FUNCIONES

CONCEPTO

Una función es una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B que asigna a cada elemento de A un y solo un elemento de B.

El conjunto A es el conjunto de partida y el conjunto B es el conjunto de llegada. A las funciones se las puede representar mediante el diagrama sagital a continuación:

EXPLICACION

Según el diagrama sagital anterior se puede decir que:

• Cada uno de los elementos del conjunto A está relacionado con algún elemento del conjunto B.

• Un elemento de A debe estar relacionado con uno y solo un elemento de B. Esto significa que los elementos de A no pueden estar relacionados con dos elementos de B.

Para nombrar una función se usan las letras minúsculas del alfabeto como f, g, h, etc. Y se escribe y=f(x) y se lee: y es igual a f de x. A y se le denomina "la imagen de x"

A x se le denomina variable independiente y a y, variable dependiente, ya que el valor que toma depende del valor de x.

Dominio y rango de una función.- Dada la función f: A → B, el conjunto A se denomina el dominio de la función f y se simboliza  Df = A. Los elementos del conjunto B, asociados con los elementos  en A, forman otro conjunto denominado el rango de la función f y se simboliza Rf.

Mediante una grafica de la función en el plano cartesiana se puede identificar el dominio y el rango, ya que el eje horizontal representa la variable independiente o dominio y el eje vertical, la variable dependiente, que es el rango de la función.

Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y y se buscan las restricciones que tiene x. En contraste, para hallar el rango, se despeja la variable x y se buscan las restricciones de y.

Función Inyectiva.- Una función f: A→B es una función Inyectiva o uno a uno si se cumple que para cada f(x1) = f(x2) ; entonces x1 = x2 o de forma equivalente x1 no es = a f2, entones f(x1) no es = a f(x2). Ejemplo:

Función Sobreyectiva.- Una función f: A → B es una función Sobreyectiva si, para todo elemento y del conjunto de llegada, existe un elemento del dominio de la función tal que y = f(x). Es decir, si Rf = B.

Función Biyectiva.- Una función f: A → B es función Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

EJERCICIOS PROPUESTOS

SIMETRIA DE FUNCIONES

CONCEPTO

El concepto de simetría se relaciona directamente con la forma que tiene la gráfica de una función en el plano cartesiano. De este modo se determinan dos aspectos que definen algebraicamente la simetría en una función:

• Si la función es par.

• Si la función es impar.

EXPLICACION

Una función es par si para cualquier número real x en su dominio, el número -x está también en su dominio y se cumple: f (-x) = f (x)

Se dice que una función es par si es simétrica con respecto al eje y, como se muestra en la función:

Una función es impar si para cualquier número real x en su dominio, el número -x está también en su dominio y se cumple: f (-x) = f (x)

Se dice que una función es impar si es simétrica con respecto al origen, o lo que es lo mismo tiene dos simetría, primero con el eje y y luego con el eje x; como se muestra:

Ejemplo

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video ilustrativo del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 2do de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

FUNCIONES POLINÓMICAS

CONCEPTO

La forma general de una función polinómica es:

Según el grado del polinomio planteado, dichas funciones se pueden clasificar en constantes, lineal, cuadrática, cúbica y polinómica en general.

Una función es constante, cuando tiene la forma de f (x) = k, donde k E R. En este caso, para cualquier número real x en el dominio de la función su imagen a través de la función es k.

Por tanto, Df = R y Rf = k, La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje x como se muestra:

Una función lineal es de la forma f (x) = mx + b, donde  m, b E R y m es diferente de cero.

La gráfica de una función lineal es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, b). El número b es el punto de corte con el eje y. Si m > 0, entonces, la función es creciente; si m < 0, la función es decreciente. Además, Df = R y Rf = R.

Por ejemplo, para la función lineal f (x) = -2x + 1, se tiene que m = -2 y b = 1 y para g (x) = x - 3, se tiene que  m = 1 y b = -3, como muestra la gráfica:

Una función cuadrática es de la forma: f (x) = ax² + bx + c, donde a, b, c E R y a es diferente a cero.

Una función cuadrática también se puede expresar como f (x) = a(x - h)² + k, donde (h, k) es la coordenada del vértice y a es diferente de cero. La gráfica de esta función es una parábola que abre hacia arriba si a > 0 o abre hacia abajo si a < 0.

Además, el vértice de la parábola cuya ecuación es f (x) = ax² + bx + c, también se puede encontrar mediante la expresión  V = (- b/2a, f( - b/2a)). 

Si f es una función cuadrática, Df = R y Rf esta determinado por:

• Si a > 0, entonces Rf = [ f(-b/2a), &[.

• Si a < 0, entonces Rf = ] -&, f(-b/2a)].

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Graficar las funciones indicando el vértice cuando este sea cuadrática:

• y = 3x - 1

• y = -3x² - x -1

• y = -2x

• y = x² + 2x - 2

• y = 5x - 4

• y = 2x² + 3x - 1

FUNCIONES RACIONALES

CONCEPTO

Una función racional es una función de la forma f (x) = P (x) / Q (x), donde P (x) y Q (x) son funciones polinómicas y Q (x) es diferente de cero.

El dominio f esta formado por todos los números reales, excepto los ceros del polinomio que está en el denominador.

La función racional básica es la función f (x) = k / x, donde k es una constante distinta de cero. Para esta función, se tiene que Df = R - {0} y Rf = R - {0}. Además la función es impar, esto es f (-x) = -f (x). Por tanto, la gráfica es simétrica  respecto al origen, como muestra el grafico.

En este caso, a la variable x se le puede asignar valores muy cercanos a cero, tanto negativos como positivos.

Para la función f (x) = k / x, la recta con ecuación x = 0 es una asíntota vertical de f (x). En forma similar, la recta y = 0 es una asíntota horizontal de f (x). La gráfica de la función f (x) = k / x para k > 0 y k < 0, como se encuentra graficado anteriormente.

Para realizar la gráfica de una función racional, se determinan las raíces o ceros del numerador y denominador, es decir, los valores de x para los cuales la función f (x) = 0 y f (x) no está definida. Luego se identifican las asíntotas verticales y horizontales.

Dada la función racional:

Las asíntotas se determinan así:

Asíntota Vertical

Si P (x) y Q (x) no tiene factores comunes, la recta x = a es una asíntota vertical de f (x), tal que Q (a) = 0 y P (a) diferente de cero. Para determinar el comportamiento de la función cerca de la asíntota, se realiza una tabla de valores para la función tomando valores cercanos a a.

Asíntota Horizontal

Una asíntota horizontal es una recta horizontal con ecuación y = b, Para obtener las asíntotas horizontales, se tiene en cuenta lo siguiente:

• Si m > n, entonces la asíntota horizontal es y = 0 o el eje x.

• Si m = n, entonces la asíntota horizontal es y = an / bn.

• Si m < n, entonces la función no tiene asíntota horizontal.

Asíntota Oblicua

Si P (x) y Q (x) no tiene factores comunes y el grado de P (x) es uno más que el grado de Q (x), se dice que la recta y = mx + b es una asíntota oblicua de f (x), la cual se obtiene al realizar el cociente entre los polinomios P (x) y Q (x).

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCIONES RADICALES

CONCEPTO

Una función radical es la que contiene raíces de variables. Algunos ejemplos de funciones radicales son:

Para determinar el dominio de una función radical, se debe tener en cuenta el índice de la raíz.

• Si el índice de la raíz es par, la función, la función no está definida para los valores de x que hacen el radicando negativo o los que generen restricciones.

• Si el índice de la raíz es impar, la función está definida para todos los números reales, excepto los valores de x que generen restricciones en el radicando.

Para realizar el bosquejo de la gráfica de una función radical se pueden seguir los siguientes pasos:

Primero, se halla el dominio de la función teniendo en cuenta las restricciones.

Segundo, se determinan los puntos de corte con los ejes coordenados.

Tercero, se determina si la función tiene asíntotas, ya que podría también ser una función racional.

Luego, se realiza una tabla de valores para puntos adecuados que permitan describir mejor la gráfica.

Finalmente, se traza el bosquejo de la gráfica de la función.

EXPLICACIÓN

Primero, como el índice es par, el radicando no debe ser negativo y además el denominador no debe ser cero; x + 3 diferente de 0 → asíntota vertical → x = -3

Luego, se resuelve la desigualdad en forma gráfica en la recta numérica, así:

x² - 2x >= 0 x (x - 2) >= 0

Dg = ]- &, 0] U [2, &[ - {-3}

Rg = R

El bosquejo es el siguiente:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCIONES ESPECIALES

CONCEPTO

Existen funciones que no se pueden representar mediante una única expresión algebraica y algunas otras que no presentan una gráfica con un trazo continuo. Tales funciones requieren un tratamiento especial, por lo cual se estudian de manera independiente. Este tipo son:

• Funciones a Trozos.

• Funciones con valor absoluto.

• Funciones con parte entera.

Funciones a Trozos

Una función formada por la unión de dos o mas funciones, cada una definida en intervalos disyuntivos, recibe el nombre de función segmentada o función a trozos.

Una función a trozos presenta diferentes expresiones algebraicas en determinados intervalos; en forma general, una función a trozos es de la siguiente forma:

La gráfica de f(x) está formada por todas las partes f(x). El dominio y el rango de f(x) es la unión de los dominios y los rangos de cada una de las partes que la forman. Por ejemplo, la función definida por:

La gráfica de la función g es la unión de cada una de las gráfica g1, g2, g3, como se muestra:

Función con valor absoluto

La función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos. Esta asigna a cada número real del dominio su valor absoluto y está definida por:

Función parte entera

La función que asigna a cada elemento del dominio el mayor entero, menor o igual que él, recibe el nombre de función parte entera. Es decir:

El dominio de la función parte entera es el conjunto de los números reales  y su rango, el conjunto de los números entero, esto es: Df = R y Rf = Z

Algebraicamente, la función parte entera es una función a trozos definida por:

La gráfica de la función parte entera es:

EXPLICACION

Ejemplo:

Expresar la función como una función definida a trozos. Graficar la función y determinar su dominio y rango: g(x) = | x | + |x + 2|

Primero. se eliminan los valores absolutos de la función; para tal fin, se usa el siguiente diagrama:

Segundo. se escribe g(x) = |x|+|x+2| como una función a trozos, así:

Luego. se grafica cada parte de acuerdo con la definición. La gráfica de la función g(x) es:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCIONES EXPONENCIALES

CONCEPTO

Una función exponencial tiene la forma:

donde x es la variable, y

Es decir, funciones donde la variable x se encuentra en el exponente , como las siguientes funciones:

La función exponencial sirve para modelar situaciones como el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, decaimiento radioactivo, carga o descarga de un capacitor, crecimiento o decaimiento de cifras económicas, entre otras.

Las principales características de la función exponencial son:

• El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el intervalo: 

• Como a° = 1, la gráfica de la función siempre pasa por (0, 1).

• Como a¹ = a, la gráfica de la función siempre pasa por el punto (1, a).

• La función tiene como asíntota al eje x.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

La gráfica de la función exponencial es una curva que se puede analizar teniendo en cuenta dos casos:

Caso 1. El valor de a es mayor que 1

• La función exponencial f(x) es creciente .

• Cuando x disminuye, el valor de f(x) tiende a cero.

• Cuando el valor de a aumenta, f(x) crece rápidamente.

Caso 2. El valor de a es mayor que 0 y menor que 1.

• La función f(x) es decreciente.

• Cuando x aumenta, el valor de f(x) tiende a cero.

• Cuando el valor de a disminuye, f(x) decrece rápidamente.

EXPLICACION

1. -Graficar en el plano cartesiano las funciones exponenciales cuando a vale: 1/2, 1/5, 2 y 5. Hacer un análisis de las gráficas observadas.

Solución:

Primero, se utiliza algún programa, como el geogebra, que permite construir cada una de las gráficas de las funciones:

Luego, se realiza el análisis de la gráficas obtenidas. Cuando 0<a<1, se observa que la función decrece, como es el caso de f(x) y g(x).

Cuando a>1, se tiene que las funciones crecen rápidamente, como es el caso de p(x) y q(x).

Para todos los casos se tiene que las funciones pasan por el punto (0, 1) y nunca tocan el eje x, es decir, tienen una asíntota en el eje x, pues a elevado a la x siempre es mayor que cero.

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCION LOGARÍTMCA

CONCEPTO

Una función logarítmica es una función de la forma:

donde x es la variable y se cumple que: 

Algunas expresiones matemáticas, como:

En términos generales, la función:

Por ejemplo, para:

Las principales características de la función logarítmica son:

• El dominio es el intervalo:

• El rango es el conjunto de los números reales.

• Como:

• Como:

• La función tiene como asíntota al eje y.

REPRESENTACION GRÁFICA DE LA FUNCION LOGARÍTMICA

Para representar gráficamente una función logarítmica se realiza el siguiente procedimiento:

Primero, se determinan los principales puntos cuando x = 1 y cuando x = a.

Segundo, se construye una tabla de valores.

Finalmente, se ubican los puntos en el plano cartesiano y se unen mediante una línea curva.

La gráfica de la función logarítmica es una curva que se puede analizar teniendo en cuenta dos casos:

Caso 1. El valor de a es mayor que 1

Se cumple:

• La función (fx) es creciente.

• Cuando x disminuye, el valor de f(x) tiende a infinito negativo.

• Cuando el valor de a disminuye, f(x) crece rápidamente, si x > 1.

En la figura 1 se observan algunas gráficas de funciones logarítmicas cunado a tiene un valor mayor que 1.

Caso 2. El valor de a es mayor que 0 y menor que 1

Se cumple:

• La función f(x) es decreciente.

• Cuando x disminuye, el valor de f(x) tiende a infinito positivo.

• Cuando el valor de a aumenta, la función f(x) decrece mas rápidamente, si x > 1.

En la figura 2 se observan algunas gráficas de funciones logarítmicas cuando a tiene un valor mayor que 0 y menor que 1.

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

CONCEPTO

Si a es un número real positivo diferente de 1 y x, y pertenece  a R+, se cumplen las siguientes propiedades:

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

CONCEPTO

Las ecuaciones pueden ser exponenciales o logarítmicas  de acuerdo con el lugar donde se encuentre la incógnita. Si la incógnita está en el exponente, se dice que es una ecuación exponencial, pero si se encuentra en un logaritmo, es logarítmica.

Ecuaciones Logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual la incógnita se encuentra en un logaritmo.

Por ejemplo, las ecuaciones log (x² + 2x) =15, ln (x / 2) = 1 o log2 (3x + 2) = 2 son logarítmicas.

Para resolver una ecuación logarítmica, se procede de la siguiente manera:

1. Se despeja el término logarítmico.

2. Se escribe la ecuación en forma exponencial.

3. Se despeja la variable.

Sistema de ecuaciones logarítmicas

Un conjunto formado por dos o mas ecuaciones logarítmicas se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas.

Para resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas, se expresa cada ecuación en forma exponencial y se aplican los métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

EXPLICACION

1. Resolver la ecuación: log (m² + 5m - 4) = 1

Solución

log (m² + 5m - 4) = 1

m² + 5m - 4 = 10¹

m² + 5m - 14 = 0

(m + 7)(m - 2) = 0

m1 = - 7  o  m2 = 2

2. Resolver la ecuación: log x + log (x + 9) = 1

Solución

log x + log (x + 9) = 1

log x (x + 9) = 1

log (x² + 9x ) = 1

x² + 9x = 10¹

x² + 9x - 10 = 0

(x - 1) (x + 10) = 0

x1 = 1   o   x2 = - 10 → La solución x2 = -10 se descarta , ya que log ( -10 ) no está definido.

3. Resolver el sistema de ecuaciones comprobando que las ecuaciones se cumplen en las ecuaciones originales.

* log x + log y = 3 →  x . y = 10³ → y = 1000 / x → se sustituye en x / y = 10

* log x - log y = 1 → x / y = 10¹ → x / ( 1000 / x ) = 10

quedando:

x² / 1000 = 10 → x² = 10000 → x = 100 → Se sustituye en y = 1000 / x = 1000 / 100

entonces y = 10

Por lo tanto, x = 100 ; y = 10

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIONES EXPONENCIALES

CONCEPTO

Una ecuación exponencial es aquella en la cual la incógnita se encuentra en el exponente.

Por ejemplo: 24x + 3 = 512 ; 10 = 250e-0,00025t

Para resolver una ecuación exponencial, se deben tener en cuenta los siguientes casos en donde se aplican las diferentes propiedades de los logar-

Propiedades:

Caso1. La ecuación se puede plantear como una igualdad entre potencias de la misma base.

Se aplica la siguiente propiedad de la potenciación.

Si ay = ax con a>0 y a diferente 1, entonces x = y

Caso 2. La ecuación incluye potencias de diferente base.

Se aplica la siguiente propiedad de los logaritmos.

Sean x, y pertenece a R+, b>0, b diferente 1

Si x = y, entonces, log x = log y

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SUCESIONES 

CONCEPTO

Toda función cuyo dominio sea el conjunto de los enteros positivos es llamada una sucesión.

El estudio de las sucesiones se aplica en el análisis de patrones Por ejemplo, en las cataratas, sucede un fenómeno en el que la irregularidad producida por el terreno, en combinación con la gravedad, genera patrones durante la caída del agua. También se observan patrones en el crecimiento natural de las hojas de los helechos.

Para designar una sucesión, se usa la expresión { an} y se emplean subíndices para especificar sus términos. Por ejemplo, en la sucesión { an } = { 3 elevado a n}:

Los subíndices señalan el lugar que ocupa cada número o término de la sucesión. Así, el primer término es a1 = 3 elevado a 1 = 3; el segundo es a2 = 3 elevado a 2 = 3 y así sucesivamente.

El n - ésimo término es an, al que se denomina término general de la sucesión.

Por tanto, la sucesión definida por an  = 3 elevado a n corresponde a:

3, 9, 27, 81, 243 ......... 3n

↑ ↑ ↑

a1     a4       an

1er Término 4to Término   n - ésimo Término

Para encontrar un término específico de la sucesión, se reemplaza el valor de n (ubicación o lugar) en la fórmula del término general y así se encuentra el valor en la posición indicada.

Sucesiones recursivas

Una sucesión es recursiva o recurrente cuando cada término se puede expresar utilizando algunos o todos los términos que lo anteceden. Por tanto, para definir una sucesión recursiva es necesario dar a conocer uno o mas de los primeros términos.

EXPLICACION

1. La sucesión de Fibonacci se utiliza para explicar crecimientos de objetos de la naturaleza. Además, es una sucesión recursiva, que se define como: a1 = 1, a2 = 1 y cada término, a partir del tercero, corresponde a la suma de los dos términos anteriores. ¿Cuáles son los siete primeros términos de la sucesión y como se define el término genera?

Primero, los primeros siete términos son:

a1 = 1       a2 = 1

a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2

a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5

a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8

a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13

Luego, como cada término a partir del tercero es igual a la suma de los dos términos anteriores, entonces, se tiene:

an = an-2 + an-1 donde n >= 3

Por tanto, los siete primeros términos de la sucesión de Fibonacci son 1, 1, 2, 3, 5, 8 y 13 y el término general de la sucesión es:

an = an-2 + an-1 donde n >= 3

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SUCESIONES ARITMETICAS

CONCEPTO

Una sucesión aritmética, también conocida como progresión aritmética, es aquella en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de sumar al término anterior un número fijo d llamado diferencia de la sucesión.

La cantidad constante que se suma recibe el nombre de diferencia, por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera de la sucesión y su antecesor.

La expresión recursiva para el término general de una sucesión aritmética es: an = an-1 + d

Término general de una sucesión aritmética

En general, dada una progresión aritmética a1, a2, a3, a4, a5, ......, el término general o término n-ésimo está dado por la fórmula an = a1 + (n - 1)d

Serie aritmética

A la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética se la llama serie aritmética y se simboliza Sn.

La suma de los primeros n-términos de una sucesión aritmética esta dada por:

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + .....an = (a1 + an).n / 2

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SUCESIONES GEOMETRICAS

CONCEPTO

Una sucesión geométrica, también conocida como progresión geométrica, es una sucesión en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de multiplicar al término anterior un número fijo r llamado razón de la sucesión.

El número constante que se multiplica recibe el nombre de razón, por ser igual a la razón entre un término cualquiera de la sucesión y su término inmediatamente anterior.

La expresión recursiva para el término general  de una sucesión geométrica es: an = r. an-1

Término general de una sucesión geométrica

Dada una progresión geométrica a1, a2, a3, a4, ........, el término general o término n-ésimo está dado por la fórmula:  

Serie geométrica

A la suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica se la llama serie geométrica y se simboliza como Sn.

Para hallar la suma de los n términos de una progresión geométrica se utiliza la siguiente fórmula:

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

MATRICES

CONCEPTO

Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m x n números reales, símbolos o expresiones ordenados en m filas y n columnas.

Para ubicar cada elemento de una matriz, se indica el número de la fila en la cual se halla y el número de columna. La componente de la matriz A que se encuentra en la fila i y la columna j se denomina componente ij y se simboliza aij. La dimensión de una matriz de m filas y n columnas es m x n.

Ejemplo: Determinar el orden de esta matriz e identificar los elementos a23 y a32.

Se observan la fila y la columna que indican los subíndices.

a23 = -1 → 2da fila, 3ra columna a32 = 0 → 3ra fila, 2da columna

Clasificación de la matrices según su dimensión

Matrices iguales

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y además, los elementos coinciden término a término. Si A y B son iguales, entonces aij = bij, para cualquier valor de i, j.

a11 a12 b11 b12

A = a21 a22 es igual a B = b21 b22

a31 a32 b31 b32

Matriz Fila

Es una matriz que tiene una sola fila y n columnas. Su dimensión es 1 x n.

A = (a11 a12 .......a1n)

Matriz Columna

Es una matriz con m filas y una sola columna. Su dimensión es m x 1.

a11

A = a12

.....

am1

Matriz Nula o matriz Cero

Es una matriz en la que todos sus elementos son ceros. Se representa por 0.

0 0 ..... 0

0 = 0 0 ..... 0

... ... .... ...

0 0 ... 0

Matriz cuadrada

Es la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, es decir, esta formada por n filas y n columnas. Si su dimensión es n x n, diremos que su orden es n.

a11 a12 ... a1n

A  = a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

Matriz Rectangular

Es la matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, es decir, no es cuadrada.

a11 a12 ... a1n

A  = a21 a22 ... a2n m es diferente a n

... ... ... ...

am1 am2 ... amn

Matriz Inversa Aditiva

Es aquella en la que los elementos de la matriz cambian su signo.

Para una matriz Aij = (aij) mxn la negativa o inversa aditiva es  - Aij = (-aij) mxn.

Tipos de Matrices Cuadradas

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

OPERACIONES CON MATRICES

CONCEPTOS

Adición y sustracción de matrices

Si A y B son matrices de las mismas dimensiones, podemos obtener la suma o diferencia de ellas adicionando o sustrayendo los elementos correspondientes. La suma o diferencia de dos matrices se puede expresar como:

A + B = C, siendo cij = aij + bij o A - B = C, siendo cij = aij - bij

Propiedades de la suma de matrices

Como la suma de matrices se realiza elemento a elemento, cumple propiedades análogas a las de la suma de números reales.

Producto de una matriz fila por un escalar

Si A = (aij) es una matriz m x n y k es un número real llamado escalar, definimos la multiplicación kA como la matriz m x n cuyos elementos son de la forma (kaij), es decir, kA se obtiene multiplicando todas y cada una de las componentes aij por el número real k.

El producto de una matriz por un número se expresa: k . A = C, siendo cij = k . aij

Propiedades

Si A y B son matrices de dimensiones m x n, y a y b son escalares, se cumple las siguientes propiedades:

Producto de una matriz fila por una columna

El producto de una matriz fila, de dimensión 1 x n, por una matriz columna, de dimensión n x 1, es un número que se obtiene al multiplicar sus elementos término a término, y sumar los resultados.

b11

(a11 a12 ....... a1n) X b12 = (a11.b11 + a12.b12 + ........ + a1n.bn1)

...

bn1

Producto de dos matrices

Si A es una matriz de dimensión m x p y B una matriz de dimensión p x n, la matriz producto A.B es la matriz m x n cuyas entradas cij se obtienen de efectuar el producto punto entre la fila i - ésima de la matriz A y la columna j - ésima de la matriz B.

A . B = C, siendo cij = ai1.b1j + ai2.b2j + .........ain.bnj

Debes tener en cuenta que para multiplicar la matriz A por la matriz B es necesario que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

Propiedades

Si las dimensiones de las matrices A, B y C son tales que nos permiten realizar sus productos, se cumplen estas propiedades:

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará un video ilustrativo del tema como material de apoyo, donde el estudiante de 2do de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

MATRIZ INVERSA 2 X 2

CONCEPTO

La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz A-¹ del mismo orden que cumple:

Las matrices que tienen matriz inversa se llaman matrices regulares o invertibles y las que la tienen, matrices singulares.

Propiedades

MATRIZ INVERSA 3 x 3 - Método de Gauss - Jordan

El método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa 3 x 3 consiste en convertir la matriz inicial en la matriz identidad a través de operaciones elementales entre filas. Aplicando las mismas transformaciones a la matriz identidad, se obtiene la matriz inversa. Este procedimiento tambien se puede aplicar en matrices 2 X 2.

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

DETERMINANTES

CONCEPTO

Dada una matriz cuadrada A, de orden n, el determinante de A, |A|, es un número que se obtiene al sumar todos los posibles productos de n elementos, uno de cada fila y uno de cada columna, la mitad de ellos con su signo y la otra mitad con su signo contrario.

Para aprender a calcular determinantes, comenzaremos con los mas sencillos, que son los determinantes de las matrices cuadradas de orden 2 y las matrices cuadradas de orden 3.

Determinantes de orden 2 y 3

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

REGLA DE CRAMER

CONCEPTO

Podemos utilizar los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales cuadrados (igual número de ecuaciones que de incógnitas), donde la matriz de los coeficientes tiene el determinante diferente de 0.

Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

Siendo Axi la matriz que resulta de suscribir en la matriz A la columna de los coeficientes de xi por la columna de los términos independientes.

Si |A| = 0, el sistema no tiene solución o tiene infinito número de soluciones.

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

CONCEPTOS

IDEA INTUITIVA DE LÍMITE

Encontrar el límite de una función f significa hallar el valor al cual se aproxima f (x) cuando x tiende a tomar un valor determinado.

La función f (x) tiende hacia el límite L cuando x tiende hacia a; es posible hacer que f (x) se aproxime tanto a L como se quiera, siempre y cuando x esté lo suficientemente cerca de a, sin tomar el valor de a. Esto se expresa como:

CALCULO DE LÍMITES

Existen ciertas propiedades que permiten calcular el límite de una función sin necesidad de utilizar tablas de valores o gráficas.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Dadas dos funciones f (x) y g (x) tales que lim f (x) y lim g (x) existen cuando x→a y son iguales a L y M, respectivamente, se cumple las propiedades mostradas en la siguiente tabla, en las que k es un valor real constante.

Por ejemplo, para hallar el limite de:

= (- 1)² + 2(- 1) - 8 = 1 - 2 -8 = - 9, Por lo tanto:

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS

LÍMITES DE FUNCIONES INDETERMINADAS

CONCEPTOS

En algunas situaciones, al aplicar el principio de sustitución para calcular el límite de una función en un punto dado, pueden resultar expresiones de la forma:

LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES

En el caso de las funciones racionales, la indeterminación se evita factorizando el numerador y el denominador, si es posible, y simplificando. Una vez que se haya eliminado la indeterminación, se aplican las propiedades para hallar el límite.

LÍMITE DE FUNCIONES RADICALES

Si f (x) o g (x) son funciones radicales y lim f (x) / g (x) cuando x→0, y tiene la indeterminación 0 / 0, entonces es posible eliminar la indeterminación racionalizando el numerador o el denominador o ambos y después simplificar la expresión resultante.

Es importante recordar que para racionalizar una expresión cuyo numerador o denominador son binomios con radicales de índice 2, o índice 3, se debe multiplicar por el conjugado. Por ejemplo, el conjugado de:

LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Los límites de las funciones trigonométricas se calculan mediante sustitución directa, siempre y cuando la función esté definida para el valor donde se quiere encontrar el límite. Así:

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES

Para algunos límites de funciones trigonométricas que conducen a la forma indeterminada 0 / 0 se tienen en cuenta los siguientes casos:

EXPLICACION

1. El volumen de objeto con forma de un paralelepípedo varía en función del tiempo t en minutos. La expresión para el volumen del objeto en el instante t es V (t) = t³ + 2t²- t - 2. Además, la altura del paralelepípedo está dada por la función h (t) = t - 1. ¿A qué valor se aproxima el área de la base A (t) del paralelepípedo cuando el tiempo tiende a un minuto?

VIDEO EXPLICATIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS

LÍMITES INFINITOS

CONCEPTOS

Para expresar que el límite de una función f (x) crece sin cota cuando x tiende a a, o decrece sin cota cuando x tiende a a, se escribe de la siguiente manera:

LÍMITES EN EL INFINITO

Cuando la variable x crece o decrece sin cota y la función f (x) se aproxima a valores L y M, respectivamente, entonces, se presentan los siguientes límites:

Estos se conocen como límites en el infinito. En ellos las expresiones x→& o x→& no quiere decir que la variable tome un valor específico que sea muy grande o muy pequeño, sino que la variable se hace cada vez mas grande o mas pequeña sin cota alguna.

Para calcular límites en el infinito se tienen en cuenta los siguientes casos:

LÍMITE EN EL INFINITO DE UNA FUNCION RACIONAL

En algunos límites de funciones racionales, se presenta la indeterminación & / &, cuando la variable x crece o decrece sin cota.

Para determinar el límite de estas funciones, se dividen el numerador y el denominador de la función racional entre la potencia de mayor grado; de esta forma, se puede identificar alguno de los siguientes casos:

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

EJERCICIOS PROPUESTOS

TASA DE VARIACION DE UNA FUNCIÓN

CONCEPTO

La derivada de una función se relaciona con dos problemas clásicos que conllevan al mismo significado matemático: uno tiene que ver con la pendiente de la recta tangente, el cual se remonta a la época de Arquímedes, y el otro involucra el cálculo de la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, expuesto por Kepler, Galileo y Newton. En el caso de la recta tangente a una circunferencia, se tiene en cuenta que una recta tangente corta la circunferencia en un solo punto. Sin embargo, para curvas mas complejas, esta interpretación no es pertinente, ya que en algunos casos la recta tangente corta a la curva en mas de un punto, o en otros no habría rectas tangentes, como se muestra en las siguientes figuras:

El problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce a determinar su pendiente en ese punto. En este caso, se aproxima la pendiente de la recta tangente por medio de la recta secante que pasa por el punto P y por otro punto cercano de la curva, como se muestra en la figura.

Para el cálculo de la velocidad de un cuerpo en movimiento, se analiza el hecho descubierto por Galileo. Este propone que la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre sin la resistencia de aire está dada por la expresión h (t) = 4,9t², donde t se mide en segundos.

En este caso, la dificultad se presenta al calcular la velocidad instantánea del cuerpo al cabo de un tiempo determinado. Para tal fin , se aproxima esta velocidad por medio de la velocidad promedio, la cual se define como la razón de cambio de la variación de la distancia recorrida en el intervalo de tiempo transcurrido.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

La tasa de variación media o cociente incremental  de una función f en el intervalo [a, b] es el cociente de:

Geométricamente, la tasa de variación media de una función f definida en un intervalo [a, b] equivale a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función f en los puntos (a, f(a)), (b, f(b)) como se muestra en la figura:

En particular, si s (t) representa el desplazamiento de una partícula a los t segundos, la velocidad media de la partícula en el intervalo de tiempo [t1, t2] se define como el cociente: