SISTEMA DE NUMERACION

EXPLICACION

CONVERSION DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA

De base 10 a base n.- Para convertir un numero que esta en base 10 a otra base n cualquiera, se efectúan divisiones sucesivas entre n hasta obtener un cociente menor que n. Ejemplo: Convertir el número 65 que está en base 10 a base 2 o binario.

De base n a base 10.- Para convertir un número que está en base n cualquiera a otro en base 10, se descompone polinomicamente y se resuelven las operaciones. 

De base n a base m.- Para convertir un número que está en base n a otro en base m, primero se convierte el número en base n a base 10; luego, el número que está en base 10 se expresa en base m, aplicando los casos anteriores.

EJERCICIOS PROPUESTOS

POTENCIAS  Y RADICALES

POTENCIAS

CONCEPTO

RADICALES

CONCEPTO

EXPLICACION

EJERCICIOS PROPUESTOS

DIVISION DE POLINOMIOS

METODO DE RUFFINI

CONCEPTO

El proceso conocido como división sintética o división por la regla de Ruffini se utiliza cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma (x + a) o (x - a)

EXPLICACION

Primero, se ordena y se completa el polinomio dividendo. Se ubican sus coeficientes y el opuesto del término independiente del divisor según el esquema de Ruffini.

Segundo, se baja directamente el primer coeficiente del dividendo ( -2 ) y se lo multiplica  por ( -3 ).

Luego, se escribe el resultado ( 6 ) en la segunda columna  y se suma con el segundo coeficiente del dividendo ( 0 + 6 = 6)

Finalmente, con el segundo coeficiente del cociente ( 6 ) se repite el proceso; como indica el gráfico:

VIDEO EXPLICATIVO

A continuación se encontrará dos videos ilustrativos del tema, donde el estudiante de 1ero de bachillerato reforzará los conocimientos adquiridos en clases; con esto adquirirá solidez en sus conocimientos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

TEOREMA DEL RESIDUO

CONCEPTO

Establece que si un polinomio P(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real, entonces el residuo es P(a). Este teorema permite encontrar de forma mas rápido el residuo de una división entre polinomios, si el residuo es cero, se tiene ya uno de los factores del polinomio.

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

METODO DE HORNER

CONCEPTO

Es un caso particular del método de división por coeficientes separados, y se emplea para la división de polinomios de cualquier grado, es decir, el grado del divisor es igual o mayor que 2.

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIONES

CONCEPTO

Una identidad es una igualdad que incluye variables y se cumple para cualquier valor de dichas variables. Ejemplo: 3x + x = 4x, se cumple para cualquier valor de x.

Una ecuación es una igualdad que incluye variables y se cumple solo para valores específicos de las variables. Ejemplo: 10 + 2x = 16, es una ecuación porque se cumple solo para x = 3.

Elementos de una ecuación:

• Miembros.- son las expresiones que hay a cada lado de la igualdad. A la expresión que se encuentra al lado izquierdo de la igualdad se le llama primer miembro y a la expresión que se encuentra al lado derecho se le llama segundo miembro.

• Incógnita.- es el valor desconocido o variable.

• Términos.- son los sumandos que se presentan en cada miembro de la ecuación. A los términos que no tienen variables se les denomina términos independientes.

• Grado.- es el mayor exponente de la variable o las variables que tiene la ecuación.

Propiedad fundamental de las igualdades

Si a los dos miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica o divide entre una expresión algebraica o numérica, la igualdad se mantiene.

a + c = b + c a - c = b - c a.c = b.c a / c = b / c

Solución de problemas

1.- Comprender el enunciado.- Se identifican los datos y la incógnita .

2.- Plantear la ecuación.- Se relacionan los datos con la incógnita.

3.- Resolver la ecuación.- Se obtiene el valor numérico para la incógnita, aplicando la propiedad fundamental.

4.- Comprobar la solución.- Se verifica que la solución satisfaga las condiciones del problema.

EXPLICACION

Resolver el siguiente ejercicio:

Hace 10 años, la edad de una padre era el triple de la edad del hijo. Dentro de 10 años, la edad del padre será los 5/3 de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual del padre?

Primero, se elabora una tabla y se ubican los datos.

Luego, se plantea la ecuación sabiendo que dentro de 10 años, la edad del padre será los 5/3 de la edad del hijo:

3x + 20 = 5/3 (x + 20)

Se resuelve:

9x + 60 = 5x + 100  → 4x = 40 → x = 10

Después, se calcula la edad del padre:

(3x + 10) → 3(10) + 10 = 40 años

La edad actual del padre es 40 años

Finalmente, se comprueba: hace 10 años la edad del padre era 3(10) = 30 y la del hijo, 10.

Se verifica que la edad del padre era el triple de la edad del hijo.

EJERCICIOS PROPUESTOS

FÓRMULAS

CONCEPTO

Las fórmulas son expresiones algebraicas que relacionan magnitudes (dadas mediante variables), que intervienen en una ley o principio.

La variable que se utiliza para nombrar una magnitud es generalmente la letra inicial de su nombre. Por ejemplo, el área se simboliza  por A, el tiempo por t, la distancia por d y el perímetro por P.

Despejar una variable significa expresarla en términos de las otras variables.

EXPLICACION

Una fórmula comúnmente utilizada en física es la que estudia la velocidad de un cuerpo y se define como la relación entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, esta se expresa mediante la ecuación:  v = d / t.

De aquí se puede despejar la distancia en términos de la velocidad y el tiempo, quedando así: d = v . t, o también se puede despejar el tiempo en términos de la distancia y la velocidad, así: t = d / v.

Para despejar la variable requerida en una fórmula, se realizan los mismos procedimientos para resolver una ecuación y la propiedad fundamental de las igualdades.

EJERCICIOS PROPUESTOS

INTERVALOS

CONCEPTO

Un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales, cuyos elementos están comprendidos entre dos extremos que pueden estar o no incluidos.

EXPLICACION

EJERCICIOS PROPUESTOS

INECUACIONES

RESOLUCION DE INECUACIONES

CONCEPTO

Resolver inecuaciones consiste en ir transformándolas en otras inecuaciones equivalentes mas sencillas, hasta determinar el conjunto solución.

EXPLICACION

Los pasos para resolver una inecuación son los mismos de una ecuación.

• Eliminar denominador (si los hay) multiplicando la inecuación por el MCM.

• Eliminar paréntesis (si los hay).

• Transponer y reducir términos semejantes.

• Despejar la incógnita y hallar el conjunto solución realizando la gráfica en la recta numérica con intervalos.

• Comprobar la inecuación dando valores a la variable dentro del intervalo solución.

Cuando existen problemas donde el enunciado es textual y se establecen relaciones de desigualdad entre sus datos, se resuelven utilizando inecuaciones. Estas se resuelven  aplicando las propiedades de las desigualdades hasta determinar el conjunto de valores que cumplen con todas condiciones planteadas. Se traduce el enunciado verbal al lenguaje algebraico, por ejemplo:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

VALOR ABSOLUTO

CONCEPTO

El valor absoluto de una número a se define como la distancia que hay entre cero y a en la recta numérica. Se simboliza como |a| y cumple con:

Si a, b son números reales, entonces el valor absoluto cumple las siguientes propiedades: 

Ecuaciones con valor absoluto

Una ecuación con valor absoluto es una expresión de la forma |ax + b|= c con c >= 0.

Para resolver ecuaciones con valor absoluto se deben tener en cuenta las siguientes propiedades en las que a es un número real tal que a>=0.

7. |x|= a si y solo si x = a v x = -a

8. |x|= |b| si y solo si x = b v -x = -b

EXPLICACION

1. Resolver la siguiente ecuación con valor absoluto: |12 - 5x| = 8

Primero, para resolver la ecuación se aplica la propiedad 7.

12 - 5x = 8  v  12 - 5x = -8

Segundo, se resta 12.

-5x = -4  v  -5x = -20

Tercero, se divide entre 5.

x = 4/5  v  x = 4

Finalmente, el conjunto solución es { 4/5, 4}

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCION

CONCEPTO

Una función es una relación entre dos conjuntos X y Y, en la que a todo elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del conjunto Y.

Así, una función definida del conjunto X en el conjunto Y se simboliza  f: X → Y, donde X se denomina conjunto de partida y Y, conjunto de llegada.

Los elementos de una función son:

Dominio: es el conjunto de partida de la función, se escribe Df.

Codominio: es el conjunto de llegada de la función, se escribe Cod f.

Rango: es el conjunto formado por los elementos del codominio que son imagen de los elementos del dominio, se escribe Rf.

En algunas situaciones el codominio de la función coincide con su rango.

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar mediante diagrama sagital, tabla de valores, expresión algebraica o gráficamente.

La función que asigna a cada número natural su triple tiene como expresión algebraica f(x) = 3x.

Variables dependientes e independientes

Cuando se establece una función entre dos magnitudes, se puede observar que una de ellas depende de los valores que se le asignan a la otra. Así, en una función existe dos tipos de variables: la variable dependiente y la variable independiente.

Por ejemplo, en la función C(x) = 170x, donde C(x) es el costo de producción de x artículos, se tiene que x es la variable independiente y C(x) la variable dependiente, ya que el costo depende de la cantidad de artículos que se produzcan.

Gráficamente se puede identificar si una relación es función, si al trazar cualquier recta vertical solo interseca a la gráfica en un único punto.

EXPLICACION

1.- En un rectángulo la medida del largo es el doble de la medida del ancho. Expresar el perímetro del rectángulo en función de la medida de su ancho.

Solución:

Si se representa con x la medida del ancho, entonces, la medida del largo es 2x. Como el perímetro es igual a la suma de los cuatro lados, la expresión P(x) = 6x representa el perímetro en función de su ancho. En este caso, la medida del ancho es la variable independiente y el perímetro es la variable dependiente. 

2.- En medicina está estandarizado que aproximadamente 20 gotas de una sustancia forman un mililitro de esta.

Solución:

Como la cantidad de mililitros depende de la cantidad de gotas que se suministren, entonces, la variable dependiente en este caso es el número de mililitros y la variable independiente es la cantidad de gotas.

A continuación se elabora una tabla de valores que muestra la relación entre ambas variables.

En la gráfica se muestran algunos de los valores de la tabla. Debido a que se involucran cantidades, los valores son mayores o iguales a cero. Además, se puede observar que los puntos son colineales, es decir, que se encuentran en la misma recta.

La expresión algebraica que representa la función es: M(x) = x/20 donde M(x) es la cantidad de mililitros que se forman con x cantidades de gotas.

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCION LINEAL  Y FUNCION AFIN

CONCEPTO

Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx, donde m es un número real.

Una función afín es una función es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m y b son números reales diferentes a cero.

EXPLICACION

Por ejemplo, la función f(x) = 2x es una función lineal y la función g(x) = -2x + 1 es una función afín. Gráficamente la función lineal y la función afín se diferencian en que la función lineal pasa por el punto de origen (0, 0), mientras que la función afín no pasa por ese punto, como se muestra en las siguientes gráficas:

Ejercicio resuelto:

Establecer la expresión algebraica que corresponde a la función que se representa en la siguiente tabla de valores. Luego, clasificar la función y realizar la gráfica.

En la tabla se puede observar que para obtener cada valor de f(x) se debe dividir entre 5 cada valor de x. Por esto, la expresión algebraica que representa la función es f(x) = x / 5. Al ubicar los puntos en el plano se puede verificar que la función es lineal, puesto que la recta que representa pasa por el punto (0, 0).

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

LA RECTA - PENDIENTE

CONCEPTO

La pendiente de una recta es la razón entre la variación vertical y la variación horizontal entre cualquier par de puntos de la recta. La pendiente determina el grado de inclinación de la recta .

Si P1 es un punto de coordenadas (X1, Y1) y P2 es un punto de coordenadas (X2, Y2), se define la pendiente de una recta como: 

Clasificación de las rectas según su pendiente

Las rectas se clasifican en crecientes, decrecientes, horizontales y verticales de acuerdo con su pendiente m.

EXPLICACION

Ejercicios resueltos:

1.- Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (1, 0).

Si se establece que P1 (-2, 3) y P2 (1, 0), entonces se tiene que:

2.- La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura de una ciudad a cada hora en punto, durante un día.

Los intervalos en los que la temperatura es creciente corresponden a los segmentos cuya pendiente es positiva , esto ocurre en el intervalo (4, 14).

Así mismo, la temperatura es decreciente cuando la pendiente es negativa, esto ocurre en los intervalos (0, 4), (14, 16) y (18, 22). Además la temperatura se mantiene constante solo en el intervalo (16, 18).

En el intervalo [4, 8] hay dos segmentos: un segmento AB en donde A (4, -4) y B (6, 0); y un segmento BN en donde  N (8, 6).

Luego las pendientes m1 y m2 de los segmentos AB y BN son respectivamente:

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA LA PENDIENTE Y EL INTERCEPTO CON EL EJE Y

CONCEPTO

La ecuación explícita de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y.

EXPLICACION

Así, la ecuación de una recta de pendiente m = -3 y punto de corte (0, 4) con el eje y es y = -3x + 4.

En algunos casos resulta útil llevar a cabo los siguientes pasos para trazar la gráfica de una recta a partir de su ecuación explícita.

Primero, se ubica el intercepto con el eje y. En el caso de la ecuación y = -3x +4 es P(0, 4), como se muestra en la gráfica.

Luego, se expresa la pendiente de la forma m = &y / &x, donde &y es la variación vertical y &x la variación horizontal. Así, m = -3, se expresa de la forma m = -3/1, donde &y = -3 y &x = 1

Finalmente, se determina el punto Q(1, 1), con los cual la recta PQ es la gráfica y = -3x + 4.

ECUACION DE LA RECTA DADOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE

CONCEPTO

La ecuación punto - pendiente de la recta se puede obtener a partir de la expresión para calcular la pendiente. Si se conoce solo un punto P(x1, y1) de la recta, entonces se tiene que: m = (y - y1) / (x - x1), que al multiplicar x - x1 se convierte en m (x -x1) = y - y1.

La ecuación punto - pendiente de la recta es:  y - y1 = m(x - x1); donde m es la pendiente y P(x1, y1) es uno de sus puntos.

EXPLICACION

1.- Hallar el intercepto con el eje y de la recta cuya pendiente es - 1/2 y que pasa por el punto (3, -2).

Se puede aplicar la forma general de la ecuación explícita de una recta como se muestra:

y = mx + b

-2 = -1/2 (3) + b

b = -1/2

Por tanto, la recta interseca el eje y en el punto (0, -1/2).

Y en este caso, la ecuación explícita de la recta es:  y = (-1/2)x - 1/2

ECUACION DE LA RECTA DADOS DOS PUNTOS

EXPLICACION

Para hallar la ecuación de una recta recta cuando se conoce dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), primero se calcula la pendiente y luego se reemplaza la pendiente hallada y las coordenadas de un punto en la ecuación punto-pendiente de la recta.

1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 4) y (0, 2).

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

m = (4 - 2) / (1 - 0) →  m = 2

y - y1 = m(x - x1)

y - 2 = 2(x - 0) → y = 2x + 2

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 4) y (0, 2) es y = 2x +2

2.- Según un estudio una persona de 72 kg puede quemar 149 calorías si corre 2 km y 370 calorías si corre 5 km, siempre que se mantenga una velocidad constante.

• Determinar cuántas calorías por kilómetro quema una persona con esa masa corporal.

• Hallar la ecuación explícita que relaciona la cantidad y de calorías en función de la distancia x que recorre la persona.

Solución:

Para calcular la cantidad de calorías por kilómetro que quema una persona de 72 kg, se halla la pendiente entre los puntos (2, 149) y (5, 370).

m = (370 - 149) / (5 - 2) = 221 / 3 = 73,67

Por tanto, una persona con esa masa corporal puede quemar 73,67 calorías por cada kilómetro que corra.

Luego, para representar la función se puede aplicar la ecuación punto - pendiente de la recta. Si se toma el punto P(2, 149) y m = 73,67 se tiene que:

y - 149 = 73,67(x -2)

y - 149 = 73,67x - 147,34

y = 73,67x + 1,66

Por tanto, la ecuación explícita que relaciona la cantidad de calorías en función de la distancia es:

y = 73,67x + 1,66

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACION GENERAL DE LA RECTA

CONCEPTO

La ecuación general de la recta es de la forma:  Ax + By + C = 0 ; donde A, B y C son números reales.

Por ejemplo, si la ecuación punto-pendiente de una recta es  y - 1 = 5(x + 2), entonces su ecuación explícita es  y = 5x + 11 y su ecuación general es  5x - y + 11 = 0; donde A = 5, B = -1 y C = 11.

EXPLICACION

1.- Probar que si Ax + By + C = 0 es la ecuación general de la recta, entonces su pendiente m es - A/B.

Se realizan los siguientes pasos:

Ax + By + C = 0

By = - Ax - C

y = (- A/B)x - C/B

La ecuación resultante es de la forma y = mx + b, con m = - A/B y b = - C/B

2.- Hallar la ecuación general de la recta que pasa por P(1/2, -1) y tiene pendiente 2.

y - y1 = m(x - x1)

y - (-1) = 2(x - 1/2)

y +1 = 2x - 1

-2x + y + 1 + 1 = 0

-2x + y + 2 = 0

Por tanto, la ecuación general de la recta  es  -2x + y + 2 = 0

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

CONCEPTO

En el plano, dos rectas pueden ser secantes, paralelas o perpendiculares. Dos rectas son secantes cuando se cortan en único punto. Las rectas paralelas y perpendiculares se pueden caracterizar a partir de sus pendientes.

Cuando dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales: m1 = m2

Cuando dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a: m1.m2 = -1

Por ejemplo, las rectas y = 4x y y = 4x - 1 son paralelas porque en ambas ecuaciones la pendiente es:

m = 4. En cambio las rectas y = 2x y y = (-1/2)x son perpendiculares porque el producto 2.(-1/2) es igual a -1.

EXPLICACION

1.- El precio mensual en dos academias de baile A y B es de $ 85. Sin embargo, en la academia B cobran $ 35 adicionales por servicios de hidratación y uso del gimnasio. ¿Cuáles son las ecuaciones que representan la relación entre el tiempo t en meses y el costo C? ¿ Qué representa el valor de la pendiente en estas ecuaciones?

Solución:

Las expresiones que representan la relación entre el tiempo y el costo en las academias A y Bson respectivamente:

C(t) = 85t

C(t) = 85t + 35

En este caso, ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, y esta representa el precio fijo mensual de las ecuaciones.

2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1, 3) y es paralela a y = -2x + 5

Solución:

Como la recta debe ser paralela a la recta y = -2x + 5, entonces debe tener la misma pendiente, es decir, m = 2.

Luego, como la recta pasa por P(-1, 3), entonces se aplica la ecuación punto-pendiente de la siguiente forma:

y - y1 = m(x - x1)

y - 3 = -2(x + 1)

y - 3 = -2x - 2

y = -2x +1

Por tanto, la recta y = -2x + 1 es paralela a y  = -2x + 5 y pasa por (-1, 3) como se muestra en la gráfica:

3.- Determinar la ecuación de la recta que es perpendicular a 3x + 6y - 12 = 0 y tiene intercepto con el eje y en b = 4.

Solución:

Primero, se halla la pendiente de la recta dada 3x + 6y - 12 = 0. Cómo en la ecuación general de la recta 

Ax + By + C = 0 la pendiente está dada por la expresión m = - A/B, entonces la pendiente de la recta m1 = - 3/6 = - 1/2.

Luego, se tiene que las rectas son perpendiculares, por lo cual el producto de sus pendientes es igual a -1, de donde se deduce que:

m1.m2 = - 1

(-1/2).m2 = -1

m2 = (-1) / (- 1/2) = 2

Así, la pendiente de la recta es m2 = 2, y como su intercepto con el eje y es b = 4, entonces la ecuación explícita  de la recta es y = 2x +4.

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 2X2

CONCEPTO

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o mas ecuaciones lineales con varias incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma:

El conjunto solución es el par de valores (x, y) que satisface simultáneamente las dos ecuaciones.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas o 2X2, se tiene el método gráfico y los métodos algebraicos.

Método Gráfico

Para resolver un sistema de ecuaciones 2X2 por el método gráfico se representan en el plano las dos rectas correspondiente.

El punto de corte entre las dos rectas indica la solución del sistema.

Los tres casos se corresponden con las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano:

Método de Reducción

Es necesario amplificar convenientemente una de las dos ecuaciones, de modo que los coeficientes en una de las variables sean opuestos. Al sumar las ecuaciones transformadas, la variable se elimina y es posible despejar la otra.

EXPLICACION

Método de Sustitución

Es el método indicado cuando es fácil despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra.

EXPLICACION

Ejemplo: La suma de dos números es el doble de su diferencia. El número mas grande es 6 unidades mayor que el doble del mas pequeño. Hallr los números.

Primero, se designa los datos e incógnitas del problema.

x: número mayor; y: número menor

Segundo, se plantean las ecuaciones y se numeran.

x + y = 2(x - y) → 1

x = 6 + 2y → 2

Tercero, se reemplaza la ecuación 2 en la ecuación 1:

(6 + 2y) + y = 2(6 + 2y - y)

6 + 3y = 2(6 + y)

6 + 3y = 12 + 2y se resuelven las operaciones

3y -2y = 12 - 6 → y = 6

Luego, se reemplaza y = 6 en la ecuación 2

x = 6 + 2y → x = 6 + 2(6) = 18 → x = 18

Finalmente, se comprueban las soluciones. Para ello, se reemplazan los valores hallados en cada ecuación:

x + y = 2(x - y)     ec 1 → 18 + 6 = 2(18 - 6) → 24 = 2(12) → 24 = 24

x = 6 + 2y ec 2 →18 = 6 + 2(6) → 18 = 6 + 12 → 18 = 18

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS 3X3

CONCEPTO

Tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas forman un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas 3X3.

Método de Reducción

Este método consiste en hacer opuestos los coeficientes de una incógnita en dos pares de ecuaciones, eliminarlas al sumar las ecuaciones de cada par y formar un nuevo sistema de dos incógnitas con las dos ecuaciones resultantes.

EXPLICACION

Método de Sustitución

Este método consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir esta expresión en las otras dos ecuaciones, formando así un sistema con dos ecuaciones.

EXPLICACION

Resolución de Problemas de sistema de ecuaciones 3X3

Para resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, se siguen estos pasos: comprensión, planteamiento, resolución y comprobación. 

EXPLICACION

VIDEO EXPLICATIVO

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCION CUADRÁTICA

CONCEPTOS

Una función cuadrática es una función de la forma f (x) = ax² + bx + c, donde a, b, c pertenecen a los Reales y a es diferente a cero. En la función cuadrática, c es el término independiente.

Algunas expresiones como f (x) = 3x² + 9x + 2 o f (x) = - 4x² + 5x + 1 son funciones cuadráticas. A las funciones cuadráticas también se las denomina funciones de segundo grado porque el mayor exponente es 2.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo. Si en la función f (x) = ax² + bx + c se cumple que a > 0, la parábola abre hacia arriba. En cambio, si en la función f (x) = ax² + bx + c se cumple que a < 0, la parábola abre hacia abajo.

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales R, y el rango es el intervalo [k, +&[, si la parábola abre hacia arriba, o ]-&, k], si la parábola abre hacia abajo.

La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola se denomina eje de simetría.

TIPOS DE GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Según los valores de a, b y c en la expresión f (x) = ax² + bx + c, hay cuatro casos que se pueden tener en cuenta para graficar una función cuadrática:

• f (x) = ax²

• f (x) = ax² + c

• f (x) = ax² + bx

• f (x) = ax² + bx + c

Para construir la gráfica de una función cuadrática se tienen en cuenta los cuatro tipos de funciones cuadráticas. Luego, se identifica el vértice y se elabora una tabla de valores que determine la forma de la parábola.

CASO 1: f (x) = ax², donde b = 0 y c = 0

Las parábolas de esta forma tienen como vértice el punto (0, 0) y el eje de simetría es el eje y.

• Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.

• Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

• Si |a| > 1, la parábola es mas estrecha, en relación con la parábola donde a = 1.

• Si  < |a| < 1, la parábola es mas ancha, en relación con la parábola donde a = 1.

CASO 2: f (x) = ax² + c, donde b = 0

Las parábolas de esta forma tienen como vértice el punto (0, c) y el eje de simetría es el eje y. La gráfica de la función f (x) = ax² + c se obtiene trasladando c unidades la gráfica de la función f (x) = ax².

• Si c > 0, la traslación es hacia arriba.

• Si c < 0, la traslación es hacia abajo.

CASO 3: f (x) = ax² + bx, donde c = 0

En este caso las coordenadas del vértice (h, k), se pueden hallar por medio de las expresiones:

CASO 4: f (x) = ax² + bx + c

En este caso la gráfica de la función se obtiene trasladando c unidades la gráfica de la función f (x) = ax² + bx. Cuando c > 0, la traslación es hacia arriba y cuando c < 0 la traslación es hacia abajo.

Ceros, raíces o soluciones de una función

Los ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática son los puntos de corte de la parábola con el eje x. Así si el discriminante de la ecuación general es b² - 4ac se concluye que:

• Si b² - 4ac > 0; se tiene 2 cortes con el eje X o existe dos raíces X1 y X2.

• Si b² - 4ac = 0; se tiene 1 solo corte con el eje X o existe una sola raíz X1

• Si b² - 4ac < 0;  no se tiene cortes con el eje X , existe solución dentro de los números complejos.

Se sugiere analizar primero el discriminante de una función cuadrática antes de aplicar la fórmula general, para ver si existen cortes con el eje X.

EXPLICACION

1.- Identificar los coeficientes a, b, c de las funciones cuadráticas:

• f (x) = 3x² - 9x + 2 se tiene que a = 3; b = - 9; c = 2

• f (x) = - 7x + 8 se tiene que a = -7; b = 0; c = 8

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EJERCICIOS PROPUESTOS

ECUACIONES CUADRÁTICAS

CONCEPTOS

Una cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, con a, b, c; pertenecen a los Reales y a es diferente a cero, recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

Dependiendo del valor de las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en incompletas y completas.

Ecuaciones incompletas: son aquellas ecuaciones donde b = 0 o c = 0.

Por ejemplo, las ecuaciones 2x² - 3x = 0, 3x² + 4x = 0, 4x² = 0

Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0, con a, b, c diferente de cero.

Por ejemplo, las ecuaciones 2x² + 4x - 5 = 0, - 3x² + 15x - 31 = 0, - 7x² - 14x + 49 = 0, son ecuaciones completas.

Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces diferentes que no pertenecen a los reales (raíces complejas) o una sola raíz real.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas

En la solución de una ecuación cuadrática incompleta se distinguen tres casos:

Ecuaciones de la forma ax² = 0

ax² = 0

x² = 0

x = 0 Por lo tanto, la ecuación tiene una solución real, x = 0

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0

En este caso, se aplica la factorización y se iguala cada factor a cero para despejar la variable en cada caso.

ax² + bx = 0

x(ax + b) = 0

x = 0 ax + b = 0

X1 = 0 X2 = - b/a

Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes, X1 = 0 y X2 = - b/a

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0

En este caso, se despeja x y se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

ax² + c = 0

ax² = - c

x² = - c/a

Solución de ecuaciones cuadráticas completas

Las ecuaciones cuadráticas completas, de la forma ax² + bx + c = 0, se resuelven por los siguiente tres métodos: factorización, completar cuadrados perfectos y por fórmula general.

Solución por factorización

Para solucionar la ecuación ax² + bx + c = 0, se factoriza, si es posible, el trinomio ax² + bx + c y se iguala a cero cada factor. Luego, se despeja la incógnita para encontrar las soluciones.

Solución completando cuadrados

Este método se usa si el trinomio ax² + bx + c no es factorizable, para esto se toma en cuenta que:

Primero, se escribe la ecuación ax² + bx + c = 0 de la forma ax² + bx = - c

Segundo, se suma a ambos lados de la ecuación el término b²/4a, conociendo que a es cuadrado perfecto.

Tercero, se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y el otro lado se simplifica.

Finalmente, se extrae la raíz cuadrada y se expresa cada solución por separado.

Solución por la fórmula general

A partir del método de completar cuadrados se puede obtener una fórmula para la raíces de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, llamada fórmula general o fórmula cuadrática.

Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, donde  a es diferente a cero, están dadas por:

Naturaleza de la raíces de la ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una única solución real o dos soluciones no reales diferentes (complejas diferentes). Para determinar que tipo de soluciones tiene una ecuación cuadrática, se parte de la fórmula general o fórmula cuadrática.

Luego se analiza el discriminante de la ecuación que corresponde a la expresión  b² - 4ac.

A partir del valor del discriminante, se analizan tres casos como soluciones de la ecuación cuadrática: cuando b² - 4ac > 0, cuando b² - 4ac = 0 y cuando b² - 4ac < 0.Entonces:

• Si b² - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales diferente. En este caso la gráfica de la función tiene dos puntos de corte con el eje x.

• Si b² - 4ac = 0, la ecuación tiene una única solución que corresponde a un número real. En este  caso la gráfica de la función tiene un punto de corte con el eje x, que corresponde al vértice.

• Si b² - 4ac < 0, la ecuación tiene dos soluciones complejas diferentes. En este caso la gráfica de la función no tiene puntos de corte con el eje x.

En las siguientes gráficas se puede observar la ubicación de la parábola y como intercepta en el eje x para cada uno de los casos.

Propiedades de las raíces de la ecuación cuadrática

En toda ecuación cuadrática se verifican las siguientes propiedades:

Propiedad 1: la suma de las raíces es igual al cociente entre el coeficiente de x y el coeficiente  de x² con signo contrario. Es decir, si x1 y x2 son raíces de ax² + bx + c = 0, entonces X1 + X2 = - b/a. Esta afirmación se puede verificar así:

En la ecuación ax² + bx + c = 0, las soluciones  X1 y X2 son:

Propiedad 2: el producto de las raíces es igual al cociente entre el término entre el término independiente y el coeficiente de x². Es decir, si x1 y x2 son raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces X1.X2 = c / a.

EXPLICACION

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PROBLEMAS PROPUESTOS

ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES CUADRÁTICOS

CONCEPTOS

En muchas ocasiones se presentan ecuaciones diferentes que a simple vista no parecen ecuaciones cuadráticas, puesto que no tienen la forma  ax² + bx + c = 0.

En este caso es necesario transformarlas haciendo uso de operaciones algebraicas; estas ecuaciones son las ecuaciones con radicales de índice dos, las ecuaciones bicuadraticas y las ecuaciones cuadráticas literales. Por ejemplo:

Ecuaciones con radicales de índice dos

Para resolver estas ecuaciones se deja el radical en uno de los miembros de la ecuación, a continuación, se elevan al cuadrado ambos miembros y se resuelve la ecuación que aparece. Después de encontrar las soluciones o raíces, se debe verificar que satisfagan la ecuación original; en caso de que alguna de ellas no lo haga, se dice que es una solución extraña.

Ecuaciones bicuadraticas

Una ecuación bicuadrática tiene la forma:

Para la solución de este tipo de ecuaciones es necesario realizar un cambio de variable:  u = x², con el fin de obtener una ecuación cuadrática que se resuelve por alguno de los métodos ya estudiados. Al final, cuando se tienen las soluciones de la ecuación cuadrática en la variable u, se realiza el cambio de la variable y así se obtienen las cuatro soluciones o raíces de la ecuación bicuadrática.

Ecuaciones cuadráticas literales

Las ecuaciones cuadráticas literales son aquellas en las que los coeficientes son letras que representan números reales.

Por ejemplo, ecuaciones como x² + 2n + n² = 0 y nmx² - (n + m)x + 1 = 0 son ecuaciones cuadráticas literales. Este tipo de ecuaciones se resuelve por factorización o por fórmula general.

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

CONCEPTO

Un sistema de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas es un sistema en el cual al menos una de las ecuaciones  es de segundo grado.

Posiciones relativas entre una recta y una parábola

Con respecto a una parábola, una recta puede ser secante, si la corta en dos puntos; tangente, si la corta en un solo punto; o puede no cortarse en ningún punto. Para cada una de ellas se deben cumplir diferentes condiciones.

Sistemas cuadráticos (cruce de dos parábolas)

Un sistema de ecuaciones de segundo grado o cuadrático es aquel en el que aparece al menos una ecuación de grado 2; y de igual manera que en las ecuaciones lineales, un sistema cuadrático es compatible determinado cuando hay uno o dos cortes entre la ecuaciones participantes, es compatible indeterminado si las parábolas son coincidentes, e incompatibles si las parábolas no se cortan en ningún punto.

EXPLICACION

EJERCICIOS PROPUESTOS

INECUACIONES CUADRÁTICAS

CONCEPTO

Una inecuación de segundo grado es una desigualdad que, reducida a su mínima expresión, tiene una de las siguientes formas:

• ax² + bx + c < 0

• ax² + bx + c <= 0

• ax² + bx + c > 0

• ax² + bx + c >= 0

Para resolver una inecuación cuadrática se aplican las propiedades de las desigualdades de tal forma que uno de los miembros de la desigualdad sea cero y el otro sea la expresión cuadrática factorizada, es decir, descompuesto en factores de primer grado.

Luego de factorizar la expresión cuadrática, si es posible, se resuelven las desigualdades lineales correspondientes para determinar el conjunto solución. Si la expresión cuadrática no se puede factorizar fácilmente, entonces se realizan los siguientes pasos:

1.- Se expresa la inecuación como una ecuación cuadrática.

2.- Se aplica la fórmula cuadrática para hallar la solución de la ecuación.

3.- Se ubican las soluciones de la ecuación en la recta numérica y se toman los valores de cada intervalo para verificar si son solución de la desigualdad. Si los valores que se toman de cada intervalo son solución de la desigualdad, entonces el intervalo forma parte del conjunto solución.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

TRIGONOMETRIA

CONCEPTOS

Ángulos

En trigonometría, un ángulo se define como la rotación de una semirrecta sobre su origen. La posición inicial de la semirrecta es el lado inicial del ángulo y la posición final de la semirrecta en la rotación es el lado final del ángulo.

En el <AOB de la figura, O es el vértice, OA es lado inicial y OB es el lado final.

Ángulos en posición normal

Un ángulo en posición normal es un ángulo ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas en donde uno de sus lados coincide con el semieje positivo de las X y su vértice está en el origen. La ubicación del lado terminal indica el cuadrante en el cual se encuentra el ángulo.

Medición de ángulos en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal utiliza como unidad al grado. Un ángulo de giro completo es el que se genera por una rotación completa del lado final, su medida es de 360°.

Con relación a un ángulo de giro completo, es importante tener en cuenta que:

• Si un giro completo se divide en 360 partes iguales, entonces, cada parte es un grado sexagesimal, es decir, 1 / 360 de la rotación es igual a 1°.

• Si un grado se divide en 60 partes iguales, entonces, cada parte es un minuto, es decir, 1 / 60 de grado es igual a 1´, el símbolo se lee "un minuto".

• Si un minuto se divide en 60 partes iguales, entonces, cada parte es un segundo, es decir, 1 / 60 de minuto es igual a 1". El símbolo se lee "un segundo".

• Por tanto, se concluye que 1° = 60´= 3600".

Ángulos coterminales

En el plano cartesiano se puede observar que, en un ángulo, el lado terminal puede realizar mas de un giro y en dirección positiva o negativa, eso significa que dos ángulos pueden tener un mismo lado final. Entonces, es posible que dos ángulos tengan en la misma posición sus lados final e inicial a pesar de tener una magnitud y sentidos distintos.

Medición de ángulos en el sistema cíclico

Un ángulo central ø en una circunferencia con centro en el origen O y radio r es aquel formado por dos radios. El ángulo tiene como vértice el origen y subtiende un arco s de la circunferencia.

El sistema cíclico de medición de ángulos tiene como unidad de medida básica el radián.

Un radián (rad) es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuya longitud del arco subtendido es igual al radio de la circunferencia.

Relación entre grados y radianes

Teniendo en cuenta que el perímetro de toda circunferencia de radio r está dada por 2¶r, entonces se tiene que 2¶r / r = 2¶, que indica el número de veces que está el radio de una circunferencia en su perímetro. Esto indica que un ángulo de giro completo que mide 360° equivale a 2¶ radianes, por tanto, 360° = 2¶. Dividiendo por 360° a ambos lados de la ecuación se tendrá que: 1° = ¶ / 180°; 1° = 0,0174533 rad. La equivalencia de un radián en grados se obtiene de la misma ecuación y se divide a ambos por 2¶:

360° / 2¶ = 2¶ / 2¶ → (180 / ¶)° = 1 rad, luego 1 rad = 57, 2958°

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONCEPTOS

Las funciones trigonométricas se definen como una extensión de la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales. A continuación, se presenta la circunferencia unitaria y como se establecen las funciones trigonométricas a partir de esta.

Circunferencia unitaria

La circunferencia unitaria es aquella cuyo centro está en el origen y tiene un radio igual a 1. La ecuación de la circunferencia unitaria es:  x² + y² = 1.

A continuación se muestra una circunferencia unitaria. Todos los puntos que cumplen con la ecuación

x² + y² = 1 pertenecen a la circunferencia.

Puntos de la circunferencia unitaria

Dada la circunferencia unitaria y un ángulo ø en posición normal, el lado final del ángulo interseca a la circunferencia en un punto P. Como el ángulo ø está en radianes y el radio de la circunferencia es igual a 1, entonces a partir de la fórmula para la longitud de arco se tiene que:

s = r . ø Ecuación de la longitud del arco

s = 1 . ø Se reemplaza la medida del arco

s = ø Se multiplica

Por tanto, en la circunferencia unitaria la medida del ángulo ø en radianes es igual a la longitud del arco s que subtiende. Además, se cumple que:

Si el ángulo ø en radianes es positivo, entonces el arco que subtiende se define en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Si el ángulo ø en radianes es negativo, entonces el arco que subtiende se define en el sentido de las manecillas del reloj.

El punto P determinado por el ángulo ø = 3¶ / 2 se muestra en la figura:

Definición de las funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas pueden definirse a partir de la circunferencia unitaria. Para esto se construye un ángulo ø en posición normal cuyo lado final interseque a la circunferencia unitaria en el punto P.

Como cada ángulo define un único punto P(x, y) en la circunferencia unitaria, a partir de sus coordenadas se puede definir las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente, así:

cos ø = x sec ø = 1/x, x es diferente de 0

sen ø = y csc ø = 1/y, y es diferente de 0

tan ø = y/x, x es diferente de 0 cot ø = x/y, y es diferente de 0

Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales

Los ángulos cuadrantales medidos en radianes son 0, ¶/2, ¶, 3¶/2 y 2¶. En la figura se muestra el lado final de los ángulos cuadrantales. Como el lado final de los ángulos cuyas medidas son 0 y 2¶ coincide, entonces el valor de las funciones trigonométricas para estos dos ángulos es el mismo.

Para determinar el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, se toman las coordenadas del punto P(x, y) determinado por cada ángulo cuadrantal en la circunferencia unitaria como se muestra:

Ángulos de referencia

Sea Ø un ángulo en posición normal, el ángulo de referencia ØR es aquel ángulo agudo que forma el lado final de Ø con uno de los semiejes del eje X.

La relación entre el ángulo Ø y el ángulo de referencia ØR depende del cuadrante en el que está ubicado el lado final del ángulo Ø. En la tabla se observa esta relación:

Funciones trigonométricas de ángulos coterminales

Todo ángulo & cuya medida sea negativa o mayor que 360° es coterminal con un ángulo Ø cuya medida es positiva y menor que 360°. De acuerdo con esto, se tiene que:

sen & = sen Ø csc & = csc Ø

cos & = cos Ø sec & = sec Ø

tan & = tan Ø cot & = cot Ø

En general, para hallar los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo &, se realizan los siguientes pasos:

1.- Se halla el ángulo Ø positivo cuya medida es menor que 360° y es coterminal con &.

2.- Se determina el ángulo de referencia Ø, para el ángulo Ø.

3.- Se establece el signo de cada función trigonométrica para el ángulo &, teniendo en cuenta el cuadrante en el que se ubica su lado final.

4.- Se hallan los valores de las funciones trigonométricas para & a partir de los valores de las funciones trigonométricas de ØR y del signo correspondiente.

Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

Sea Ø un ángulo en posición normal y P(x, y) cualquier punto de su lado final con excepción del origen. Si r es la distancia del origen a P(x, y), entonces , r² = x² + y², donde las funciones trigonométricas del ángulo Ø se definen como:

cos Ø = x / r sec Ø = r / x, con x diferente a cero

sen Ø = y / r csc Ø = r / y, con y diferente a cero

tan Ø = y / x, con x diferente a cero cot Ø = x / y, con y diferente a cero

Esta definición se cumple para cualquier punto P(x, y) que pertenece al lado final de un ángulo Ø en posición normal, sin que necesariamente corresponda a la circunferencia unitaria, como se muestra en la figura:

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS

RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS NOTABLES

CONCEPTOS

Razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°

A partir de la circunferencia unitaria se establecieron los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos ¶ / 3, ¶ / 4, ¶ / 6 en radianes. Sin embargo, también se pueden determinar los valores para estos ángulos en grados, a partir de la relación entre los lados y los ángulos de ciertos triángulos rectángulos.

Para determinar las razones trigonométricas para 30° y 60°, se construye un triángulo ABC equilátero y se traza la altura BD sobre AC, formando dos triángulos rectángulos como se muestra en la figura 3.

Como el segmento BD es bisectriz del ángulo ABD, entonces, <ABD = 30°, Además si h es la medida del segmento BD, entonces, se puede expresar en términos de l así:

De la misma manera, si se establece cada razón entre las medidas de los lados que corresponden al ángulo de 60°, se obtienen los siguientes valores:

Razones trigonométricas para el ángulo de 45°

Para determinar los valores de las razones trigonométricas para un ángulo de 45°, se construye un triángulo OPQ rectángulo isósceles de tal forma que QO = PQ = l, como se muestra en la figura:

Funciones trigonométricas de ángulos complementarios

Dos ángulos & y ß son complementarios si y solo si & + ß = 90°. Así, & es el complemento de ß y ß es el complemento de &. En la siguiente figura & y ß son complementarios.

Si & y ß son complementarios, entonces se cumple que:

sen & = cos ß tan & = ctg ß sec & = csc ß

sen ß = cos & tan ß = ctg & sec ß = csc &

El valor de la función trigonométrica de un ángulo es igual al valor de la cofunción correspondiente de su ángulo complementario.

Por tanto, se tiene que:

sen (90° - Ø) = cos Ø tan (90° - Ø) = ctg Ø sec (90° - Ø) = csc Ø

EXPLICACION

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EJERCICIOS PROPUESTOS