Algorithmique 1

Issu de : https://algo.developpez.com/tutoriels/initiation/

Un algorithme est une procédure de calcul bien définie qui prend en entrée un ensemble de valeurs et qui délivre en sortie un ensemble de valeurs.

Le but de ce cours est de vous apprendre les bases de l'algorithmique.

L'auteur : M. Delest.

I. Introduction

I-A. Notion d'algorithme

Définition 1.1. Un algorithme est une procédure de calcul bien définie qui prend en entrée un ensemble de valeurs et qui délivre en sortie un ensemble de valeurs.

Exemple 1.1

Problème : trier une suite de nombres entiers dans l'ordre croissant.

Entrée : suite de n nombres entiers (a1,a2… an)

Sortie : une permutation de la suite donnée en entrée (a′1,a′2… a′n) telle que a′1≤a′2≤⋯≤a′n

. À partir de la suite (6,9,2,4), un algorithme de tri fournira le résultat (2,4,6,9).

Définition 1.2. Une valeur particulière de l'ensemble des valeurs données en entrée est appelée instance du problème.

Exemple 1.1 (suite)

La valeur (6,9,2,4) est une instance du problème.

Définition 1.3. Un algorithme est correct, si pour toute instance du problème il se termine et produit une sortie correcte.

Les algorithmes peuvent être spécifiés en langage humain ou tout langage informatique. Dans ce qui suit, nous utiliserons un langage proche du langage naturel. Nous donnerons une implémentation en Python.

Définition 1.4. Une heuristique est une procédure de calcul correcte pour certaines instances du problème (c'est-à-dire se termine ou produit une sortie correcte).

Ce cours n'aborde pas les heuristiques.

Pour qu'un algorithme puisse être décrit et s'effectue, les données d'entrées doivent être organisées.

Définition 1.5. Une structure de données est un moyen de stocker et d'organiser des données pour faciliter leur stockage, leur utilisation et leur modification.

De nombreux problèmes nécessitent des algorithmes :

bio-informatique ;
moteur de recherche sur Internet ;
commerce électronique ;
affectation de tâches.

Définition 1.6. L'efficacité d'un algorithme est mesurée par son coût (complexité) en temps et en mémoire.

Un problème NP-complet est un problème pour lequel on ne connaît pas d'algorithme correct efficace, c'est-à-dire réalisable en temps et en mémoire. Le problème le plus célèbre est le problème du voyageur de commerce.

L'ensemble des problèmes NP-complets ont les propriétés suivantes :

si on trouve un algorithme efficace pour un problème NP complet alors il existe des algorithmes efficaces pour tous ;
personne n'a jamais trouvé un algorithme efficace pour un problème NP-complet ;
personne n'a jamais prouvé qu'il ne peut pas exister d'algorithme efficace pour un problème NP-complet particulier.

I-B. Notion de complexité

L'efficacité d'un algorithme est fondamentale pour résoudre effectivement des problèmes.

Exemple1.2.

Supposons que l'on dispose de deux ordinateurs. L'ordinateur A est capable d'effectuer 10⁹ instructions par seconde. L'ordinateur B est capable d'effectuer 10⁷ instructions par seconde. Considérons un même problème (de tri par exemple) dont la taille des données d'entrées est n. Pour l'ordinateur A, on utilise un algorithme qui réalise 2n² instructions. Pour l'ordinateur B, on utilise un algorithme qui réalise 50nlog(n)

instructions. Pour traiter une entrée de taille 10⁶ : l'ordinateur A prendra 2000 s et l'ordinateur B prendra 100 s. Ainsi, même si la machine B est médiocre, elle résoudra le problème 20 fois plus vite que l'ordinateur A.

Définition 1.1. La complexité d'un algorithme est :

en temps, le nombre d'opérations élémentaires effectuées pour traiter une donnée de taille n ;
en mémoire, l'espace mémoire nécessaire pour traiter une donnée de taille n.

Dans ce cours, nous considérerons que la complexité des instructions élémentaires les plus courantes sur un ordinateur ont un temps d'exécution que l'on considérera dans ce cours comme constant égal à 1. Les instructions élémentaires sont : addition, multiplication, modulo et partie entière, affectation, instruction de contrôle. Ce qui intéresse fondamentalement l'algorithmique, c'est l'ordre de grandeur (au voisinage de l'infini) de la fonction qui exprime le nombre d'instructions. Les courbes de références sont ici.

I-C. Langage de description d'algorithmes

Il est nécessaire de disposer d'un langage qui soit non lié à l'implémentation. Ceci permet une description plus précise des structures de données ainsi qu'une rédaction de l'algorithme plus souple et plus « lisible ». Le langage EXALGO est un exemple de ce qui peut être utilisé et qui sera utilisé dans ce cours. Il est composé de chaînes de caractères alphanumériques, de signes opératoires (+, -, *, /, <, <=, >=, >, <>, ==, =, ou, non, et), de mot-clés réservés, et de signes de ponctuation : ''=, ;, (, ), début, fin, //. Les balises début et fin peuvent être remplacées par { et }.

Python n'utilise pas de marqueurs de fin. Le caractère « : » est le marqueur de début et quand l'indentation cesse Python considère que c'est un marqueur de fin.

II. Codage et structures de contrôle

II-A. Définitions

Définition 2.1. Un type abstrait est un triplet composé :

d'un nom ;
d'un ensemble de valeurs ;
d'un ensemble d'opérations définies sur ces valeurs.

Les types abstraits de base de l'algorithmique sont :

entier, caractère, booléen, réel

que l'on écrit respectivement en EXALGO

entier, car, booléen, réel

Définition 2.2. Une variable est un triplet composé :

d'un type (déjà défini) ;
d'un nom (a priori toute chaîne alphanumérique) ;
d'une valeur.

On écrit en EXALGO

var NomDeVariable : Type;

Type est à prendre pour l'instant dans l'ensemble {entier, car, booléen, réel}.

Définition 2.3. Les Expressions sont constituées à l'aide de variables déjà déclarées, de valeurs, de parenthèses et d'opérateurs du (des) type(s) de variables concernées.

Définition 2.4. L'affectation est l'instruction qui permet de stocker une valeur dans une variable.

On écrit :

NomDeVariable = ExressionDuTypeDeLaVariable;

Toute variable doit être déclarée et recevoir une valeur initiale.

II-B. Types de base

II-B-1. Booléens

Une variable de type booléen prend comme valeur VRAI ou FAUX. Les opérations usuelles sont ET, OU et NON qui sont données dans les tables qui suivent :

II-B-2. Entiers

Une variable de type entier peut prendre comme valeur l'ensemble des nombres entiers signés. Les opérations associées sont les opérations usuelles +,-,*,/.

II-B-3. Réels

Une variable de type réel peut prendre comme valeur l'ensemble des nombres réels. Les opérations associées sont les opérations usuelles +,-,*,/.

II-B-4. Caractères

Une variable de type car peut prendre comme valeur l'ensemble des caractères imprimables. On notera les valeurs entre guillemets. On considère souvent que les caractères sont ordonnés dans l'ordre alphabétique.

II-B-5. Attention

Les valeurs :

"1" qui est un caractère ;
1 qui est un entier ;
1. qui est un réel ;

sont différentes et ne seront pas codées de la même manière dans la mémoire de la machine.

II-B-6. Comparaison

Les opérateurs <, ≤, ==, !=, >, ≥ permettent de comparer les valeurs de type entier, réel et caractère. Le résultat de cette comparaison est une valeur booléenne.

II-C. Structures de contrôle

Il y a trois structures principales de contrôle qui permettent de construire des algorithmes.

Bloc d'instructions :

début

  instruction1

  instruction2

  ..........

fin

Alternative :
- Alternative simple :

Traduction Python

if ExpressionBooléenne:

       BlocInstruction1

else:

       BlocInstruction2

si ExpressionBooléenne alors

  BlocInstructions1

sinon

  BlocInstructions2

finsi;

Alternative multiple (traduction Python) :

Traduction Python

if cas1:

       BlocInstruction1

elif cas2:

       BlocInstruction2

elif .....:

       .....

......

else:

       BlocInstruction

selon que

  cas  cas1  : BlocInstructions1

  cas  cas2  : BlocInstructions2

  ..........

  autrement  :  BlocInstruction

finselonque

Répétition
L'instruction exit permet d'arrêter la répétition.
- Le bloc d'instructions peut ne pas être exécuté :

Traduction Python

while ExpressionBooléenne:

       BlocInstruction

.......

tant que ExpressionBooléenne faire

  BlocInstructions

fintantque;

Le bloc d'instructions peut ne pas être exécuté et il y a une variable indicatrice :

Traduction Python

for VariableIndicatrice in range(ValeurInitiale,ValeurFinale,ValeurPas):

       BlocInstruction

.............

 pour VariableIndicatrice

  allant de ValeurInitiale à ValeurFinale

  par pas de ValeurPas faire

    BlocInstructions

finpour;

Le bloc d'instructions est exécuté au moins une fois (ne se traduit pas directement en Python) :

répéter

  BlocInstructions

jusqu'à ExpressionBooléenne finrépéter;

II-D. Fonctions

Une fonction est une section d'algorithme qui a un objectif bien défini et un nom. En général, elle communique avec l'extérieur par le biais de paramètres typés. Elle possède des variables locales qui ne sont pas visibles à l'extérieur de la fonction. Ces variables peuvent être des fonctions. Une fonction retourne une valeur par l'instruction simple retourne(Expression). L'expression peut être :

vide, tout s'est bien passé, mais il n'y a pas de résultat à retourner : retourne() ;
sans résultat, il est impossible de retourner un résultat suite à un cas de figure de l'instance : retourne(NUL).

II-D-1. Syntaxe

Écriture de la fonction :

fonction NomDeFonction (ListeParamètres) :TypeRésultat;

  // déclarations des variables ou fonctions locales autres que les paramètres

  début

    // partie instruction qui contient l'appel à retourne

fin

finFonction

Liste des paramètres
Les paramètres sont passés :
- par référence ref, on écrit :

ref ListeVariable NomDeType

la fonction travaille directement dans la variable passée en paramètre ;

par valeur val, on écrit :

val ListeVariable:NomDeType

la fonction travaille sur une copie de la variable passée en paramètre.

Le type du résultat est vide si la fonction ne renvoie pas de résultat.

II-D-2. Utilisation

Une fonction s'utilise en écrivant :

NomDeFonction(ListeInstanceParamètres)

dans le calcul d'une expression, si la fonction retourne une valeur ;
comme une instruction simple, si elle ne retourne pas de valeur.

II-D-3. Exemple

fonction exemple(val n :entier;ref m : entier) :vide;

  début

    n = 5;

    m = 7;

fin

finFonction

Supposons que l'on ait la séquence suivante :

var p,q :entier;

début

  p = 1;

  q = 2;

  exemple(p,q);

fin

Après exécution p contiendra 1 et q contiendra 7 (Animation ici).

III. Description d'algorithme - Langage EXALGO

EXALGO permet de fixer les quelques règles élémentaires permettant d'écrire des algorithmes en s'affranchissant l'implémentation.

III-A. Généralités

Le langage EXALGO est composé de chaînes de caractères alphanumériques, de signes opératoires, de mot-clés réservés, et de signes de ponctuation : =, ;,(,), début, fin, //. Les marqueurs de fin, début et fin peuvent être remplacés par { et } lorsqu'il y a encombrement.

III-B. Type

Types prédéfinis : entier, car, booléen, réel ;

Définition de type

type NomDeType = TypePrédéfini;

Définition d'un tableau d'entiers

typeNomDeType = tableau 1..limite deTypePrédéfini;

III-C. Variables

var NomDeVariable: TypePrédéfini;

III-D. Expressions

Constituées à l'aide de variables déjà déclarées, de parenthèses et d'opérateurs du (des) type(s) des variables concernées.

III-E. Instructions simples

affectation :

NomDeVariable = ExressionDuTypeDeLavariable;

sortie de calcul : exit, retourne().

III-F. Structure de contrôle

Bloc d'instruction :

Bloc d'instruction

Instruction1

instruction2

.............

Alternative :

si ExpressionBooléenne alors

     BlocInstruction1

sinon

     BlocInstruction2

finsi;

Alternative multiple :

selon que

     cas cas1 : BlocInstruction1

     cas cas2 : BlocInstruction2

     .............

     autrement : BlocInstruction

finselonque

Répétition : exit permet d'arrêter la répétition
- le bloc d'instruction peut ne pas être exécuté

tant que ExpressionBooléenne faire

     BlocInstruction

fintantque;

le bloc d'instruction peut ne pas être exécuté et il y a une variable indicatrice

 pour VariableIndicatrice

     allant de ValeurInitiale à ValeurFinale

     par pas de ValeurPas faire

           BlocInstruction

finpour;

le bloc d'instruction est exécuté au moins une fois

répéter

     BlocInstruction

jusqu'à ExpressionBooléenne finrépéter;

III-G. Fonctions

Une fonction retourne une valeur par l'instruction simple (retourne(Expression)). Une fonction s'utilise dans le calcul d'une expression ou comme instruction simple.

Écriture de la fonction :

fonction NomDeFonction (ListeParamètres):TypeRésultat;

  // déclarations des variables locales autres que les paramètres

  début

    // partie instruction qui contient l'appel à retourne()

fin

finFonction

Liste des paramètres .
Les paramètres sont passés :
- par référence ref, on écrit :

ref ListeVariable:NomDeType

par valeur val, on écrit :

val ListeVariable:NomDeType

Le type du résultat est vide si la fonction ne renvoie pas de résultat.

III-H. Types

III-H-1. Type structuré

Un type structuré est constitué à partir de types de base ou d'autres types déclarés.

 type NomDeType: structure

                  champ1:NomDeType1

                  champ2:NomDeType2

…

                finstructure

Après la déclaration :

var E:NomDeTypeEnregistrement

on accède aux différents champs par le nom de la variable suivi d'un point suivi du nom de champ (E.champ1).

III-H-2. Type pointeur

Si O est un objet de type T, on accède à l'objet par O^. Si on déclare :

var P:^NomDeType

alors on peut obtenir un objet accessible par allouer(P). Lorsqu'on n'utilise plus l'objet, il faut libérer l'espace qu'il utilise par desallouer(P).

IV. Structures de données

IV-A. Définition

Définition 3.1. Une séquence sur un ensemble E est une suite d'éléments (e1,e2,…en) d'éléments de E.

Une séquence peut contenir des éléments identiques de l'ensemble E.

Exemple 3.1 (3,5,8,2,12,6) : est une séquence d'éléments de N, ensemble des entiers naturels. ("a","z","T","A","a") est une séquence sur l'ensemble des caractères imprimables (char).

Il existe plusieurs variantes de séquences suivant les opérations de manipulation autorisées : accès par l'indice de l'élément ou non, accès à la fin de la séquence ou non…

On utilisera en général des noms particuliers dépendant des caractéristiques de la séquence.

Exemple 3.2 : Un vecteur peut être défini par une séquence dans laquelle l'accès aux éléments se fait par son indice et la taille de la séquence dépend de l'espace dans lequel on se trouve. On dit aussi qu'on a un accès direct à l'élément. Dans la plupart des langages de programmation, le vecteur existe sous le nom d'array.

Exemple 3.3 : Soit la procédure calculant la factorielle :

fonction fac(val n :entier) :entier;

  début

    si n <= 1 alors

       retourner(1)

    sinon

      retourner(n * fac(n-1))

    finsi

fin

finfonction

Programme Python

def fac(n):

    if (n<=1) :

        return 1

    else :

        return n*fac(n-1)

print(fac(5))

La séquence des valeurs de n au cours des appels récursifs doit être mémorisée. Supposons l'appel fac(4) alors :

il y aura appel de fac(3), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(4) ;
il y aura appel de fac(2), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(3,4) ;
il y aura appel de fac(1), la mémorisation de n se fera par la séquence L=(2,3,4) ;
après exécution de fac(1), la valeur est supprimée en tête de séquence L=(3,4) ;
après exécution de fac(2), n prend pour valeur la tête de la séquence et la valeur est supprimée en tête de séquence L=(4) ;
après exécution de fac(3), n prend pour valeur la tête de la séquence et la valeur est supprimée en tête de séquence L=().

IV-B. Structure

Soit F1, F2,…, Fp

des ensembles.

Définition 3.2. Une structure sur F1×F2×⋯×Fp

est une séquence (f1, f2,…, fk)

telle que

∀i∈[1..k],fi∈Fi.

Les structures sont des cas particuliers de séquences. En algorithmique, chaque ensemble Fi

peut être un type de base ou une structure. Ce mécanisme permet de définir de nouveaux types plus complexes que les types de base. En EXALGO, on écrit :

nom_du_type = structure

                nom_champs_1 :type1;

                nom_champs_2 :type2;

…

                nom_champs_k :typek;

              finstructure

Cela signifie que lorsqu'une variable est déclarée de ce type, elle référence k variables en même temps. Soit V une variable dont le type est une structure, on désigne un des champs par V. suivi du nom du champ.

Exemple 3.4 : Une date de naissance est un exemple de structure. On peut écrire :

dateDeNaissance = structure

                    jourDeNaissance: entier;

                    moisDeNaissance: entier;

                    annéeDeNaissance: entier;

                  finstructure

On peut définir une structure composée du sexe et de la date de naissance :

individu = structure

             sexe :booléen

             date :dateDeNaissance;

           finstructure.

Soit la déclaration :

var I :individu

alors I.sexe sera un booléen et I.date.jourDeNaissance sera un entier. Ainsi les instructions suivantes ont un sens :

I.date.jour = 12;

I.sexe = faux;

IV-C. Table d'association à clé unique

Définition 3.3 : Soit F un ensemble. Une table d'association à clé unique est une séquence d'éléments de N×F

(N est l'ensemble des entiers naturels), ((c1,f1), (c2,f2),…, (ck,fk))

telle que :

∀i,j∈[1..k],i≠j,ci≠cj

Les tables d'association sont un cas particulier de séquences d'éléments structurés. La structure se décrit en EXALGO :

association = structure

        cle :entier;

        valeur :type_prédéfini;

      finstructure

Exemple 3.5 : Lors de l'activation du compte électronique, l'étudiant de l'Université Bordeaux 1 fournit un numéro INE qui sera associé à un mot de passe. On a donc quelque part dans le système de gestion des comptes une table d'association à index unique dont l'élément de séquence est :

Etudiant = structure

             INE :entier;

             motDePasse :typeMotDePasse;

           finstructure

V. Complexité

V-A. Définitions

Définition 4.1. (Notation de Landau). On dit que f=O(g) s'il existe deux nombres réels k,a>0 tels que ∀x>a,|f(x)|≤k|g(x)|.

Exemple 4.1. Si le nombre d'instructions est égal à f(n)=an2+bn+c avec a,b,c des constantes réelles, alors f(n)=O(n2).

Les figures permettent de comparer les fonctions usuelles utilisées pour décrire la complexité d'un algorithme en fonction de la taille n des données d'entrées. Parmi les fonctions usuelles, le log à base 2 de nlog2(n) joue un rôle important. Pour un algorithme A, notons CA(D), le coût de l'algorithme A pour une instance D.

Définition 4.2. On définit les trois complexités suivantes :

complexité dans le pire des cas :
C>A(n)=max{CA(d),d donnée de taille n}

· · complexité dans le meilleur des cas :

C<A(n=min{CA(d),d donnée de taille n}

· · complexité en moyenne :

CA(n)=∑d instance de APr(d)CA(d)

où Pr(d) est la probabilité d'avoir en entrée une instance d parmi toutes les données de taille n.

Soit Dn l'ensemble des instances de taille n. Si toutes les instances sont équiprobables, on a :

CA(n)=1|Dn|∑d instance de ACA(d)

Parfois, il est nécessaire d'étudier la complexité en mémoire lorsque l'algorithme requiert de la mémoire supplémentaire (donnée auxiliaire de même taille que l'instance en entrée par exemple).

V-B. Structures de contrôle

Les algorithmes font intervenir les opérations élémentaires suivantes :

opérations élémentaires +, -, *, / ;
test d'expression booléenne ;
appel de fonctions.

Les complexités en temps des structures sont données ci-dessous :

bloc d'instructions : somme des coûts des instructions ;
Alternative :
- Alternative simple : un test,
- Alternative multiple :
  - complexité minimum : un test ,
  - complexité maximum : nombre de cas possible-1 ;
Répétition
Soit BT(n)

(resp. BO(n)) la complexité en nombre de tests (resp. d'opérations élémentaires) de la suite d'instructions à itérer, et k

le nombre de fois où l'itération s'effectue alors la complexité sera de :

kBT(n)+1

· pour le nombre de tests ;

· kBO(n)

· pour le nombre d'opérations du « tant que » et du « répéter » ;

· k(BO(n)+1)

· pour le nombre d'opérations du « pour ».

V-C. Exemples

V-C-1. Somme des N premiers entiers

 fonction suite(val n :entier) :entier;

  var i,s :entier;

  début

    s = 0;

    pour i allant de 1 à n faire

      s = s + i;

    finpour;

    retourner(s)

fin

finfonction;

Source Python

#! /usr/bin/python

def somme(n):

    s= 0

    for i in [n]:

         s = s+i

   return s

print suite(4)

On a :

C>suite(n)=C<suite(n)=Csuite(n)=O(n)

V-C-2. Apparition d'une pile dans une suite de n lancers d'une pièce

Entrée : un entier n

Sortie : « vrai » si on rencontre une pile, « faux » sinon.

La fonction suivante retourne « vrai » lorsque l'un des lancers est égal à 6 et « faux » sinon.

fonction jeuDePile(val n :integer) :booléen;

  var i : entier;

  début

    pour i allant de 1 à n faire

      f = résultat_lancer_pièce()

      si (f==pile) alors

        retourner(vrai)

      finsi

    finpour

    retourner(faux)

fin

finFonction

Source Python

#! /usr/bin/python

# Module pour calculer un nombre aléatoire

import whrandom

def rand():

    return int(whrandom.random() * 32768.0) % 32768

# Lancer de pile

def resultat_lancer_piece():

    return rand()*2/32767

def jeu_de_pile(n):

    for i in [n]:

         f = resultat_lancer_piece()

         if (f == 1):

             return 1

         return 0

print jeu_de_pile(4)

C>suite(n)=O(n)

· (On ne tire jamais de pile)

· C<pile(n)=O(1)

· (On tire une pile le premier coup)

· Les faces du dé apparaissent de manière équiprobable et les tirages sont indépendants. On peut montrer que le coût moyen de l'algorithme est : Cpile(n)=O(1)

V-D. Les courbes « étalon »

V-D-1. n, log(n), nlog(n)

V-D-2. nlog(n), n2, n3

V-D-3. n2, 1.5n ,2n

V-D-4. 2n, nn n !

V-E. Formule de Stirling

n! = e^-nnⁿ(2.pi.n)^0.5

VI. Tableaux

VI-A. Définition

Définition 5.1. Un tableau est une table d'association à clé unique telle que :

le nombre d'éléments de la table (dimension ou taille) est constant ;
l'accès aux éléments s'effectue directement par la clé ;
les valeurs minimum et maximum des clés sont des constantes.

On écrit en EXALGO :

nom_tableau = tableau[min_indice..max_indice] de type_predefini;

ce qui signifie que :

les éléments ont pour type le type_prédéfini ;
les indices des éléments vont de min_indice à max_indice, avec min_indice < max_indice.

La taille du tableau est donc max_indice - min_indice + 1. Pour accéder à un élément d'un tableau T d'indice I, on écrit T[I]. La complexité de l'accès à un élément du tableau est O(1).

Soit min_indice< i<j <max_indice, on notera T[i..j] la séquence des éléments de T (T[i],T[i+1],…,T[j]).

Beaucoup d'algorithmes peuvent être décrits sans préciser un type particulier. Dans ce cas, on écrira à la place de type_prédéfini le mot élément et on précisera les valeurs possibles pour élément.

Exemple 5.1. Soit deux tableaux :

TC = tableau[1..10] de car; ;
TE = tableau[1..10] d'entiers;.

L'algorithme qui permet de trier TC et TE est le même. Seul diffère le type de l'élément manipulé. On écrira dans ce cas un algorithme sur un tableau.

T = tableau[1..10] d'éléments;

et on précisera que l'élément est dans {car,entier}.

VI-B. Primitives

Les paramètres tableaux doivent, sauf raison majeure, être passés en paramètre par référence afin d'éviter la recopie.

VI-B-1. Initialisation d'un tableau

fonction init(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'éléments;

             val valeurInitiale :élément) :vide;

  var i :entier;

  début

    pour i allant de min_indice à max_indice faire

      T[i] = valeurInitiale

    finpour

fin

finfonction

Complexité : O(n)

VI-B-2. Taille d'un tableau

fonction taille(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'éléments) :entier;

  début

    retourner(max_indice - min_indice + 1)

fin

finfonction

Complexité : O(1).

VI-B-3. Échange d'éléments

fonction echange(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'éléments;

             val indice1,indice2 : entier) :vide;

  var e :élément;

  début

    e = T[indice1];

    T[indice1] = T[indice2];

    T[indice2] = e;

fin

finfonction

Complexité : O(1).

VI-B-4. Copie de tableau

fonction copie(ref T1,T2 :tableau[min_indice..max_indice] d'élément;

             val indiceT1_1,indiceT1_2,indiceT2 : entier) :booléen;

   var i :entier;

  début

    si indiceT2+indiceT1_2-indiceT1_1>max_indice alors

      retourner(faux)

    sinon

      pour i allant de indiceT1_1 à indiceT1_2 faire

        T2[indiceT2] = T1[i];

        indiceT2 = indiceT2 + 1;

      finpour

      retourner(vrai)

fin

finfonction

Complexité :

minimum : O(1)
maximum : O(n)

Source Python

#! /usr/bin/python

# En Python, les tableaux peuvent être construits à partir des listes

# L'index varie de 0 à la taille du tableau -1

class Tableau:

    def __init__(self,taille,valinit):

        self.tableau = []

        for i in range(taille):

            self.tableau.append(valinit)

    def taille(self):

        return(len(self.tableau))

    def echange(self,i,j):

        tmp=self.tableau[i]

        self.tableau[i]=self.tableau[j]

        self.tableau[j]=tmp

        return()

    def copie(self,T1,indiceT_1,indiceT_2,indiceSelf):

        if indiceSelf+indiceT_2-indiceT_1 >self.taille():

            return(1)

        else:

            i=indiceT_1

            for i in range(indiceT_1,indiceT_2+1):

                self.tableau[indiceSelf]=T1.tableau[i]

                indiceSelf=indiceSelf+1

            return(0)

    def ecrire(self):

        for i in range(len(self.tableau)):

            print self.tableau[i],

        print

        return()

VI-C. Quelques exemples d'algorithmes

VI-C-1. Somme des éléments d'un tableau d'entiers

fonction somme(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'entiers) :entier;

  var s,i :entier;

  début

    s = 0;

    pour i allant de min_indice à max_indice faire

      s = s + T[i]

    finpour

    retourner(s)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

VI-C-2. Recherche d'un élément

Propriété 5.2. Soit i,j deux entiers, i<=j. Soit T un tableau d'éléments d'indice variant entre i et j. Pour tout élément e, appartenant au tableau T, on a :

T[i] = e ou e est dans T[i+1..j]

fonction cherche(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'éléments;val e :élément) :entier;

  var i :entier;

  début

    pour i allant de min_indice à max_indice faire

      si T[i]==e alors

        retourner(i)

      finsi

    finpour

    retourner()

fin

finfonction

Complexité :

minimum : O(1)
maximum : O(n)

Source Python

from  tableaux import Tableau

def chercheRecursif(T,e,min_indice,max_indice):

    if T.tableau[min_indice] == e:

        return(min_indice)

    else :

        if min_indice == max_indice :

            return()

        else :

            return(chercheRecursif(T, e, min_indice+1, max_indice))

def chercheIteratif(T,e):

    for i in range(T.taille()):

        if T.tableau[i] == e :

            return(i)

    return()

VI-C-3. Recherche de l'indice du premier élément minimum

On suppose que le tableau contient des éléments comparables (l'ensemble des éléments est muni d'une relation d'ordre). Choisissons ici, pour simplifier les notations, des entiers.

Propriété 5.3. Soit i,j deux entiers, i<=j. Soit T un tableau d'entiers d'indice variant entre i et j. Soit m l'élément minimum du tableau, on a :

T[i] = m ou m est dans T[i+1..j]

fonction minimum(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'entier) :entier;

  var i,sauv :entier;

  début

  sauv = min_indice;

  pour i allant de min_indice+1 à max_indice faire

    si T[i]<T[sauv] alors

      sauv = i

    finsi

  finpour

  retourner(sauv)

finfonction

Complexité : O(n)

VI-D. Matrices

VI-D-1. Déclaration

Une matrice M de dimension n×m est un tableau de dimension n dont chaque élément est un tableau de dimension m. On peut donc déclarer la matrice sous la forme suivante :

var M :tableau[1..n] de tableau [1..m] d'éléments;

VI-D-2. Initialisation

fonction initMatrice(ref M :tableau[1..n] de tableau [1..m]  d'éléments;

              val valeurInitiale :élément) :vide;

  var i,j :entier;

  début  pour i allant de 1 à n faire

    pour j allant de 1 à m faire

      M[i][j] = valeurInitiale

    finpour

  finpour

  retourner()

finfonction

Complexité : O(nm)

VI-D-3. Somme de deux matrices réelles

fonction sommeMatrice(ref M1,M2 :tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels) :

                      tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels;

  var i,j :entier;

  var M :tableau[1..n] de tableau [1..m] de réels;

  début

  pour i allant de 1 à n faire

    pour j allant de 1 à m faire

      M[i][j] = M1[i][j] + M2[i][j];

    finpour

  finpour

  retourner(M)

finfonction

Complexité : O(nm)

VII. Tri non récursif

On considérera dans tout ce chapitre que l'on manipule des entiers. L'objet du tri est d'ordonner une séquence de N entiers. On considérera que ces entiers sont rangés dans un tableau.

var T :tableau[1..N] d'entiers;

De plus, on considéra que l'ordre est croissant.

VII-A. Tri sélection

Ce tri est basé sur l'algorithme de recherche du minimum On adapte cet algorithme pour pouvoir effectuer la recherche dans un sous-tableau. On a le déroulement ici.

fonction minimumSoustableau(ref T :tableau[1..N] d'entiers, val Imin,Imax :entier) :entier;

   var sauv :entier;

  début

    sauv = Imin;

    pour i allant de Imin+1 à Imax faire

      si T[i]<T[sauv] alors

        sauv = i;

      finsi

    finpour

    retourner(sauv);

fin

finfonction

fonction triSelection(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  var i,j,indice_cle :entier;

  début

    pour i allant de 1 à N-1 faire

      indice_cle = minimumSoustableau(T,i,N);

      echange(T[i],T[indice_cle]);

    finpour

fin

finfonction

Propriété 6.1. La complexité de l'algorithme triSelection sur une instance de taille N est O(n2)

VII-B. Tri insertion et tri à bulle

Propriété 6.2. Soit T un tableau d'entiers trié d'indice variant entre i et j. Soit e un entier quelconque, alors on a l'une des propriétés suivantes :

e ≤ T[i] ;
il existe un unique entier k dans [i..j-1] tel que T[k] < e ≤ T[k+1] ;
e > T[j].

On déduit de cette propriété deux algorithmes permettant de trier un tableau.

VII-B-1. Tri insertion

fonction triInsertion(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  var i,j,cle :entier;

  début

    pour i allant de 2 à N faire

      cle = T[i];

      j = i-1;

      tant que j>0 et T[j]>cle faire

        T[j+1] = T[j];

        j = j-1;

      fintantque

      T[j+1] = cle;

    finpour

fin

finfonction

On a le déroulement ici.

Propriété 6.3. La complexité de l'algorithme triInsertion sur une instance de taille N est :

au minimum en O(N) ;
au maximum et en moyenne en O(N2)

Idée de la démonstration

La boucle « pour » s'effectue systématiquement et demandera O(N) opérations.

La boucle « tant que » effectue au minimum O(1) opération (cas où les nombres sont déjà triés) et au maximum O(N).

La boucle « tant que » effectue en moyenne O(N/2) opérations.

VII-B-2. Tri à bulle

fonction triBulle(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  var i,j,cle :entier;

  début

    pour i allant de 1 à N-1 faire

      pour j allant de N à i+1 par pas de -1 faire

        si T[j] < T[j-1] alors

          echange(T, j, j-1);

        finsi

      finpour

    finpour

fin

finfonction

On a le déroulement ici.

Propriété 6.4. La complexité de l'algorithme triBulle sur une instance de taille N est O(N2).

VII-C. Fusion de tableaux triés

Lorsque deux tableaux T1 et T2 sont triés, il est aisé de construire un nouveau tableau contenant la séquence triée regroupant les séquences correspondantes à T1 et T2.

PREMIERE VERSION

fonction fusion(ref T1 :tableau[1..N1] d'entier;

                                ref T2 :tableau[1..N2] d'entier

                                ) :tableau[1..N1+N2] d'entier;

  var I1,I2,i :entier;

  var T :tableau[1..N1+N2] d'entier;

  début

    I1 = 1;

    I2 = 1;

    pour i allant de 1 à N1+N2 faire

      si T1[I1]≤T2[I2] alors

        T[i] = T1[I1];

        I1 = I1+1;

      sinon

        T[i] = T2[I2];

        I2 = I2+1;

      finsi

    finpour

    retourner(T)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

Cette version ne fonctionne pas toujours. Par exemple, si I1 a dépassé N1 et vaut par exemple N1+1, on comparera T1[N1+1] à T2[I2] ce qui n'a pas de sens. Il faut donc utiliser un algorithme exact. On a le déroulement ici.

VII-D. Tri par dénombrement

Soit une séquence d'éléments de [0..k], il est alors possible de réaliser l'histogramme des valeurs. Par la suite le tri des éléments de la séquence se fait en temps linéaire O(n).

fonction triHisto(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  var H :tableau[0..maximum(T)] d'entier;

  var i,j,k,max : entier;

  début

    init(H,0);

    pour i allant de 1 à N faire

      H[T[i]] = H[T[i]] + 1;

    finpour

    i = 1;

    max = maximum(T);

    pour j allant de 0 à max faire

        pour k allant de 1 à H[j] faire

          T[i] = j;

          i = i+1;

        finpour

    finpour

fin

finfonction

On a le déroulement ici.

VII-E. Algorithme de fusion de deux tableaux

VII-E-1. Aide

On considère une nouvelle fonction copie qui copie un tableau dans un autre même s'ils n'ont pas la même définition. L'en-tête de la fonction est :

fonction copie(ref T1:tableau[1..N1] d'élément;

               ref T2:tableau[1..N2] d'élément;

               val indiceT1_1,indiceT1_2,indiceT2: entier):vide;

Le schéma de la fonction fusion est alors le suivant :

fonction fusion(ref T1:tableau[1..N1] d'entier;

                ref T2:tableau[1..N2] d'entier

                ):tableau[1..N1+N2] d'entier;

  var I1,I2,i:entier;

  var T:tableau[1..N1+N2] d'entier;

  début

    Initialiser I1,I2,i

    tant que I1 ≤ N1 et I2 ≤ N2 faire

        // ... On compare tant qu'il reste des éléments dans T1 et T2

    fintantque

    si I1 ≤ N1 alors

        // il n'y a plus d'éléments dans T2 :copier(..........)

    sinon

        // il n'y a plus d'éléments dans T1 :copier(..........)

    finsi

    retourner(T)

fin

finfonction

VII-E-2. Algorithme de fusion

fonction fusion(ref T1:tableau[D1..N1] d'entier;

                ref T2:tableau[D2..N2] d'entier

                ):tableau[1..N1+N2-D1-D2+2] d'entier;

  var I1,I2,i: entier;

  var T:tableau[1..N1+N2-D1-D2+2] d'entier;

  début

    i = 1;

    I1 = D1;

    I2 = D2;

    tant que I1 ≤ N1 et I2 ≤ N2 faire

      si T1[I1] ≤ T2[I2] alors

        T[i] = T1[I1];

        I1 = I1+1;

      sinon

        T[i] = T2[I2];

        I2 = I2+1;

      finsi

      i = i+1

    fintantque

    si I1 ≤ N1 alors

      copier(T1,T,I1,N1,i)

    sinon

      copier(T2,T,I2,N2,i)

    finsi

    retourner(T)

fin

finfonction

VII-E-3. Algorithme de fusion pour des morceaux de tableaux

fonction fusion(ref T1:tableau[D1..N1] d'entier;

                ref T2:tableau[D2..N2] d'entier;

                val DT1,FT1,DT2,FT2:entier):

                tableau[1..FT1+FT2-DT1-DT2+2] d'entier;

  var I1,I2,i:entier;

  var T:tableau[1..FT1+FT2-DT1-DT2+2] d'entier;

  début

    i = 1;

    I1 = DT1;

    I2 = DT2;

    tant que I1 ≤ FT1 et I2 ≤ FT2 faire

      si T1[I1] ≤ T2[I2] alors

        T[i] = T1[I1];

        I1 = I1+1;

      sinon

        T[i] = T2[I2];

        I2 = I2+1;

      finsi

        i = i+1

    fintantque

    si I1 ≤ FT1 alors

      copier(T1,T,I1,FT1,i)

    sinon

      copier(T2,T,I2,FT2,i)

    finsi

    Retourner(T)

fin

finfonction

VIII. Retour sur les fonctions, récursivité

VIII-A. Visibilité

Comme vu au chapitre Codage et structures de contrôle, on peut déclarer dans une fonction des variables et des fonctions locales :

fonction NomDeFonction (ListeParamètres) :TypeRésultat;

  // déclarations des variables ou fonctions locales

  début

    // partie instruction qui contient l'appel à retourner

fin

finFonction

La multi-imbrication possible des fonctions entraîne l'existence de problèmes de visibilité : entre les variables et entre les fonctions.

VIII-A-1. Visibilité d'une variable

Règle 1 : une variable V (locale ou non) est visible depuis sa déclaration jusqu'au marqueur finFonction de la fonction F où elle a été déclarée.
Règle 2 : si une fonction G est locale à F et déclare une variable V déjà déclarée dans F alors la variable originelle est momentanément cachée.

VIII-A-2. Exemple

Soit la fonction P suivante :

fonction P (....) :....;

  var x,y,z  : entier ;

  fonction R() :vide;

    var z,u,v  : entier ;

    début

      z = 0;

      u = 6;

...

    fin ;

  finFonction

  fonction Q(ref x :entier ) :....;

    var u,y  : entier ;

    début

      y = 4;

      x = x+y;

      u = 7

    fin ;

  finFonction

  début

    x = 1;

    y = 2;

    z = 3;

    R() …

    Q(z);

fin

finFonction

La fonction P déclare trois variables locales x, y, z et deux fonctions locales Q et R.
La fonction Q déclare deux variables locales u, y et un paramètre x.
La fonction R déclare trois variables locales z, u et v.

On a le déroulement ici.

VIII-A-3. Visibilité d'une fonction

Une fonction est visible depuis la fin de son entête jusqu'au finFonction de la fonction où elle a été déclarée. Cependant comme pour les variables, elle peut momentanément être cachée par une autre fonction ayant le même entête (surcharge).

VIII-A-3-a. Exemple

La fonction P suivante est annotée pour préciser la visibilité des fonctions Q,R,T.

fonction P(....) :....;

  .....

  fonction Q(....) :.....;

    .....

    fonction R(...) :.....;

      ....

      début

        ....// on peut utiliser P,Q,R

fin

    finFonction ;

    début

      ....// on peut utiliser P,Q,R

fin

  finFonction

  fonction T(...) :...;

    début

      ....// on peut utiliser P,Q,T mais pas R

fin

  finFonction ;

  début

    ... //// on peut utiliser P,Q,T mais pas R

fin

finFonction

VIII-B. Récursivité

La récursivité consiste à remplacer une boucle par un appel à la fonction elle-même. Considérons la suite factorielle, elle est définie par :

0!=1 ;
n!=n(n−1)!

La fonction peut s'écrire simplement :

fonction factorielle(val n :entier) :entier;

  début

    si (n == 0)

      retourne(1)

    sinon

      retourne(factorielle(n-1) * n)

    finsi

fin

finfonction;

On a le déroulement ici. On peut décrire sur le papier les changements et les appels sous la forme suivante :

Plusieurs appels à la fonction peuvent être exécutés dans son corps. Soit la suite dite de Fibonacci définie par :

u0=1 ;
u1=1 ;
un=un+1+un+2 pour n>2.

La fonction s'écrit tout aussi simplement :

fonction fibo(val n :entier) :entier;

  début

    si (n == 0) ou (n == 1) alors

      retourne(1)

    sinon

       retourne(fibo(n-1) + fibo(n-2))

    finsi

fin

finfonction;

On a le déroulement ici. On peut décrire sur le papier les changements et les appels sous la forme suivante :

VIII-C. Complexité

Examinons la suite définie par :

u1=1 ;
un=un−1+n pour n>1

Une fonction permettant le calcul de son n^e terme est :

fonction suite(val n :entier) :entier;

  var i,s :entier;

  début

    s = 0;

    pour i allant de 1 à n faire

      s = s+i;

    finpour;

    retourner(s)

fin

finfonction;

L'exemple ci-dessus devient en algorithme récursif :

fonction suiteR(val n :entier) :entier;

  début

    si n == 1 alors

      retourne(1)

    sinon

      retourne(suiteR(n-1) + n)

    finsi

fin

finfonction;

La complexité en nombre d'opérations de suite et suiteR est en O(n)

. On aurait donc tendance à préférer suiteR pour sa lisibilité. Cependant, si on examine la complexité en mémoire, suite est en O(1) alors que suiteR est en O(n).

La programmation non récursive est donc plus efficace. L'utilisation de la récursivité ne doit pas se faire au détriment de l'efficacité.

VIII-D. Exemples

Chaque fois que l'on désire programmer une fonction récursive, on doit répondre aux questions suivantes :

comment le problème au rang n se déduit-il de la solution à un (des) rang(s) inférieur(s) ?
quelle est la condition d'arrêt de la récursivité ?

VIII-D-1. Recherche d'un élément dans un tableau d'entiers

fonction cherche(ref T :tableau[min_indice..max_indice] d'éléments;

                 val e : élément) :entier;

  début

    si T[min_indice] == e alors

      retourner(min_indice)

    sinon

      si min_indice == max_indice alors

        retourner(NUL)

      sinon

        retourner(cherche(T[min_indice+1..max_indice], e))

      finsi

    finsi

fin

finfonction

VIII-D-2. Minimum dans un tableau d'entiers

fonction minimumTableau(ref T :tableau[1..N] d'entiers;

                        val Imin :entier) :entier;

  var sauv :entier;

  début

    si Imin == N alors

      retourner(T[N])

    sinon

      sauv = minimumTableau(T, Imin+1];

      si T[Imin] < sauv alors

        retourner(T[Imin])

      sinon

        retourner(sauv)

      finsi

    finsi

fin

finfonction

IX. Diviser pour régner

IX-A. Dichotomie

La dichotomie fait partie des méthodes dites « diviser pour régner ». Elle consiste pour un objet de taille N à exécuter un algorithme de façon à réduire le problème à un objet de taille N/2. On répète alors l'algorithme de réduction sur ce dernier objet. Ainsi, il suffit de connaître la résolution pour un problème de taille faible (typiquement N=1 ou N=2) pour obtenir la totalité de la résolution.Ce type d'algorithme est souvent implémenté de manière récursive. Lorsque cette technique est utilisable, elle conduit à un algorithme très efficace et très lisible.

Il est parfois nécessaire de traiter les données avant d'appeler la fonction récursive. La fonction récursive est alors une fonction locale à la fonction d'appel.

IX-B. Exemples

IX-B-1. Recherche du zéro d'une fonction croissante

Soit g une fonction croissante sur un intervalle [a,b] et telle que f(a)≤0 et f(b)≥0. L'algorithme ci-dessous permet de trouver la valeur x de [a,b] telle que f(x)=0 avec une précision e.

fonction zero(ref g(val n :réel) :fonction;val a,b,e :réel) :réel;

  var M :réel;

  début

    M = g((a+b)/2);

    si |M| < e alors

      retourne((a+b)/2)

    sinon

      si M > 0 alors

        zero(g, a, (a+b)/2, e)

      sinon

        zero(g, (a+b)/2, b, e)

      finsi

    finsi

fin

finfonction

IX-B-2. Trouver un élément dans un tableau ordonné

Nous avons déjà traité cet algorithme sous une autre forme au chapitre Tableaux.

Propriété 8.1. T un tableau d'entiers triés d'indice variant entre d et f. Posons m=⌊(d+f)/2⌋

. Soit e un entier appartenant à la séquence contenue dans T. On a l'une des propriétés suivantes :

T[m] = e ;
e est dans la séquence contenue dans T[d..m-1] ;
e est dans la séquence contenue dans T[m+1..f].

fonction cherche(ref T :tableau[1..N] d'entiers; val e :entier) :entier;

  var d,f :entier;

  fonction chercheRec(ref T :tableau[1..N] d'entiers; val d,f,e :entier) :entier;    var m;

    début

      si f == d alors

         si T[d] == e alors

           retourner(f)

        sinon

            retourner(NUL)

        finsi

      sinon

        m = partieEntiere((d+f)/2);

        si T[m] < e alors

          retourner(chercheRec(T,m+1,f,e))

        sinon

          retourner(chercheRec(T,d,m,e))

        finsi

      finsi

fin

  finfonction

  début

    d = 1;

    f = N;

    retourner(chercheRec(T,d,f,e))

fin

finfonction

Propriété 8.2. La complexité de la fonction cherche est O(log2(n)).

Idée de la preuve : la complexité de la fonction cherche est donnée par la complexité de chercheRec. Soit f(n)

le nombre de tests effectués par cette fonction.

On a :

f(n)f(1)=2+f(⌊n/2⌋)=2

Soit p tel que 2p≤n≤2p+1

On a donc p≤log2(n)≤p+1. De plus : f(n)=2∑i=0p1 et donc f(n)=2×(p+1).

IX-B-3. Remarque

L'algorithme de multiplication de deux matrices de dimension n×n

s'implémente facilement en O(n3). Strassen a montré qu'en utilisant une méthode « diviser pour régner », la multiplication peut s'effectuer en O(nln(7)/ln(2)).

La courbe se présente comme suit :

IX-C. Complexité

Un algorithme « diviser pour régner » a la structure suivante :

Construire une solution élémentaire pour n≤n0· ;

· Pour résoudre un problème de taille n>n0

l'algorithme consiste à décomposer le problème en sous-problèmes ayant tous la taille n/b (peut-être approximativement) ;
À appliquer l'algorithme à tous les sous-problèmes ;
À construire une solution du problème en composant les solutions des sous-problèmes.

La complexité en temps de l'algorithme est donc déterminée par une équation de récurrence de la forme :

C(n)=aC(n/b)+d(n)

qui après résolution permet de montrer que cette méthode conduit à des algorithmes plus efficaces en nombre d'opérations. Cependant, cela ne doit pas occulter l'aspect mémoire. La complexité en mémoire doit rester d'un ordre raisonnable. (cf. récursivité).

X. Tris récursifs

On considérera dans tout ce chapitre que l'on manipule des entiers. L'objet du tri est d'ordonner une séquence de N entiers. On considérera que ces entiers sont rangés dans un tableau :

var T :tableau[1..N] d'entiers;

De plus, on considéra que l'ordre est croissant.

X-A. Tri fusion

Cet algorithme consiste à diviser la séquence d'entiers en deux sous-séquences, à les trier de manière récursive, puis à fusionner les deux sous-séquences triées. On utilise la fonction fusion vue au chapitre tris non récursifs.

fonction triFusion(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  var d,f :entier;

  fonction fusionLocal(ref T :tableau[1..N] d'entier;

                          val d,m,f :entier) :vide;

    var C :tableau[1..f-d+1] d'entier;

    début

       C = fusion(T,T,d,m,m+1,f);

       copie(C,T,d,f,d);

fin

  finfonction

  fonction triFusionRec(ref T :tableau[1..N] d'entiers; val d,f :entier) :vide;

    début

      si d<f alors

        m = partieEntiere((d+f)/2);

        triFusionRec(T,d,m);

        triFusionRec(T,m+1,f);

        fusionLocal(T,d,m,f);

      finsi

fin

  finfonction

  début

    trifusionRec(T,1,N)

fin

finfonction

On a le déroulement ici.

Propriété 9.1. La complexité du tri fusion pour une séquence de n éléments est O(nlog2(n)).

idée de la preuve : la complexité de la fonction triFusion est donnée par la complexité de triFusionRec. Soit f(n)

le nombre de tests effectués par cette fonction. On a :

f(n)f(1)=1+2f(⌊n/2⌋)+3n=0

Soit p tel que 2p≤n≤2p+1. On a donc p≤log2(n)≤p+1

On en déduit :

f(n)=∑i=0p2i+3pn

f(n)=2p+1+3pn−1

X-B. Tri rapide

Cet algorithme consiste à utiliser une valeur x de la séquence pour diviser la séquence d'entiers en deux sous-séquences :

l'ensemble des valeurs inférieures ou égales à x ;
l'ensemble des valeurs supérieures à x.

Puis la procédure s'effectue récursivement sur les deux sous-séquences :

fonction triRapide(ref T :tableau[1..N] d'entiers) :vide;

  fonction diviserSequence(ref T :tableau[1..N] d'entier;

                           val d,f :entier) :entier;

    var x,i :entier;

    début

      x = T[f];

      i = d-1;

      pour j allant de d à f-1 faire

        si T[j] ≤ x alors

          i = i+1;

          echanger(T,i,j);

        finsi

      finpour

      echanger(T,i+1,f);

      retourner(i+1);

fin

  finfonction

  fonction triRapideRec(ref T :tableau[1..N] d'entiers; val d,f :entier) :vide;

    var p :entier;

    début

      si d<f alors

        p = diviserSequence(T,d,f);

        triRapideRec(T,d,p-1);

        triRapideRec(T,p+1,f);

      finsi

fin

  finfonction

  début

    triRapideRec(T,1,N)

fin

finfonction

On a le déroulement ici.

Propriété 9.2. La complexité du tri rapide pour une séquence de n éléments est :

au maximum en O(n2);
en moyenne et au minimum en O(nlog(n)).

XI. Une implémentation des polynômes

XI-A. Énoncé

Décrire une structure permettant de gérer des polynômes définis sur les réels. Écrire un ensemble de primitives associées permettant les principales opérations.

XI-B. Structure et primitives

On note n le degré (resp. le degré maximum) du polynôme (resp. des polynômes).

XI-B-1. Structure

Un polynôme peut être défini par son degré et un tableau contenant les coefficients. On définit également une primitive d'initialisation.

constante Taille = 200;

type polynome = structure

                    coeff:tableau[0..200] de réels;

                    degre: entier;

                finstructure

fonction init(ref p:polynome):vide;

  var i:entier;

  début

    p.degre = 0;

    pour i allant de 0 à Taille faire

      p.coeff[i] = 0;

    finpour

fin

finfonction

XI-B-2. Addition

On notera l'analogie avec l'algorithme de fusion de tableau.

fonction ajoute(ref p1,p2:polynome):polynome;

  var p:polynome;

  var m,i:entier;

  début

    m = min(p1.degre,p2.degre);

    pour i de 0 à m faire

      p.coeff[i] = p1.coeff[i] + p2.coeff[i]

    finpour;

    si m < p1.degre alors

      pour i de m+1 to p1[degre] do

        p.coeff][i] = p1.coeff][i];

      finpour:

      p.degre = p1.degre;

    sinon

      pour i de m+1 to p2[degre] do

        p.coeff[i] = p2.coeff[i];

      finpour:

      p.degre = p2.degre;

    finsi

    retourner(p);

  fin;

finfonction;

Complexité : O(n)

XI-B-3. Multiplication

fonction multiplie(ref p1,p2:polynome):polynome;

  var p:polynome;

  var i,j:entier;

  début

    init(p);

    p.degre=p1.degre + p2.degre;

    pour i de 0 à p1.degre;

      pour j de 0 à p2.degre faire

        p.coeff[i+j] = p.coeff[i+j] + p1.coeff[i] * p2.coeff[j];

      finpour

    finpour

  retourner(p);

fin

finfonction

Complexité : O(n2)

XI-B-4. Polynôme opposé

Soit :

P(x)=∑i=0naixi

Le polynôme opposé est :

Q(x)=∑i=0n−pixi

fonction moins(ref p:polynome):polynome;

  var i:entier;

  var m:polynome;

  début

    m.degre=p.degre;

    pour i de 0 à p.degre faire

      m.coeff[i] =- p.coeff[i];

    finpour

    retourner(m)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

XI-B-5. Multiplication par xn

fonction decale(ref p:polynome;val n:entier):polynome

  var i:entier;

  var d:polynome;

  début

    d.degre = p.degre + n;

    si n>0 then

      pour i de 0 à n-1 FAIRE

        d.coeff[i] = 0;

      finpour

      pour i de 0 à p.degre faire

        d.coeff[i+n] = p.coeff[i];

      finpour

    sinon

      pour i de -n à p.degre faire

        d.coeff[i+n] = p.coeff[i];

      finpour

    finsi

    retourner(d)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

XI-B-6. Dérivée

fonction deriv(ref p1:polynome):polynome;

  var p:polynome;

  var i:entier;

  début

    si p1.degre == 0 alors

      p.degre = 0;

      p.coeff[0] = 0;

    sinon

      p.degre = p1.degre-1;

      pour i de 1 à p1.degre faire

        p.coeff[i-1] = p1.coeff[i]

      finpour;

    finsi;

    retourner(p)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

XI-B-7. Valeur en un point

fonction valeur(ref p:polynome;val x: réel):réel;

  var f,s,i:réel;

  début

    s = 0;

    f = 1;

    pour i allant de 0 à p.degre faire

      s = s + f * p.coeff[i];

      f = f * x

    finpour

    retourner(s)

fin

finfonction

Complexité : O(n)

XI-B-8. Intégrale définie

fonction integraleDefinie(ref p1:polynome;val x,y: réel):réel;

  var p:polynome;

  var s:réel;

  var i:entier;

  début

    p.degre = p1.degre+1;

    p.coeff[0] = 0;

    pour i allant de 0 à p1.degre faire

      p.coeff[i+1] = p1.coeff[i] / (i+1);

    finpour;

    retourner(valeur(p,y) - valeur(p,x))

fin

finfonction

XI-C. Amélioration de la complexité

Même si en première approche, la complexité ne prend en compte que le nombre d'opérations (+, *), en seconde analyse, les multiplications sont beaucoup plus coûteuses que les additions. Cela est pris en compte dans les algorithmes ci-dessous.

XI-C-1. Valeur en un point

L'algorithme énoncé au paragraphe précédent effectue 2n multiplications. Le schéma d'Horner d'un polynôme permet d'effectuer n multiplications seulement. Le schéma d'Horner repose sur la propriété suivante :

Soit P(x) un polynôme de degré supérieur à 0 :

P(x)=∑i=0naixi

Alors, P(x) s'écrit :

P(x)=A(x)x+a0

On en déduit le schéma de Horner :

P(x)=((…((anx+an−1)x+an−2)…)x+a1)x+a0

fonction valeur(ref p:polynome;val x: réel):réel;

  var s:réel;

  début

    s = p.coeff[p.degre];

    pour i allant de p.degre-1 à 0 pas de -1 faire

      s = s * x + p.coeff[i]

    finpour

    retourner(s)

fin

finfonction

XI-D. Multiplication

Une méthode « diviser pour régner » permet d'améliorer cet algorithme. Elle est basée sur l'égalité suivante :

(ay+b)(cy+d)=acy2+((a+b)(c+d)−ac−bd)y+bd

Cette égalité signifie, entre autres, que si deux polynômes sont de degré 1, il suffit de trois multiplications de réels pour obtenir leur produit. Les quantités a, b, c, d, y étant quelconque, celles-ci peuvent être elles-mêmes des polynômes. Soit le polynôme :

P(x)=∑i=0npixi

On peut écrire P(x) sous la forme :

P(x)=A(x)x1+⌊n/2⌋+B(x)

avec :

A(x)=∑i=0n−1−⌊n/2⌋pixi

B(x)=∑i=0⌊n/2⌋pixi

De même, on a :

Q(x)=∑i=0nqixi

Q(x)=C(x)x1+⌊n/2⌋+D(x)

C(x)=∑i=0n−1−⌊n/2⌋qixi

D(x)=∑i=0⌊n/2⌋qixi

On peut donc utiliser l'équation de départ avec : a=A(x) , b=B(x), c=C(x), d=D(x) et y=x1+⌊n/2⌋.

De plus, on est amené à calculer des produits de polynômes de degré au plus n/2. Il s'agit donc d'une méthode : « diviser pour régner ». La complexité en nombre de multiplications est alors O(nlog23). Comme on notera ci-dessous, l'algorithme est plus complexe à écrire, mais il est bien plus efficace aussi.

Un prétraitement permet de considérer des polynômes de même degré. Il faut donc une fonction « chapeau ». On définit de plus deux autres fonctions utiles pour le calcul :

étend : si le degré de P(x) est supérieur au degré de Q(x), alors Q(x)
est modifié de manière à ce que les coefficients manquants soient à zéro, et les degrés des deux polynômes deviennent ainsi égaux ;
tronque : permet d'initialiser un polynôme avec les premiers termes d'un autre polynôme (calcul de B(x) et D(x)).

fonction multiplie(ref p,q:polynome):polynome;

  var p1,p2:polynome;

  fonction etend(ref p:polynome;val n:entier):polynome;

    var i:entier;

    var r:polynome;

    début

      r = decale(p,0);

      r.degre = n;

      pour i de p.degre+1 à n faire

        r.coeff[i] = 0;

      finpour;

      retourner(r);

fin

  finfonction

  fonction tronque(ref p:polynome;val n:entier)

    var c:polynome;

    var i:entier;

    début

      c.degre = n;

      pour i de 0 à n faire

        c.coeff[i] = p.coeff[i];

      finpour;

      retourner(c);

fin

  finfonction

  fonction multirec(ref p,q:polynome)

    var a,b,c,d:polynome;

    var c0,c1,c2:réel;

    var C0,C1,C2:réel;

    var m:entier;

    début

      selon que

        cas p.degre == 0

          retourner(polynome([p.coeff[0]*q.coeff[0]]))

        cas p.degre == 1

          c0 = p.coeff[0] * q.coeff[0];

          c2 = p.coeff[1] * q.coeff[1];

          c1 = (p.coeff[0] + p.coeff[1]) * (q.coeff[0] + q.coeff[1]);

          c1 = c1 - c0 - c2;

          retourner(polynome([c0,c1,c2]));

        autrement

          m = partieEntière(p.degre/2);

          a = decale(p, -(m+1));

          b = tronque(p, m);

          c = decale(q, -(m+1));

          d = tronque(q, m);

          C2 = multirec(a, c);

          C0 = multirec(b, d);

          C1 = multirec(ajout(a,b), ajout(c,d));

          C1 = ajout(C1, ajout(moins(C0), moins(C2)));

          C1 = decale(C1, 1+m);

          C2 = decale(C2, 2+2*m);

          C0 = ajout(C0, ajout(C1,C2));

          retourner(C0);

      finselonque:

fin

  finfonction;

    début

      si p.degre > q.degre alors

        p1 = p;

        p2 = etend(q, p.degre);

      sinon

        p1 = q;

        p2 = etend(p, q.degre);

      finsi;

      retourner(multirec(p1,p2));

fin

  finfonction

XII. Listes

XII-A. Définition

Définition 6.1. Une liste est une table d'association à clé unique telle que :

le nombre d'éléments de la table (dimension ou taille) soit variable ;
l'accès aux éléments s'effectue indirectement par le contenu de la clé qui le localise appelée pointeur.

La complexité de l'accès à un élément par son pointeur est O(1) . Si p est un pointeur vers un élément alors contenu(p) est l'élément lui-même. Un pointeur qui n'adresse aucun élément a pour valeur NIL. On écrit en EXALGO pour déclarer un pointeur :

nom_pointeur=^type_predefini;

On écrit en EXALGO pour déclarer une liste :

type_liste=liste de type_predefini;

La manipulation des éléments de la liste dépend des fonctions définies comme s'exécutant en temps O(1).

XII-B. Liste simplement chainée

Définition 6.2. Une liste est dite simplement chainée si les opérations suivantes s'effectuent en O(1) :

accès :

fonction premier(val L :type_liste) :^type_predefini;

fonction suivant(val L :type_liste;

                 val P :^type_predefini) :^type_predefini;

fonction listeVide(val L :type_liste) :booléen;

modification :

fonction créer liste(ref L :type_liste) :vide;

fonction insérerAprès(val x :type_prédéfini;

                      ref L :type_liste;

                      P :^type_predefini) :vide;

fonction insérerEnTete(val x :type_prédéfini;

                      ref L :type_liste) :vide;

fonction supprimerAprès(ref L :type_liste;val P :^type_predefini) :vide;

fonction supprimerEnTete(ref L :type_liste) :vide;

On écrira en EXALGO listeSC pour préciser qu'il s'agit d'une liste simplement chaînée.

XII-B-1. Test de fin de liste

fonction estDernier(ref L :listeSC de type_prédéfini;

                  ref P :^type_prédéfini) :booléen;

  début

    retourner(suivant(L,P) == NIL)

fin

finfonction

XII-B-2. Chercher un élément dans une liste

fonction chercher(ref L :listeSC de type_prédéfini;

                  ref E :type_prédéfini) :^type_predefini;

  début

  var p :^type_prédéfini;

  début

    si listeVide(L) alors

      retourner(NIL)

    sinon

      p = premier(L);

      tant que non(estDernier(L,p)) et (contenu(p) != e) faire

         p = suivant(L,p);

      fintantque

      si (contenu(p) != e) alors

        retourner(NIL)

      sinon

        retourner(p)

      finsi

    finsi

fin

finfonction

Complexité :

minimum : O(1) ;
maximum : O(n).

XII-B-3. Trouver le dernier élément

fonction trouverDernier(ref L :listeSC de type_prédéfini) :^type_predefini;

  var p :^type_prédéfini;

  début

    si listeVide(L) alors

      retourner(NIL)

    sinon

      p = premier(L);

      tant que non(estDernier(L,P)) faire

          p = suivant(L,p);

      fintantque

      retourner(p)

    finsi

fin

finfonction

Complexité : O(n).

XII-C. Liste doublement chaînée

Définition 6.3. Une liste doublement chaînée est une liste pour laquelle les opérations en temps O(1)

sont celles des listes simplement chaînées auxquelles on ajoute les fonctions d'accès.

fonction dernier(val L :type_liste) :^type_predefini;fonction précédent(val L :type_liste;

                   val P :^type_predefini) :^type_predefini;

On écrira en EXALGO listeDC pour préciser qu'il s'agit d'une liste doublement chaînée.

XII-C-1. Supprimer un élément

fonction supprimer(ref L :listeDC de type_predefini;

                   val e : type_prédéfini) :booléen;

  var p,prec,suiv :^type_prédéfini;

  début

    p = chercher(L,e);

    si p == NIL alors

      retourner(FAUX)

    sinon

      si estPremier(L,p) alors

        supprimerEnTete(L)

      sinon

        prec = précédent(L,p);

        supprimerApres(L,prec);

      finsi

      retourner(VRAI)

    finsi

fin

finfonction

Complexité :

minimum : O(1) ;
maximum : O(n).

XII-D. Quelques algorithmes

XII-D-1. Taille

fonction taille(val L :type_liste) :entier;

  var p :^type_prédéfini;

  var t :entier;

  début

    si listeVide(L) alors

      retourner(0)

    sinon

      retourner(1 + taille( suivant(L, premier(L)) ))

    finsi

fin

finfonction

Complexité : O(n).

XII-D-2. Insérer dans une liste triée

On suppose la liste triée doublement chaînée dans l'ordre croissant :

fonction insertionTrie(ref L :listeDC de type_prédéfini;

                     val e : type_prédéfini) :vide;

  var p :^type_prédéfini;

  début

    si listeVide(L) alors

      insererEnTete(e,L)

    sinon

      si contenu(premier(L))>e alors

        insererEnTete(e,L)

      sinon

        insererTrie(suivant(L,premier(L)), e)

      finsi

    finsi

fin

finfonction

Complexité moyenne : O(n).

XIII. Une implémentation de liste simplement chaînée de caractères

On considérera dans tout ce chapitre que l'on a des valeurs qui correspondent à un caractère.

XIII-A. Qu'est-ce qu'implémenter

Pour certaines structures de données, l'ensemble des langages de programmation proposent une traduction immédiate. Pour d'autres, il n'existe pas de traduction immédiate. Il faut alors définir explicitement l'algorithme de chacune des primitives.

Exemple - les listes. On doit définir le stockage de la liste, et en fonction de ce stockage comment s'effectue par exemple l'adjonction.

L'implémentation doit respecter la complexité des primitives à part celle d'initialisation (celle-ci ne s'exécutera qu'une fois).

Exemple - les listes. On utilise souvent les fonctions ajouter et supprimer, mais une seule fois creerListe.

XIII-B. Choix de la structure

Ici nous allons choisir de ranger les éléments dans un tableau « suffisamment grand ». Chaque élément du tableau est une paire (valeurElement, pointeurSuivant). Un pointeur est la valeur d'un index du tableau ; ainsi l'accès au suivant est en complexité O(1). La zone de stockage peut donc être décrite par :

elementListe = structure

                 valeur :car;

                 suivant :entier;

               finstructure;

stockListe = tableau[1..tailleStock] d'elementListe;

La valeur du pointeur (champ suivant) est donc un entier compris entre 0 et tailleStock. La valeur 0 correspondant à l'absence d'élément suivant. Le premier élément doit être accessible en O(1), il faut donc conserver son index. Si la liste est vide, par convention, l'index du premier sera 0. On peut donc représenter une liste par la structure suivante :

listeSC_Car = structure

                tailleStock :entier;

                premier :entier;

                vListe :stockListe;

              finstructure;

Le tableau de stockage étant grand, mais pas illimité, il faudra prévoir que l'espace de stockage puisse être saturé.

XIII-C. Primitives d'accès

Ces fonctions sont immédiates.

fonction premier(val L :listeSC_Car) :entier;

  début

    retourner L.premier;

  fin;

finfonction

fonction suivant(val L :listeSC_Car,P :entier) :entier;

  début

    retourner L.vListe[P].suivant;

fin

finfonction

fonction listeVide(val L :listeSC_Car) :booléen;

  début

    retourner L.premier == 0;

fin

finfonction

XIII-D. Gestion de l'espace de stockage

Pour ajouter un élément, il faut pouvoir trouver un élément « libre » dans le tableau. Une première solution consiste à marquer les éléments libres du tableau (par exemple champ suivant de l'élément a pour valeur -1). Dans ce cas, il faudra parcourir le tableau (complexité O(n/2) en moyenne). Par suite, la primitive insérerAprès ne sera plus en complexité O(1) puisqu'il faudra d'abord trouver un élément libre. Une solution compatible avec la complexité des primitives consiste à gérer cet espace de stockage en constituant la liste des cellules libres. On modifie donc en conséquence la description de listeSC_Car :

listeSC_Car = structure

                tailleStock :entier;

                premier :entier;

                premierLibre :entier;

                vListe :stockListe;

              finstructure;

Par convention, l'espace de stockage sera saturé lorsque l'index premierLibre vaut 0 (la liste des cellules libres est vide). On définit donc la fonction de test :

fonction listeLibreVide(val L :listeSC_Car) :booléen;

  début

    retourner L.premierLibre == 0;

fin

finfonction

On définit deux primitives liées à la gestion du stockage :

mettreCellule : met une cellule en tête d'une liste ;
prendreCellule : supprime la cellule de tête d'une liste.

Les opérations sont respectivement de type insererEnTete et supprimerEnTete. Préciser la liste sur laquelle s'effectue l'opération revient à préciser le pointeur de tête sur lequel on travaille.

fonction prendreCellule(ref L :listeSC_Car,ref tete :entier) :entier;

  var nouv :entier;

  début

    nouv = tete;

    tete = suivant(L,nouv);

    retourner nouv;

fin

finfonction

fonction mettreCellule(ref L :listeSC_Car,val P :entier,ref tete :entier) :vide;

  début

    L.vListe[P].suivant = tete;

    tete = P;

fin

finfonction

XIII-E. Primitives de modifications

fonction créer_liste(ref L :listeSC_Car;val tailleMax :entier) :vide;

  var i :entier;

  début

    L.tailleStock = tailleMax;

    L.premier = 0;

    L.premierLibre = 1;

    pour i allant de 1 à L.tailleStock-1 faire

       L.vListe[i].suivant = i+1;

    finpour

    L.vListe[tailleStock].suivant = 0;

fin

finfonction

fonction insérerAprès(val x :car; ref L :listeSC_Car; val P :entier) :booléen;

  var nouv :entier;

  début

    si listeLibreVide(L) ou P == 0 alors

      retourner faux;

    sinon

      nouv = prendreCellule(L,L.premierLibre);

      L.vListe[nouv].valeur = x;

      L.vListe[nouv].suivant = suivant(L,P);

      L.vListe[P].suivant = nouv;

      retourner vrai;

    finsi

fin

finfonction

fonction insérerEnTete(val x :car;ref L :listeSC_Car) :booléen;

  var nouv :entier;

  début

    si listeLibreVide(L) alors

      retourner faux;

    sinon

      nouv = prendreCellule(L,L.premierLibre);

      L.vListe[nouv].valeur = x;

      mettreCellule(L,nouv, L.premier);

      retourner vrai;

   finsi

fin

finfonction

fonction supprimerAprès(ref L :listeSC_Car;val P :entier) :booléen;

  var suivP :entier;

  début

    suivP = suivant(L,P);

    si P == 0 ou suivP == 0 alors

      retourner faux;

    sinon

      L.vListe[P].suivant = suivant(L,suivP);

      mettreCellule(L,suivP, L.premierLibre);

      retourner vrai;

    finsi

fin

finfonction

fonction supprimerEnTete(ref L :listeSC_Car) :booléen;

  var tete :entier;

  début

    si listeVide(L) alors

      retourner faux;

    sinon

      tete = L.premier;

      L.premier = suivant(L,tete);

      mettreCellule(L,tete, L.premierLibre);

      retourner vrai;

    finsi

fin

finfonction

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Algorithmique 1

I. Introduction

I-A. Notion d'algorithme

I-B. Notion de complexité

I-C. Langage de description d'algorithmes

II. Codage et structures de contrôle

II-A. Définitions

II-B. Types de base

II-C. Structures de contrôle

II-D. Fonctions

III. Description d'algorithme - Langage EXALGO

III-A. Généralités

III-B. Type

III-C. Variables

III-D. Expressions

III-F. Structure de contrôle

III-G. Fonctions

III-H. Types

IV. Structures de données

IV-A. Définition

IV-B. Structure

IV-C. Table d'association à clé unique

V. Complexité

V-A. Définitions

V-B. Structures de contrôle

V-C. Exemples

V-D. Les courbes « étalon »

VI. Tableaux

VI-A. Définition

VI-B. Primitives

VI-C. Quelques exemples d'algorithmes

VI-D. Matrices

VII. Tri non récursif

VII-A. Tri sélection

VII-B. Tri insertion et tri à bulle

VII-B-2. Tri à bulle

VII-C. Fusion de tableaux triés

VII-D. Tri par dénombrement

VII-E. Algorithme de fusion de deux tableaux

VIII. Retour sur les fonctions, récursivité

VIII-A. Visibilité

VIII-B. Récursivité

VIII-C. Complexité

VIII-D. Exemples

IX. Diviser pour régner

IX-A. Dichotomie

IX-B. Exemples

IX-C. Complexité

X. Tris récursifs

X-A. Tri fusion

X-B. Tri rapide

XI. Une implémentation des polynômes

XI-A. Énoncé

XI-B. Structure et primitives

XI-B-1. Structure

XI-C. Amélioration de la complexité

XI-D. Multiplication

XII. Listes

XII-A. Définition

XII-B. Liste simplement chainée

XII-C. Liste doublement chaînée

XII-D. Quelques algorithmes

XIII. Une implémentation de liste simplement chaînée de caractères

XIII-A. Qu'est-ce qu'implémenter

XIII-B. Choix de la structure

XIII-C. Primitives d'accès

XIII-D. Gestion de l'espace de stockage

XIII-E. Primitives de modifications

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