Corsi dell'attuale anno accademico 

Current year Teaching Activities

[Geometria]: [Laurea Triennale - Ingegneria Edile-Edile Architettura ]

Primo semestre 2026

Periodo 23/09/2025 - 16/01/2026

Docente al corso Prof. Giulio Codogni (codogni[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Codocente al corso Prof. Flaminio Flamini (flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Lezioni Prof. F. Flamini (1 CFU = 10 ore)

8 ore di Lezione e 2 ore di Esercitazione

[Geometria Algebrica]: [Laurea Magistrale-Matematica]

Primo semestre 2026 (8 CFU = 64 ore)

Periodo 02/03/2026 - 05/06/2026 (8 CFU)

Docente al corso Prof. Flaminio Flamini (flamini[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it)

Lezioni (64 ore - 8 CFU) - Lectures (course in English on demand)

Martedì – 9:00-11:00 / Mercoledì – 11:00-13:00 / Venerdì – 9:00-11:00

Canale TEAMS: Flamini-8065716-Geometria_Algebrica-AA2025/26

Codice TEAMS: e3uvet8

Link del TEAMS: Generale | FLAMINI-8065716-GEOMETRIA_ALGEBRICA_A.A-2025/26 | Microsoft Teams

Programma di Massima (Tentative Program)  

Italiano: Si tratta di un corso introduttivo alla Geometria Algebrica, basato su argomenti di base riguardanti le varietà algebriche. Precisamente il corso si prefigge di trattae i seguenti argomenti di massima:

* Premesse algebriche: anelli Noetheriani, nozioni di finitezza (Lemma di Zariski), moduli e localizzazione. Anelli graduati ed ideali omogenei. Prefasci e fasci su uno spazio topologico: spighe e sezioni su aperti.

* Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Corrispondenza chiusi affini ed ideali radicali. Hilbert Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert) affine. Irriducibilità. Varietà affini. Anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali di una varietà affine.

* Insiemi algebrici proiettivi e topologia di Zariski. Cono affine. Hilbert Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert) proiettivo. Irriducibilità. Varietà proiettive. Anello delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali di una varietà proiettiva.

* Dimensione combinatoria o topologica di una varietà algebrica. Caso delle varietà affini: equivalenza di categorie.

* Varietà quasi-proiettive. Varietà algebriche. Fascio strutturale di una varietà algebrica. Funzioni regolari e razionali su (aperti di) una varietà algebrica.

* Morfismi di varietà algebriche: target affine e target proiettivo. Morfismo di Veronese. Morfismi dominanti. Applicazioni razionali dominanti e applicazioni birazionali. Sistemi lineari di ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni.

* Prodotti di varietà algebriche. Varietà di Segre. Grafico di un morfismo. Completezza delle varietà proiettive (o Teorema fondamentale dell’eliminazione)

* Applicazioni: scoppiamenti e scioglimento di singolarità di curve piane mediante scoppiamenti.

English: The course gives an introduction to Algebraic Geometry, related to algebraic varieties. More precisely the course will consist of:

* Algebraic preliminaries: Noetherian rings, Zariski’s lemma, modules and localization. Graded rings and homogeneous ideals. Presheaves and sheaves on a topological space: stalks and sections.

* Affine algebraic sets and Zariski topology. Bijective correspondence between close affine sets and radical ideals. Hilbert Nullstellensatz. Irreducibility.  Affine varieties. Coordinate ring and field of rational functions of an affine variety.

* Projective space. Projective algebraic sets. Affine cones. Homogeneous Hilbert Nullstellensatz. Projective and quasi-projective varieties. Ring of homogeneous coordinates and field of rational functions of a projective variety.

* Combinatorial or topological dimension of an algebraic variety. Affine varietes and equivalence of categories.

* Quasi-projective varieties. Algebraic varieties. Structural sheaf of an algebraic variety. Regular and rational functions of (open sets of) an algebraic variety.

* Morphisms of algebraic varieties: affine and projective targets. Veronese morphism. Dominant morphisms. Rational and birational maps. Examples: linear systems of hypersurfaces of a projective space, projections.

* Products of algebraic varieties. Segre variety. Graph of a morphism. Completeness of projective varieties.

* Consequences: blow-ups and resolution of singularities of plane curves by blow-ups.

Testo di Riferimento (Bibliography): "A first course in Algebraic Geometry and Algebraic Varieties", by Flaminio Flamini, Essential Textbooks in Mathematics, vol. 2, 2023, ISBN 9781800612747, World Scientific Publishing

Diario giornaliero delle lezione Sul Canale Teams del Corso

Descrizione delle modalità e dei criteri di verifica dell’apprendimento

 Italiano: La prova di esame consisterà in un'esposizione rigorosa dei contenuti del corso, con eventuale discussione di esercizi dal testo, e sarà valutata secondo i seguenti criteri:

Non idoneo: importanti carenze e/o inaccuratezza nella conoscenza e comprensione degli argomenti; limitate capacità di analisi e sintesi, frequenti generalizzazioni.

18-20: conoscenza e comprensione degli argomenti appena sufficiente con possibili imperfezioni; capacità di analisi sintesi e autonomia di giudizio sufficienti.

21-23: Conoscenza e comprensione degli argomenti routinaria; capacità di analisi e sintesi corrette con argomentazione logica coerente.

24-26: Discreta conoscenza e comprensione degli argomenti; buone capacità di analisi e sintesi con argomentazioni espresse in modo rigoroso.

27-29: Conoscenza e comprensione degli argomenti completa; notevoli capacità di analisi, sintesi. Buona autonomia di giudizio.

30-30L: Ottimo livello di conoscenza e comprensione degli argomenti; notevoli capacità di analisi e di sintesi e di autonomia di giudizio. Argomentazioni espresse in modo originale.

English The exam will consist in a rigorous exposition of the topics of the course, with some exercises from the book, and it will be assessed according to the following criteria:

Unsuitable: major deficiencies and/or inaccuracy in knowledge and understanding of the topics; limited capacity for analysis and synthesis, frequent generalisations.

18-20: barely sufficient knowledge and understanding of the topics with possible imperfections; sufficient capacity for analysis, synthesis and autonomy of judgement.

21-23: Routine knowledge and understanding of the topics; ability to analyse and synthesise correctly with coherent logical argumentation.

24-26: Fair knowledge and understanding of the topics; good analytical and synthetic skills with rigorously expressed arguments.

27-29: Complete knowledge and understanding of the topics; considerable capacity for analysis, synthesis. Good autonomy of judgement.

30-30L: Excellent level of knowledge and understanding of topics; considerable capacity for analysis and synthesis and independent judgement. Arguments expressed with an original approach.

[Complementi di Geometria e Algebra Tensoriale]: [Corso Seminariale - 2 CF]

Secondo semestre 2026 (2 CF - Attività seminariale)

Corso (FACOLTATIVO) con attribuzione n. 1 oppure n. 2 Crediti F (corso ponte tra “Geometria” del I anno e corsi di anni superiori quali “Meccanica dei Solidi/Statica”, “Scienze delle Costruzioni”, “Architettura Tecnica”)

Docente: Prof. F. Flamini- flamini[Antispam]@mat.uniroma2.it  (1 CFU = 10 ore)

Codocente: Prof. G. Codogni - codogni[ANTISPAM]@mat.uniroma2.it  (1 CFU = 10 ore)

Canale Teams: Generale | Complementi di Geometria ed Algebra Tensoriale (2025-2026: Flamini-Codogni) | Microsoft Teams

https://teams.microsoft.com/l/team/19%3A5K3T0MwSuIg4To01Qc09mfp-lkX8Jty0LL8Y-jL9JmQ1@thread.tacv2/conversations?groupId=401dfe3b-8353-4fbd-965c-d116bacc9620&tenantId=24c5be2a-d764-40c5-9975-82d08ae47d0e

Codice Teams:vfq7669

INFORMAZIONI RELATIVE AL CORSO ED ALL’ACQUISIZIONE DEI CREDITI F

·  Non serve aggiungere il corso nel piano di studi individuale, dato che è un corso equiparato ad un WORKSHOP (attività seminariale)

·  Il corso, se seguito con profitto, attribuisce n. 1 oppure n. 2 Crediti  Formativi (Cr. F)

. Non vi è quindi alcuna verbalizzazione sul libretto universitario né tantomeno un voto finale. Si ottiene esclusivamente una IDONEITA’ per l’acquisizione di n. 1 oppure n. 2 Crediti F = Formativi

. 10 ore del corso saranno tenute da Prof. Flamini (Docente responsabile del corso). Queste 10 ore di lezioni verranno erogate sul Canale Teams sopra dedicato e a fine lezione verranno uplodate le note della lezione, per agevolare gli studenti/le studentesse interessate a seguire gli argomenti senza rischio di accavallamento con altri corsi obbligatori

. 10 ore del corso saranno tenute da Prof. Codogni (Codocente al corso). Queste 10 ore di lezioni si terranno in presenza. Il calendario di queste 10 ore verrà stilato prossimamente dal Co-docente (Prof. Codogni), sentite anche le esigenze degli studenti/delle studentesse interessati/e a seguire in presenza, e verrà pubblicato sul canale Teams sopra riportato

·  Sia il Docente (Prof. Flamini) che il Co-docente (Prof. Codogni) assicurano il termine dei loro rispettivi cicli di lezioni ENTRO E NON OLTRE LA PRIMA SETTIMANA DI MAGGIO per non interferire con la preparazione degli studenti e delle studentesse per gli esami della sessione estiva

. Per acquisire n. 1 oppure n. 2 Cr. F:

(1) ci si iscrive al canale Teams

(2) si seguono le 10 ore di lezione del Prof. Flamini (su canale teams) e/o le 10 ore di lezione del Prof. Codogni (in presenza)

(3) per gli argomenti trattati dal Prof. Flamini, si risponde ad un breve questionario a scelta multipla sugli argomenti trattati, da svolgersi nel mese di Maggio (tempo per rispondere ai quesiti = 1 settimana) per non interferire con la preparazione degli esami della sessione estiva

(4) per gli argomenti trattati da Prof. Codogni, si affronta un esercizio aperto e gli studenti espongono in presenza al Co-docente lo svolgimento. Anche questa prova verrà svolta nel mese di Maggio per non interferire con la preparazione degli esami della sessione estiva

(5) per tutti/e coloro che avranno passato con votazione positiva le prove in (3) e/o (4) e dunque risulteranno idonei/e all’attibuzione di Crediti F, il docente responsabile Prof. Flaminio Flamini produrrà un CERTIFICATO DI ATTRIBUZIONE di CREDITI F (con la lista di tutti i nominativi di costoro)

(6) i Cr. F sono FRAZIONABILI, cioè si può acquisire nr. 1 Credito F se si supera o solo la parte (3) oppure solo parte (4). Altrimenti, superando sia la parte (3) che la parte (4) verranno attribuiti nr. 2 Crediti F

(7) Il Docente responsabile (Prof. Flaminio Flamini), dopo aver ricevuto lista idonei per la parte (4) dal Codocente Prof. Codogni, invierà per e-mail CERTIFICATI DI ATTRIBUZIONE di n. 2 (oppure nr. 1) CREDITI F (con la lista di tutti i nominativi di costoro) alla Segreteria Didattica del Dipartimento di Ingegneria Civile, cosiccome farà l’upload sul Canale Teams

(8) Sarà cura del/della singolo/a studente/studentessa rivolgersi alla Segreteria Didattica del Dipartimento di Ingegneria Civile per indicazioni sulla convalida dei rispettivi Crediti F per cui è risultato/a idoneo/a

Lezioni Prof Flaminio Flamini (10 Ore)

Giorno di lezione settimanale: Mercoledi’ ore 15:00-17:00 (2 ore)

Modalità di svolgimento: lezione svolta sul Canale Teams sopra riportato con upload delle note in pdf lezione per lezione

Data di inizio: Mercoledì 11 Marzo 2026 (per un totale di 5 lezioni)

Programma Didattico delle Lezioni Prof. Flaminio Flamini

Algebra Tensoriale per applicazioni e terminologia nei corsi di Meccanica Solidi/Statica e Scienze delle Costruzioni

LEZIONE 1 (2 ore)

Funzionali lineari su uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale duale V* di uno spazio vettoriale V Spazio vettoriale Hom(V,W) di applicazioni lineari tra gli spazi vettoriali V e W I ISOMORFISMO CANONICO: V* tensor W isomorfo a Hom(V,W) II ISOMORFISMO CANONICO: se V è uno spazio vettoriale euclideo, V è canonicamente isomorfo al suo spazio vettoriale duale V*. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali; Dimensione di un prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Tensori di ordine k su uno spazio vettoriale euclideo V; i tensori di ordine 0 sono gli scalari di IR; i tensori del I ordine sono i vettori di V; i tensori del II ordine si identificano con gli elementi di End(V).

LEZIONE 2 (2 ore)

Tensori decomponibili del II ordine in V = IR^3 (dette anche Diadi in IR^3). Prodotto diadico in IR^3; rango di una diade (a tensor b). Determinazione di Im (a tensor b) e di Ker(a tensor b); Matrice rappresentativa di una diade. (IR^3)^{tensor 2} = End(IR^3) = M(3x3; IR) = Lin = spazio vettoriale dei tensori del II ordine su V=IR^3; Composizione di due tensori II ordine e composizione di due diadi. Lin è un’algebra non-commutativa rispetto a queste operazioni; Potenza di un tensore del II ordine. Trasposto di un tensore del II ordine in IR^3

LEZIONE 3 (2 ore)

Tensori simmetrici (Sym) e tensori antisimmetrici (Skew) del II ordine in IR^3. Ogni tensore del II ordine su IR^3 si scrive in modo unico come somma di un tensore simmetrico e di uno antisimmetrico, cioè Lin si decompone in somma diretta dei sottospazi vettoriali Sym e Skew. Calcolo della dimensione di Sym e di Skew. Traccia e Determinante di un tensore del II ordine; Prodotto scalare in Lin; tensori ortogonali rispetto al prodotto scalare in Lin; La decomposizione di Lin in somma diretta tra il sottospazio Sym ed il sottospazio  Skew è somma diretta ortogonale; Tensori del II ordine ortogonali = Orth; Rotazioni = Orth^+; basi ortonormali canoniche dei sottospazi Sym e Skew; Polinomio caratteristico di un tensore del II ordine; invarianza per cambiamenti di base del polinomio caratteristico di un tensore T in Lin; coefficienti del polinomio caratteristico I(T), II(T) e III(T) per un tensore T in Lin come invarianti metrici del tensore T

LEZIONE 4 (2 ore)

Se T in Orth^+ non è il tensore ortogonale identità, allora T ha 1 come autovalore semplice e l’autospazio relativo all’autovalore 1 coincide con l’asse di rotazione di T; Tensori antisimmetrici: corrispondenza assiale ax: Skew -> IR^3; ogni tensore antisimmetrico W non nullo in Skew ha rango due; l’asse fornito dalla corrispondenza assiale ax(W), associato ad un tensore W non-nullo in Skew corrisponde a Ker(W) che ha dimensione 1; Famiglia ad un parametro di tensori rotazione {Q(t)}, dove t una variabile temporale in un intervallo connesso J di IR e dove ogni tensore Q(t) è in Orth^+, per ogni t in J; famiglia di tensori antisimmetrici {W(t)} in Skew associati alla famiglia dei tensori {Q(t)}; Tensore Spin della famiglia {Q(t)} in Meccanica dei Solidi

LEZIONE 5 (2 ore)  

Tensori simmetrici: alcuni particolari tensori simmetrici sono Trazione, Pressione e Taglio; Studio dettagliato di questi tre tensori; Tensioni massime e tensioni minime per pressione, trazione e taglio; Analisi locale di uno stato di sforzo: parte sferica e parte deviatorica di un tensore simmetrico T del II ordine; Comunque sia scelto un riferimento cartesiano ortonormale, “ogni stato di sforzo T si decompone come somma di uno stato di pressione (o trazione) uniforme, di al più tre stati di trazione (o compressione) nella direzione di assi coordinati e di al più tre stati di taglio nei piani coordinati”; Ricerca di autocoppie per un tensore T simmetrico del II ordine: equazione secolare ed invarianti ortogonali di T; autocoppia per T = (autovalore, autoversore associato); Calcolo esplicito di equazione secolare, invarianti ortogonali, autocoppie, direzioni e tensioni principali dei tensori fondamentali (a) trazione o compressione; (b) pressione od espansione; (c) taglio

Lezioni Prof. Giulio Codogni (10 Ore)

Organizzazione del corso: il corso si terrà in presenza. L'orario, sentite anche le esigenze degli studenti, verrà comunicato qui su Teams. Questa parte del corso durerà 10 ore e varrà 1 cfu. Modalità per l’attribuzione di 1 cfu su questa parte: gli studenti/le studentesse dovranno svolgere un esercizio, anche a casa lavorando autonomamente o anche in gruppo. In seguito dovranno presentare individualmente ed in presenza lo svolgimento dello stesso.

Programma Didattico Lezioni Prof. Giulio Codogni

Studieremo dal libro “Architectural Geometry” di M. Hofer, H. Pottmann e A. Asperl i capitoli:

5- trasformazioni del piano

6- trasformazioni dello spazio

7- curve e superfici

Se il tempo lo permetterà, approfondiremo la prima e la seconda forma fondamentale di una superficie