene como vértice V(-4, 1).

Ahora, la ecuación de la parábola está dada por la expresión: (x + 4)² = 4p(y -1)

Como la directriz está dada por la expresión y = k - p, entonces p = k - y, de donde p = 1 - 3 = -2.

Finalmente, se reemplaza el valor de p, con lo que la ecuación de la parábola es:

(x + 4)² = -8(y - 1), como se muestra en el gráfico:

2. Encontrar la ecuación de la parábola que se muestra en la siguiente gráfica, si p = 3/2.

Para hallar el valor de h se resuelve así:

(8 - 2 )² = 6(7 - h) → 36 =42 - 6h, luego, h = 1

Finalmente, se reemplazan los valores de h, k, p, con lo que la ecuación de la paábola es:

(y - 2)² = 6(x - 1)

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Ecuación general de la parábola

CONCEPTO

La ecuación general de una parábola con vértice en (h, k) es:

• x² + Dx + Ey + F = 0 con E diferente a cero; si el eje de simetría es paralelo al eje y.

• y² + Dx + Ey + F = 0 con D diferente a cero; si el eje de simetría es paralelo al eje x.

La ecuación general de una parábola se puede deducir de su ecuación canónica, dependiendo de que su eje de simetría sea paralelo al eje x o al eje y.

Si la parábola tiene vértice V(h, k) y eje de simetría paralelo al eje y, su ecuación general se deduce así:

Ecuación canónica → (x - h)² = 4p(y - k)

Se resuelve las operaciones → x² - 2xh + h² = 4py - 4pk

Se iguala a cero → x² - 2xh - 4py + h² + 4pk = 0

Si D = -2h, E = -4p y F = h² + 4pk, entonces la ecuación general de la parábola es x² + Dx + Ey + F = 0

Si la parábola tiene vértice V(h, k), y eje de simetría paralelo al eje x, su ecuación general se deduce así:

Ecuación canónica → (y - k)² = 4p(x - h)

Se resuelve las operaciones → y² - 2ky + k² = 4px - 4ph

Se iguala a cero → y² - 4px - 2ky + k² + 4ph = 0

Si D = -4p, E = -2k y F = k² + 4ph, entonces la ecuación general de la parábola es y² + Dx + Ey + F = 0.

Ecuación de la parábola dada tres condiciones

La ecuación de una parábola se puede determinar si se conocen tres condiciones. Así, para las ecuaciones canónicas, (y - k)² = 4p(x - h), o (x - h)² = 4p(y - k), se deben conocer h, k y p.

En cambio, para determinar las ecuaciones generales x² + Dx + Ey + F = 0, o y² + Dx + Ey + F = 0, se deben conocer D, E y F.

EXPLICACION

1. Determina la ecuación general de la parábola que se muestra en la figura.

(y - k)² = 4p(x - h)

(y - 3)² = 4(3)(x - (-1))

y² - 6y + 9 = 12(x + 1)

y² - 6y + 9 = 12x + 12

y² - 6y - 12x - 3 = 0

Finalmente, la ecuación general de la parábola es y² - 6y - 12x - 3 = 0

2. Determinar la ecuación general de la parábola que se muestra en la gráfica.

Se reemplaza las coordenadas de (-8, 4) (-8)² + (-8)D + 4E + F = 0

Se simplifica -8D + 4E + F = -64

Se reemplaza las coordenadas (-4, 2) (-4)² + D(-4) + 2E + F = 0

Se simplifica -4D + 2E + F = -16

Se reemplaza las coordenadas (0, 4) 0² + 0 + 4E + F = 0

Se simplifica 4E + F = 0

Tercero, se forma el sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas:

-8D + 4E + F = -64

-4D + 2E + F = -16

4E + F = 0

Luego, se resuelve el sistema de ecuaciones por cualquier método, de donde se obtiene que: D = 8, E = -8 y F = 32.

Finalmente, se reemplazan los valores de D, E y F, quedando la ecuación general de la parábola asi:

x² + 8x - 8y + 32 = 0

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

LA ELIPSE

CONCEPTO

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano cartesiano, tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es constante.

Según la definición de la elipse, se cumple que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a, donde a es un número real positivo.

Elementos de la elipse

Los elementos de la elipse son:

Eje focal o eje principal: recta a la que pertenecen los dos focos.

Centro: punto medio C del segmento cuyos puntos extremos son los focos.

Eje normal o secundario: recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro de la elipse.

Vértices: puntos de intersección V1 y  V2 de la elipse con el eje focal.

Eje mayor: segmento del eje focal que une los vértices.

Eje menor: segmento cuyos puntos extremos B1 y B2 son los puntos de intersección de la elipse con el eje normal.

Lado recto: segmento perpendicular al eje focal que pasa por uno de los focos y que une a dos puntos L y R de la elipse.

Ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0)

La ecuación de la elipse con centro en el origen se determina teniendo en cuenta dos casos: cuando el eje focal coincide con el eje x y cuando lo hace con el eje y.

Ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0 ) y eje focal el eje x.

Para deducir la ecuación de una elipse con centro en el origen (0, 0) y eje focal el eje x, como se muestra en la figura, se aplica la definición de elipse, teniendo en cuenta que las constantes a y c son números  reales tales que a > c >= 0.

Se aplica la definición de la elipse d(F1, P) + d(F2, P) = 2a

Hallan la distancia entre los puntos, desarrollando cuadrado de binomios, simplificando, factor común y otros artificios llegamos a la ecuación canónica siguiente:

La ecuación canónica de una elipse con centro en C(0, 0), focos F1(-c, 0) y F2(c, 0), vértices V1(-a, 0) y V2(a, 0) y puntos de corte con el eje normal B1(0, -b) y B2(0, b), es:

Ecuación canónica de la elipse con centro en (0, 0 ) y eje focal el eje y.

La ecuación canónica de una elipse con centro C(0, 0), focos F1(0, -c) y F2(0, c), vértices V1(0, -a) y V2(0, a) y puntos de corte con el eje normal B1((-b, 0) y B2(b, 0) es:

Como a > c >= 0, si se divide entre a, se tiene que 1 > c/a >= 0, es decir, la excentricidad de una elipse siempre es mayor o igual a cero y menor que uno.

Si la excentricidad es igual a cero, entonces, la elipse es una circunferencia. Esto se debe a que si e = c/a = 0, y como a² = b² + c² y a es positivo, entonces a = b = r, donde r es el radio de la circunferencia.

EXPLICACION

Determinar los focos, los vértices y la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: x²/25 + y²/16 = 1.

Primero, se tiene que la ecuación x²/25 + y²/16 = 1 es de la forma x²/a² + y²/b² = 1 con a > b. Por esta razón, a = 5 y b = 4.

Luego, se halla el valor de c mediante la relación a² = b² + c²

5² = 4² + c², c² = 25 -16 = 9, c = 3

Finalmente, se tiene que los vértices son V1(-5, 0) y V2(5, 0), los focos son F1(-3, 0) y F2(3, 0) y la excentricidad es e = 3/5 = 0,6.

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACION CANONICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (h, k)

CONCEPTO

Para hallar la ecuación canónica de una elipse con centro en C(h, k), se deben considerar dos casos: cuando el eje focal es paralelo al eje x y cuando el eje focal es paralelo al eje y.

Ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x

La ecuación canónica cuando tiene centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje x es:

En la gráfica se muestra una elipse con eje focal paralelo al eje x y centro en (h, k). Los elementos de la elipse son:

Ecuación canónica de la elipse con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje y

La ecuación canónica cuando tiene centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje y es:

Cuando una elipse tiene centro C(h, k) y eje focal paralelo al eje y, sus elementos quedan definidos de la siguiente forma:

• Centro: (h, k)

• Focos: F1(h, k-c) y F2(h, k+c)

• Vértices: V1(h, k-a) y V2(h, k+a)

• Puntos de corte con el eje normal:

B1(h-b, k) y B2(h+b, k)

• Longitud del lado mayor: 2a

• Longitud del lado menor: 2b

• Ecuación del eje focal: x = h

• Longitud del lado recto: 2b²/a

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE

CONCEPTO

Al igual que la circunferencia y la parábola, la elipse tiene una ecuación general, de segundo grado.

Para hallar la ecuación general de la elipse, se realiza los siguientes pasos:

Primero, se multiplica la ecuación canónica de la elipse por a²b² y se resuelven las potencias

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 → b²(x² - 2hx + h²) + a²(y² - 2ky + k²) = a²b²

Luego, se resuelven las multiplicaciones y se organizan los términos de la ecuación igualando a cero.

b²x² + a²y² - 2b²hk - 2a²ky + a²k² + b²h² - a²b² = 0

Finalmente, se reemplazan las variables A = b², B = a², D = -2b²h, E = -2a²k y F= b²h² + a²k² - a²b², de donde se obtiene que la ecuación general de la elipse es:

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 → Siempre que A y B sean diferentes de cero y con el mismo signo.

Para deducir la ecuación general de la elipse no es necesario no es necesario conocer si el eje focal es paralelo al eje x o al eje y, porque en ambos casos es de la misma forma.

Además, si D = E = 0, entonces el centro de la elipse es el origen del plano cartesiano. 

EXPLICACION

Determinar la ecuación y los elementos de la elipse cuya ecuación general es 4x² + 25y² - 8x + 200y + 304 = 0. Luego, realiza la representación gráfica de la elipse.

Primero, se plantea la ecuación

4x² + 25y² - 8x + 200y + 304 = 0

Segundo, se agrupan los términos y se extrae el factor común

4(x² - 2x) + 25(y² + 8y) + 304 = 0

Tercero, se completan los cuadrados perfectos

4(x² - 2x + 1 - 1) + 25(y² + 8y +16 - 16) + 304 = 0

Cuarto, se multiplican y se agrupan los trinomios

4(x² - 2x + 1) - 4 + 25(y² + 8y + 16) - 400 + 304 = 0

Luego, se simplifica y se factoriza

4(x - 1)² + 25(y + 4)² = 100

Finalmente, se divide para 100, quedando la ecuación canónica así:

(x - 1)²/25 + (y + 4)²/4 = 1 → Además a = 5, b = 2 y c = 4,58

Luego, los elementos de la elipse son:

• Centro: C(1, -4)

• Focos F1(-3,58; -4) y F2(5,58; -4)

• Vértices: V1(-4, -4) y V2(6, -4)

• Longitud del lado mayor: 10

• Puntos de corte con el eje normal: B1(1,-6) y B2(1, -2)

• Longitud del lado menor: 4

En la figura, se muestra la representación gráfica de la elipse:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

LA HIPERBOLA

CONCEPTO

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano cartesiano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante.

Según la definición de hipérbola, si P es uno de sus puntos y F1 y F2 son los focos, entonces, se cumple que |d(F1, P) - d(F2, P) = 2a, donde a es un número real positivo.

Elementos de la hipérbola

Aparte de los focos, en la hipérbola se pueden identificar los siguientes los siguientes elementos:

• Eje focal: recta que pasa por los dos focos, como se muestra en la gráfica.

• vértices: puntos de la hipérbola que están sobre el eje focal V1 y V2.

• Eje transverso: segmento cuyos extremos son los vértices de la hipérbola.

• Centro: punto medio C del eje transverso.

• Eje normal: recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola.

• Eje conjugado: segmento perpendicular al eje transverso que pasa por el centro de la hipérbola.

• Asíntotas: dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola, las cuales se aproximan a las ramas de la hipérbola sin tocarla y se extienden indefinidamente.

• Lado recto: segmento perpendicular al eje focal que pasa por un punto de los focos y que une a dos puntos de la hipérbola.

Ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen

La ecuación de la hipérbola con centro en el origen se determina teniendo en cuenta dos casos: cuando el eje focal es el eje x  y cuando es el eje y.

En la figura se muestra una hipérbola con centro en el origen C(0, 0), eje focal el eje x, vértices V1(-a, 0) y V2(a, 0) y focos F1(-c, 0) y F2(c, 0), donde c > a.

Si P(x, y) es un punto cualquiera de la hipérbola, entonces se siguen estos pasos para deducir la ecuación canónica.

d(P. F1) - d(P, F2) = +-2a, aplicando la ecuación de distancia entre dos puntos, cuadrado de binomios, factor común tenemos: x²(c² - a²) - a²y² = a²(c² - a²)

Si se hace b² = c² - a², entonces, la ecuación se expresa como x²b² - a²y² = a²b², que al dividir para a²b² se obtiene la ecuación canónica de la hipérbola que es:

x²/a² - y²/b² = 1, siempre que c > a > 0 y b² = c² - a²

El procedimiento para hallar la ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen y eje focal el eje y, es el mismo.

En la tabla se resumen las características de una hipérbola con centro C(0, 0).

La excentricidad de una hipérbola está dada por la expresión e = c/a, con c² = a² + b², como c > a, entonces se tiene que e > 1.

Por ejemplo, la ecuación canónica de la hipérbola con centro C(0, 0), vértice V1(-4, 0) y V2(4, 0) y foco (-5, 0) es: x²/16 - y²/9 = 1

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video tutorial del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 3ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos obtenidos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

LA DERIVADA

NOCION DE DERIVADA

CONCEPTO

La derivada de una función f(x) es la función f(x) definida por la regla general:

La notación f´(x) se lee: "f prima de x". Además, existen otras notaciones para la derivada que son y´, que se lee "derivada de y"; dy /dx que se lee "derivada de y con respecto a x" y Dx (y) que se lee "derivada con respecto a x de y".

El proceso para hallar la derivada de una función se denomina diferenciación.

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en el punto x = a, se expresa como f´(a) y está dada por:

EXPLICACION

Derivar la siguiente función utilizando la regla general:

• Cuando se infla un balón esférico, su área superficial se puede expresar en términos del radio r, mediante la función S(r) = 4¶r². Determinar la tasa de cambio del área de superficie con respecto al radio r.

VIDEO EXPLICATIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS

RECTA TANGENTE

CONCEPTO

La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)) es m¡ = f´(a), siempre que este valor exista, y su ecuación es y = f´(a)(x - a) + f(a).

RECTA NORMAL

CONCEPTO

La recta normal a la gráfica de una función de una función es un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.

Si m¡ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f en P(a, f(a)), es decir, m¡ = f´(a), entonces, la pendiente de la recta normal a f es:

EXPLICACION

1.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica  de la función f(x) = 2x³ + 1 en el punto (-1, -1) y graficarla.

2.- Encontrar el punto de la gráfica de la función f (x) = 4x² - 4 para el cual la recta tangente a dicho punto es y = 16x - 20.

3.- Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f (x) = x³/4 + 3 en el punto (2, 5) y graficarla.

VIDEO EXPLICATIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS

REGLAS BASICAS PARA DERIVAR

CONCEPTOS

DERIVADA DE UNA FUNCION CONSTANTE

Una función constante f (x) = k tiene como dominio el conjunto de los números reales y como rango un valor constante, por tanto, su representación gráfica es una recta horizontal, paralela al eje x y con pendiente cero. Así, la derivada en cualquier punto del dominio de esta función es cero.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IDÉNTICA

En una función idéntica f (x) = x, también el dominio como el rango es el conjunto de los números reales y su gráfica es una recta de pendiente m = 1. Así, la derivada de ésta función es 1 para cualquier valor del dominio. 

La derivada de una función idéntica es 1.

Así, si f (x) = x, entonces f´(x) = 1, ¥ x £ R.

Para comprobar la afirmación, aplicamos la definición de la derivada:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIA

La derivada de una función potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos una unidad. Entonces tenemos:

A partir de la definición de la derivada se plantea la siguiente demostración:

DERIVADA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE

Cuando la función tiene una constante c es posible utilizar una regla de derivación.

Si c es una constante y g (x) es una función derivable en x, entonces, la derivada de f (x) = c.g (x) es:

f´(x) = c.g´(x).

Esta regla se demuestra con la definición de la derivada, así:

DERIVADA DE LA SUMA Y LA RESTA DE FUNCIONES

Si f (x) y g(x) son funciones derivables en x, tales que existe una función F (x) = f (x) + g (x), entonces,

F´(x) = f´(x) + g´(x).

La regla de la derivada de la suma de funciones se puede abreviar escribiendo simplemente (f + g)´=f´+g´, igualdad que se prueba a partir de la definición de derivada.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE FUNCIONES

La derivada del producto de dos funciones no corresponde al producto de las derivadas de las funciones, por tanto, es importante tener muy presente la siguiente regla.

Si f (x) y g (x) son funciones derivables  en x, tales que existe una función F (x) = f (x) * g (x), se tiene que:

F´(x) = f´(x)*g (x) + f (x)*g´(x).

Es decir, la derivada del producto de dos funciones se puede expresar como: la derivada de la primera función por la segunda, mas la primera función por la derivada de la segunda función.

La regla para derivar el producto de dos funciones se demuestra aplicando la definición de límites:

DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

Si f (x) y g (x) son funciones derivables en x, tales que existe una función F (x) = f (x) / g (x) con g (x) diferente a 0, entonces: 

Es decir, la derivada del cociente de dos funciones se puede expresar como la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, todo ello dividido entre el cuadrado de la función del denominador.

A partir de la regla del producto se puede construir una demostración de la regla del cociente. Así:

EXPLICACION

1. Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación.

2. Calcular la derivada de las funciones aplicando la regla de derivación del múltiplo constante.

3. Calcular la velocidad con la que cae un objeto luego de 3 segundos si su desplazamiento en pies está descrito por la fórmula y = 1200 - 2t + 10t².

Primero, como la derivada de la función que describe el desplazamiento de un cuerpo representa la velocidad con la que él se mueve, se debe encontrar la derivada de la función y.

y´= 0 - 2 + 20t

y´= - 2 + 20t

Segundo, ahora se reemplaza t = 3 para calcular la velocidad al cabo de 3 segundos y se resuelven las operaciones.

y´(3) = -2 + 20(3)

y´(3) = -2 + 60

y´(3) = 58

Finalmente, la velocidad con la que se mueve el cuerpo en 3 segundos es 58 pies/seg.

4. Encontrar la derivada de la función t(x) = (8x² - 2x)(5x + 9).

Primero, se identifican las funciones que se están multiplicando:

f(x) = (8x² - 2x) y g(x) = (5x + 9)

Segundo, se calculan las derivadas de las funciones f(x) y g(x):

f´(x) = 16x - 2 y g´(x) = 5

Tercero, se aplica la regla para derivar el producto de dos funciones:

t´(x) = f´(x)*g(x) + f(x)*g´(x)

t´(x) = (16x - 2)(5x + 9) + (8x² - 2x)(5) multiplicando y sumando términos semejantes se tiene:

t´(x) = 120x² + 12x -18

5. Hallar la derivada de la función:

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS

CONCEPTO

Para calcular la derivada de una función compuesta se aplica un teorema que se conoce como regla de la cadena, que dice :

Regla de la Cadena

Si la función g (x) es derivable en x y f (x) es derivable en g (x), entonces, la función compuesta F (x) = f ° g = f (g(x)) es derivable en x y se expresa como: F´(x) = f´(g(x))*g´(x), donde g´(x) se conoce como la derivada interna.

Es decir, la derivada de una función compuesta es igual al producto de la derivada de la función externa calculada en la función interna, por la derivada de la función interna.

Para demostrar la regla de la cadena, cuando h (x) = (f ° g) (x) y g (x) - g (a) es diferente a cero, se aplican los siguientes pasos:

Regla de la potencia de una función

Si n es un número real y u (x), una función diferenciables tal que:

Es común utilizar la regla de la potencia cuando una función polinómica está elevada a un exponente o se encuentra en una raíz como:

EXPLICACION

1. Derivar la siguiente función:

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES

CONCEPTOS

Derivada de funciones logarítmicas

Derivada de funciones exponenciales

Se definen dos tipos de funciones con comportamiento exponencial:

En ambos casos existe una fórmula rápida para su diferenciación, así:

Es importante notar que la primera fórmula es un caso particular de la segunda, pues ln e = 1

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTO

Dadas las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, se cumple que:

Si f (x) = sen (g(x)), entonces, f´(x) = cos (g(x))*g´(x).

Si f (x) = cos (g(x)), entonces, f´(x) = - sen (g(x))*g´(x)

Si f (x) = tan (g(x)), entonces, f´(x) = sec² (g(x))*g´(x).

Si f (x) = cot (g(x)), entonces, f´(x) = - csc² (g(x))*g´(x).

Si f (x) = sec (g(x)), entonces, f´(x) = sec (g(x))*tan (g(x))*g´(x).

Si f (x) = csc (g(x)), entonces, f´(x) = - csc (g(x))*cot (g(x))*g´(x).

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DERIVACION IMPLÍCITA

CONCEPTO

Generalmente, las funciones están escritas de la forma y = f (x), lo que significa que y está definida en forma explícita respecto de x. Sin embargo, expresiones como:

Relacionan las variables x y y de tal manera que no definen a y explícitamente. A este tipo de expresiones se les llama funciones implícitas y su notación, en general, es F (x,y) = 0.

En algunas de estas ecuaciones se puede despejar y, mientras que en otras no es posible.

Sin embargo, la derivada de este tipo de funciones se puede calcular mediante la derivación implícita.

La derivación implícita es un proceso en el que se supone que y es una función derivable de x, y que utiliza la regla de la cadena.

Para derivar implícitamente una expresión se realizan los siguientes pasos:

Primero, se halla la derivada con respecto a x de la expresión implícita dada.

Segundo, se asocian en un solo miembro de la igualdad todos los términos que contienen y´.

Finalmente, se despeja y´.

EXPLICACION

1. Encontrar y´en la expresión 3xy - y² = -4x² y calcular la pendiente de la recta normal en el punto (1, 4).

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

CONCEPTO

El proceso de derivación se puede aplicar en forma secuencial, siempre y cuando la derivada de la nueva función exista. Así, si se calcula la derivada de la función f´(x), se obtiene otra función que se llama la segunda derivada de f (x) y se escribe f´´(x).

Análogamente, se pueden determinar las derivadas: tercera, cuarta, enésima de una función, derivando la función derivada anterior, las cuales se simbolizan sucesivamente:

EXPLICACION

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