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박경동 (경상국립대학교) - Lie groups, Lie algebras, and their representations

Abstract. 대수적으로 군의 구조를 가지며 기하학적으로는 미분다양체인 리 군(Lie group)에 대한 기본 이론을 학습한다. 노르웨이의 수학자 Sophus Lie는 대수방정식에 관한 Galois 이론에 감명 받어 1870년대에 미분방정식의 대칭성을 연구하기 위하여 리 군을 도입하였고, 이후 Lie의 이론은 발전을 거듭한 결과 연속적인 대칭성을 나타내기 위하여 기하학을 포함한 수학 전반에 널리 쓰이고 있다. 이 강의는 Lie groups과 Lie algebras 사이의 관계, semisimple Lie algebras의 분류, Lie group의 representations 및 그의 weight space decompositions 등을 다루고자 한다.

Lecture 1. Lie groups and Lie algebras, exponential and logarithm maps, and the Campbell-Baker-Hausdorff theorem

Lecture 2. Root space decompositions, root systems and Dynkin diagrams, projective homogeneous varieties

Lecture 3. Classical Lie algebras and their representations, weight space decompositions, the Borel-Weil-Bott theorem


References

이재혁 (이화여자대학교) -  Geometry with Calibrations

Abstract. 리만 다양체의 닫힌형식(closed form)이 부분다양체의 부피형식(volume form)의 성질을 가질 때 이를 칼리브레이션(Calibrations)이라 하고 이 닫힌 형식을 부피형식으로 하는 부분다양체를 칼리브레이티드(calibrated) 부분다양체라고 한다. 칼리브레이티드 부분다양체는 극소 다양체인 것만으로도 매우 흥미로운 기하학적 대상이며 거울 대칭(mirror symmetry)를 포함하는 물리학에 인접한 현대 기하와 위상 연구에 주요한 연구 대상으로 활발하게 연구되었다. 우리는 이 강연에서 칼리브레이티드 기하학(calibrated geometry)에 대한 입문으로 사교 다양체와 칼라비-야우 다양체의 칼르브레이션을 논의한다. 그리고 특별한 홀로노미군과 거울 대칭의 관점에서 벡터곱(Vector Cross Product)과 이에 관한 칼리브레이티드 기하학으로 이를 발전시켜 살펴본다.

Lecture 1. Calibrations and Calibrated submanifolds

Lecture 2. Special Lagrangians

Lecture 3. Vector Cross Products

References

조윤형 (성균관대학교) -  Invitation to toric geometry 

Abstract. 이 Leucture는 toric variety의 정의를 알아보고, 기하학과 조합수학이 어떻게 상호관계를 갖는지 알아보려고 합니다. 특히 g-conjecture라 불렸던 조합수학에서 꽤 유명했던 추론을 Stanley가 토릭 기하학을 이용하여 한페이지로 증명한 논문을 이해하는 것이 목표입니다.

Lecture 1. Cones, fans, and toric varieties: Definitions and examples

Lecture 2. Polytopes and projective toric varieties: moment maps

Lecture 3. Morse theory on projective toric varieties: (co)homology of toric varieties and the g-conjecture.

References