PREXI Matemática

Primera Experiencia de Investigación 2024.

Convocatoria a estudiantes de grado

Características generales

PEDECIBA realiza un llamado a ayudantes de investigación dirigido a estudiantes de grado con interés en realizar una experiencia de investigación en el marco de los proyectos orientados por Investigadores/as activos, Postdocs o Estudiantes avanzados de Doctorado de PEDECIBA.

El tiempo máximo a dedicar por el/la estudiante es un total de 240 horas a repartir homogéneamente en un lapso de 4 a 6 meses. Tendrá una remuneración equivalente a grado 1 (Udelar) acorde al horario a realizar.

Al culminar las pasantías se realizará un evento de presentación de resultados en formato póster u otro formato a definir. Se invitará al evento a estudiantes, investigadores y autoridades universitarias.

Propuestas

Para esta convocatoria se realizó un llamado a Tutores/as para que presentaran proyectos adecuados para este programa. El listado de propuestas del área Matemática de PEDECIBA se encuentra más abajo (título, proponentes, resumen, propuesta completa y detalles del lugar y dedicación). Si quiere conocer más detalles de una propuesta no dude en ponerse en contacto con los proponentes.

¿Qué se precisa para postular?

Ser estudiante de grado de alguna carrera universitaria cercana al área de Matemática, sea tanto una licenciatura o una carrera profesional afín. Se requiere un grado de avance mínimo de 60 % al postular. Para postular deberá presentar una escolaridad actualizada que permita analizar el grado de avance. Además, se deberá indicar hasta cinco propuestas de investigación que le interesan y completar todos los datos de contacto necesarios.

Bases de postulación y formulario de postulación.

Acciones parciales - Fernando Abadie (responsable) y Damián Ferraro.

Propuesta completa: Link.
Resumen: La presente propuesta consiste en investigar distintos aspectos de la interacción entre topología, análisis y álgebra, a través de su vinculación con las acciones parciales. Ellos incluyen problemas en varias áreas, de diversos niveles de dificultad, y que requieren diferentes niveles de conocimientos para ser abordados.
Acciones parciales: La simetría de un objeto se manifiesta por medio de la riqueza de transformaciones reversibles que llevan el objeto sobre sí mismo, preservando su estructura. Dichas transformaciones forman un grupo, ya que la composición de dos de ellas resulta en otra similar. El conjunto de realizaciones de estas transformaciones en el objeto es lo que se conoce como una acción de dicho grupo en el objeto. Por otro lado, en ocasiones es necesario estudiar simetrías locales de un objeto, lo que implica considerar transformaciones que llevan partes del objeto en otras del mismo, pero que no necesariamente actúan sobre el objeto en su totalidad. En ese sentido la acción es ahora parcial, y formalmente se expresa a través de las ideas de acción parcial de un grupo o, aún más generalmente, de grupoide. Para fijar ideas, supongamos que los objetos considerados son conjuntos. En este caso, una forma de obtener una acción parcial en un subconjunto X del conjunto Y consiste en “comprimir” una acción en Y al subconjunto X. En ese caso se dice que la acción es una globalización de la acción parcial así definida, y que ésta es globalizable. Se puede probar que cualquier acción parcial en un conjunto es globalizable, pero esto no es cierto en general en otras categorías. Decidir si una acción parcial dada en cierta categoría puede construirse o no mediante el procedimiento anterior, es lo que se conoce como el problema de globalización.
Un ejemplo interesante y natural de acción parcial que vale la pena mencionar, aún sin entrar en detalles, es el siguiente. Es sabido que si todas las soluciones de una ecuación diferencial autónoma están definidas en toda la recta, entonces el flujo de dicha ecuación es una acción del grupo de los números reales; sin embargo, si no todas las soluciones están definidas en toda la recta, entonces el flujo es apenas una acción parcial. Una representación lineal de un grupo no es otra cosa que una acción de este grupo en un espacio vectorial por medio de isomorfismos lineales. En cambio cuando pasamos al contexto de las acciones parciales, la noción adecuada que surge es la de representación parcial. Así como las representaciones de un grupo se corresponden biunívocamente con las representaciones de su álgebra de grupo, las representaciones parciales del grupo están en biyección con las representaciones de la así llamada álgebra parcial del grupo. Lugar: Facultad de Ciencias
Código: M001
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Fundamentos matemáticos de la Teoría del Aprendizaje - Diego Armentano (responsable) y Manuel Hernández.

Propuesta completa: Link.
Resumen: El objetivo principal a explorar en esta experiencia de investigación es acercarse a la teoría del aprendizaje y sus fundamentos matemáticos estudiando el artículo de Cucker y Smale ""On the mathematical foundations of learning"", publicado en el Bulletin of the AMS, para luego aplicar esta teoría en algún ejemplo estadístico concreto a ser definido según los intereses del estudiante. En este artículo, los autores estudian la relación entre la teoría de aproximación y la teoría del aprendizaje, poniendo especial énfasis en el rol que juega la aleatoriedad en este contexto: hay un mecanismo mediante el cual se generan los datos que se observan, y es a través de la observación de la información disponible que se quiere aprender (podríamos decir, aproximar) aspectos desconocidos sobre este mecanismo. Para tal fin se utilizan ampliamente herramientas e ideas de álgebra lineal, la teoría de la probabilidad, el análisis numérico y sobre todo la estadística.
Una característica importante de este artículo es que tiene un fuerte compromiso por entender el problema en sí, y no tanto por las aplicaciones. Sin embargo, para los objetivos de esta experiencia, se definirá alguna aplicación concreta según los intereses del estudiante.
Un ejemplo de aplicación concreta de las herramientas presentadas en este artículo son las técnicas de reducción de la dimensión mediante núcleos reproductores. Pongamos un ejemplo: para hacer un análisis estadístico de pacientes médicos se podría contar con la medición de algunas variables en un momento puntual de tiempo, como ser: el peso, la presión arterial, la temperatura, etc. Pero hoy día podemos acceder a los datos que arroja un electrocardiograma o un monitor Holter casi en tiempo real. En estos ejemplos, las observaciones de cada paciente pueden ser consideradas funciones sobre un dominio continuo (por ejemplo, el tiempo). Por supuesto que dichos dispositivos registran una cantidad finita de valores, pero las señales que pretenden captar se pueden definir para cualquier instante temporal. Se llama análisis de datos funcionales a la rama de la estadística que trata con datos de este tipo: aquellos que pueden ser representados como curvas, superficies, imágenes, u objetos más complejos. Debido a la creciente disponibilidad de información de este tipo, es un área que ha cobrado mucha relevancia en los últimos 20 años.
En el análisis multivariado, las técnicas de reducción de la dimensión, como el análisis de componentes principales, son de suma importancia para poder retener la mayor información posible de los datos pero representada de una forma sencilla. Del mismo modo, queremos contar con técnicas que permitan hacer lo mismo cuando los datos tienen otro tipo de complejidad.
El hecho de considerar a los datos como observaciones en un espacio más abstracto (un espacio de funciones, por ejemplo) permite aplicar las herramientas que se estudian en este artículo, como los núcleos reproductores, para representar una función aproximándola por funciones de rango bajo (funciones "más simples" en algún sentido). Este procedimiento es el análogo a lo que en dimensión finita, se llama la representación de los datos en sus componentes principales, salvo que en este nuevo contexto, la matriz de covarianzas es el operador de covarianzas y los componentes principales serán sus autofunciones. Lugar: Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
Código: M002
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Clasificación semi-supervisada utilizando Ecuaciones en Derivadas Parciales - Nicolás Frevenza.

Propuesta completa: Link.
Resumen: Con el auge del aprendizaje automático, los problemas de clasificación para una gran cantidad de datos se han vuelto un tema clásico. El problema típico consiste en que hay una gran colección de datos a etiquetar pero donde se conoce la etiqueta de algunos datos, y se quiere extender a etiquetar a toda la colección. En general, existen varios algoritmos para reconstruir las etiquetas cuando el conjunto de etiquetas conocidas tiene cierto tamaño y además está balanceado, es decir, las proporciones de cada etiqueta entre los datos conocidos reflejan la densidad global de las etiquetas. En muchos casos, obtener la etiqueta real de un dato (por ejemplo, enfermo o sano) requiere de una inversión (en tiempo o económica) que no es extrapolable a una gran cantidad de datos. Por tanto, en muchas ocasiones se está lejos de la situación teórica de re-construcción clásica de etiquetas, cuando la proporción de etiquetas conocidas no puede ser muy baja.
En base a estas razones en los últimos tiempos han existido avances sobre lo que se conoce como aprendizaje semi-supervisado, donde el problema de clasificación se piensa cuando el número de etiquetas conocidas es muy poco en comparación con la cantidad de datos a los que se les quiere extender la clasificación. Para ello es fundamental utilizar cómo están distribuidos los datos en el espacio y en relación al conjunto de datos que tiene etiquetas conocidas. Una forma natural de tener en cuenta esto, es considerar una familia de grafos G_n parametrizada por un radio r_n de forma que dos datos (vértices) son vecinos en el grafo Gn si distan menos de r_n. Cuando los datos están generados de forma i.i.d. este modelo se conoce como grafo aleatorio geométrico.
La clasificación planteada se puede pensar como un problema de extensión de funciones en grafos: se tiene una función (etiquetas) definida en un subconjunto de los datos (un conjunto de vértices) y se busca extenderla a todos los datos (a todo el grafo).
El primer abordaje al problema es considerar la extensión armónica de la función que da las etiquetas a todo el grafo. El problema que surge es que cuando el conjunto de etiquetas conocidas es muy pequeño, la función extendida es demasiado regular. Más aún, es casi constante, por lo que pierde la propiedad de clasificación: no diferencia puntos (datos). Para abordar este problema se han desarrollado algunos métodos basados en versiones discretas de funciones p-armónicas con p mayor o igual 2 o p= +infinito (funciones para las que el p-Laplaciano se anula). El caso de la extensión armónica es p=2. Tener en cuenta que en la medida que p se aleja de 2 la extensión tiene cada vez menos regularidad pero termina clasificando de mejor manera.
La propuesta de primera experiencia de investigación consiste en estudiar los artículos (Calder2019, Calder2024), con mayor énfasis en el primero, y entender cómo funciona el algoritmo de clasificación que introduce. Para ello será necesario estudiar propiedades de funciones p-armónicas y algunas desigualdades clásicas de probabilidad para entender la consistencia del algoritmo. A su vez, se podrán realizar simulaciones y aplicaciones con algunos set de datos reales. Es importante recalcar que Jeff Calder, el autor común de las publicaciones mencionadas, tiene un código accesible en su web que se puede modificar. Lugar: Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
Código: M003
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Dimensión global finita - Conjeturas homológicas - Marcelo Lanzilotta (responsable) y Marco A. Pérez.

Propuesta completa: Link.
Resumen: Se considerarán álgebras de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. El objetivo de esta propuesta es que el/la estudiante lea, comprenda, asimile y logre exponer para un público interesado sobre:

la dimensión global;
conjeturas homológicas;
problemas abiertos,

en esta familia de álgebras.
Sea Λ un álgebra de dimensión finita sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado. Denotamos por modΛ la categoría de Λ-módulos a izquierda, finitamente generados. Como primer punto de trabajo, se propone estudiar las álgebras de dimensión global finita. O sea, álgebras donde cada X ∈ modΛ admite una resolución proyectiva finita, o equivalentemente donde cada módulo S simple admite una resolución proyectiva finita.
Es bien sabido que la dimensión global de Λ, gldimΛ, en caso de ser finita es el máximo de las longitudes de las resoluciones proyectivas minimales finitas de los módulos simples. Estas nociones se remontan al libro pionero de Cartan y Eilenberg [CE].
Objetivos a explorar durante la pasantía.
El objetivo general de esta propuesta es que el/la estudiante haga una revisión de la literatura más importante en el área de álgebra homológica sobre álgebras de Artin, y aprenda las herramientas y resultados más importantes dentro de esta área. Al final de la pasantía, se espera que el/la estudiante tenga un dominio de esta literatura y esté más familiarizado/a con la lectura de artículos científicos. Como objetivos específicos, podemos mencionar los siguientes:

Introducción al álgebra homológica clásica (módulos proyectivos, inyectivos y planos, funtores Hom y de torsión, funtores derivados).
Estudio de los conceptos de dimensión proyectiva, dimensión inyectiva, dimensión global. Teorema de Auslander: la dimensión global queda determinada por la dimensión proyectiva de los módulos simples.
Ejemplos de familias de álgebras con dimensión global finita y ejemplos de familias de álgebras con dimensión global infinita.
Conjetura finitista.
Otras conjeturas homológicas. Técnicas de reducción para las Conjeturas homológicas.
Introducción a algunos problemas abiertos en el área.

Lugar: Facultad de Ingeniería.
Código: M004
Dedicación aproximada: 12 hs durante 5 meses.

Cálculo Lambda y sus modelos categóricos - Octavio Malherbe.

Propuesta completa: Link.
Resumen: En la década de 1970, a través de una serie de publicaciones [1][2][3], J. Lambek estableció una conexión fundamental entre ciertos aspectos de la lógica matemática y la teoría de categorías. Analicemos el estado de las cosas antes de que su teoría fuera desarrollada. Por un lado, en la década de 1930, el cálculo lambda y la lógica combinatoria, desarrollados por Church, Curry y Schönfinkel, representaban teorías formales diseñadas para abordar el proceso de sustitución de términos en la lógica. Por otro lado, en la década de 1940, la teoría de categorías emergió como una teoría de teorías matemáticas, con el objetivo de captar las características subyacentes en común de los procesos de abstracción en la creación matemática.
Es sorprendente que Lambek haya podido precisar en qué medida estas dos teorías tienen un trasfondo común. Debemos aclarar que estas ideas ya estaban presentes en el ámbito de la matemática fundamental mucho antes, gracias a los trabajos de Lawvere, Freyd entre otros. Lo notable del trabajo de Lambek es que supo describir con precisión la teoría formal concreta de la intersección de ideas que poseen estas dos teorías matemáticas. En su trabajo "Functional Completeness" [4], Lambek logra trasladar las ideas de abstracción y completitud demostradas por Schönfinkel en el ámbito de la lógica combinatoria a la teoría de categorías. La idea de que cualquier computación que se puede establecer asumiendo una variable con el aspecto de un polinomio P(x) se puede expresar de forma canónica como la computación de un término puro f de la teoría (sin esa variable) y la variable x, es decir, P(x) = f x, circunscribiendo esto a una extensión de la categoría original. Este resultado, que a primera vista parece inocente, es traducido por Lambek al contexto de la teoría de categorías, convirtiéndose en una herramienta fundamental para comprender la equivalencia que posteriormente establece entre las categorías cartesianas cerradas y el cálculo lambda tipado.
En este proyecto de investigación, nos proponemos estudiar el momento inicial de las investigaciones de Lambek. La idea es comprender el artículo en el que establece el resultado de completitud funcional con el objetivo en mente de adaptarlo a nuevas investigaciones y sacar partido de ese beneficio que se obtiene al tener un control más riguroso de las variables ligadas. Para ello, en una primera instancia, realizaremos lecturas dirigidas para incorporar las herramientas básicas relacionadas con la teoría de categorías y la lógica combinatoria. No se requiere un alto grado de especialización en estos temas. Estimamos que cuatro meses serán suficientes para alcanzar un nivel mínimo, permitiéndonos comenzar con la lectura del artículo de Lambek en el quinto mes.
[1] J. Lambek. “Deductive systems and categories I". J. Math. Systems Theory 2, 278-318. 1968.[2] J. Lambek. “Deductive systems and categories II", Springer LNM 86, pp. 76-122. 1969.[3] J. Lambek. “Deductive systems and categories III", Springer LNM 274, pp. 57-82. 1972.[4] J. Lambek. “Functional completeness of Cartesian Categories". Ann. Math. Logic 6, 259-92. 1974.[5] Alejandro Díaz-Caro and Gilles Dowek. “A linear linear lambda-calculus", Mathematical Structures in Computer Science, pages: 1–35, 2024.[6] Alejandro Díaz-Caro and Octavio Malherbe. “The Sup Connective in IMALL: A Categorical Semantics". 2024, Draft at arXiv:2205.02142.
Lugar: Facultad de Ingeniería.
Código: M005
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Métodos de clasificación en dimensiones altas mediante proyecciones al azar: un estudio de simulación - Leonardo Moreno (responsable) y Manuel Hernández.

Propuesta completa: Link.
Resumen: La estadística en altas dimensiones es una herramienta esencial en la era de la información, ya que permite el análisis, modelado y comprensión de datos complejos y de gran volumen en múltiples disciplinas. Por ejemplo, tiene aplicaciones relevantes en áreas como la Bioinformática y Genómica, el Aprendizaje Automático, la Econometría y Finanzas, así como en el estudio de Redes Sociales y el Text Mining, por citar algunos ejemplos. Esta temática enfrenta desafíos significativos que van desde problemas computacionales y de estabilidad hasta la interpretación y evaluación de modelos. Abordar estos desafíos requiere el uso de técnicas más complejas, ya que la información se encuentra “escondida” en los datos. Generar herramientas estadísticas que puedan revelar esta información es un reto desafiante en estadı́stica. A medida que aumenta la dimensión de los datos (o incluso se torna infinita), muchos métodos clásicos se vuelven ineficientes o incluso inaplicables. En este sentido, uno de los principales focos de estudio en la estadística actual es desarrollar herramientas o transformar métodos clásicos para que conserven su eficacia en alta dimensión. Una forma de abordar este problema y superar muchos de los desafı́os asociados con el análisis de datos complejos y masivos es mediante métodos de proyección de los datos sobre subespacios lineales de dimensión k, en particular sobre subespacios unidimensionales. Las proyecciones facilitan el análisis y la comprensión de los datos, permitiendo una mejor visualización y comprensión del objeto en cuestión. Sin embargo, esta metodología plantea diversas interrogantes, como la selección óptima de estos subespacios y la elección adecuada de su dimensión. Esta primera etapa de la investigación se centrará en el uso de estas técnicas en el área de la clasificación supervisada.
Lugar: Facultad de Ciencias Económicas y Administración.
Código: M006
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Derivaciones, subgrupos del grupo de Cremona afín y teoría de invariantes. - Ivan Pan.

Propuesta completa: Link.
Resumen: Se pretenden estudiar los conceptos básicos relacionados al estudio de las derivaciones de anillos de polinomios y su relación con la teoría de invariantes y el grupo de automorfismos del espacio afín. Más específicamente, nos centraremos en el estudios de derivaciones localmente de tipo finito, y en particular, de las que son localmente nilpotentes que corresponden a acciones del grupo aditivo de un cuerpo en el espacio afín.
Lugar: Facultad de Ciencias.
Código: M007
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Álgebra homológica Gorenstein - Marco A. Pérez (responsable) y Marcelo Lanzilotta.

Propuesta completa: Link.
Resumen: Se estudiarán las dimensiones homológicas Gorenstein proyectivas, Gorenstein inyectivas y Gorenstein planas en la categorías de módulos sobre un anillo asociativo con identidad, y se analizarán resultados particulares sobre estos tipos de dimensiones para módulos finitamente generados sobre un álgebra. El/la estudiante que participe de este proyecto deberá adquirir a lo largo de la pasantía un dominio básico de la literatura en el álgebra homológica Gorenstein, conocimiento de los módulos y dimensiones Gorenstein como objeto de estudio y sus aplicaciones en la teoría de invariantes homológicos (como por ejemplo, a la dimensión global de un anillo), y familiaridad con las técnicas de demostración en el área (construcciones de aproximaciones por clases de módulos, cálculos mediante propiedades de los funtores derivados y sucesiones exactas, construcciones universales en la categoría de módulos sobre un anillo). Específicamente, se trabajará en los siguientes temas a lo largo de la pasantía:
(1) álgebra homológica básica (módulos proyectivos, inyectivos y planos, funtores Hom, producto tensorial, de extensión y de torsión); (2) módulos Gorenstein proyectivos y sus propiedades, junto con las contrapartes de módulos Gorenstein inyectivos y Gorenstein planos; (3) ejemplos de módulos Gorenstein; (4) aplicaciones de los pares de cotorsión completos como herramienta de aproximación de módulos por medio de módulos Gorenstein; (5) dimensiones homológicas Gorenstein; (6) dimensiones global y débil Gorenstein de un anillo; (7) funtores derivados Gorenstein; (8) problema recientes en el área (simetría de la dimensión débil Gorenstein); (9) preguntas abiertas.
Lugar: Facultad de Ingeniería.
Código: M008
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

Geometría fractal de conjuntos hiperbólicos - Rafael Potrie.

Propuesta completa: Link.
Resumen: El objetivo del proyecto es familiarizarse con la dinámica hiperbólica con énfasis en la comprensión de la topología de los conjuntos hiperbólicos. En particular, se intentará abordar la pregunta de si el célebre Collar de Antoine puede ser un conjunto hiperbólico localmente maximal para un difeomorfismo de una 3-variedad.
Lugar: Facultad de Ciencias.
Código: M009
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

La Conjetura de Golomb-Welch y otros problemas de embaldosados - Claudio Qureshi.

Propuesta completa: Link.
Resumen: El objetivo de esta propuesta es estudiar las principales referencias y herramientas utilizadas en relación a la conjetura de Golomb y Welch (1970) que dice que no es posible embaldosar Z^n (n-plas de enteros) con bolas de Lee de radio e>1 si n>2. Este es un problema de naturaleza algebraica-combinatoria pero las herramientas utilizadas son de las más variadas (álgebra, teoría de números, grafos, análisis de Fourier, etc) y también tiene varias aplicaciones prácticas a problemas de telecomunicaciones. Al finalizar esta instancia de investigación el/la estudiante tendrá una noción del estado del arte y de las principales técnicas utilizadas en torno a este problema, capacitándole para en un futuro poder desarrollar investigación original en el área.
Lugar: Facultad de Ingeniería.
Código: M010
Dedicación aproximada: 10 hs durante 6 meses.

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