TERCER PERIODO

PROYECTO DE AULA. DOMO

ALFABETO GRIEGO

SEGUNDO PERIODO

RELACIÓN DE ORDEN DEN LOS NUMEROS REALES

SEMANA DEL 17 AL 21 MARZO

📖 GUIA1-10

PRACTICA GUIA 1- 10

TALLER BASICO 1-10

TALLER: RELACIÓN DE ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES

📌 Objetivo: Comprender y aplicar la relación de orden en los números reales en contextos de la vida cotidiana, usando los símbolos:

• > (mayor que)

• < (menor que)

• ≥ (mayor o igual que)

• ≤ (menor o igual que)

• Intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos

✏ Ejercicios

1️⃣ Temperaturas: En una ciudad, la temperatura mínima registrada en la última semana fue de 8°C, y la máxima fue de 30°C.

• Escribe una desigualdad para representar las temperaturas posibles durante la semana.

• Expresa este rango como un intervalo en la recta real.

2️⃣ Velocidad en carretera: En una autopista, el límite de velocidad es 80 km/h y el mínimo permitido es 50 km/h.

• Expresa la velocidad permitida con una desigualdad.

• Representa el intervalo correspondiente.

3️⃣ Estatura mínima para un juego mecánico: Para entrar a una atracción en un parque, se requiere medir al menos 1.40 m.

• Representa esta condición con una desigualdad.

• Si un niño mide 1.39 m, ¿puede entrar? Explica tu respuesta.

4️⃣ Calificaciones: En un colegio, para aprobar una materia, un estudiante debe tener una nota final de 3.0 o más.

• Escribe la desigualdad que representa esta condición.

• Si Juan tiene 2.9, ¿aprueba?

5️⃣ Edad para votar: En un país, solo pueden votar los ciudadanos de 18 años o más.

• Escribe una desigualdad para representar esta regla.

• Si alguien tiene 17.9 años, ¿puede votar?

6️⃣ Niveles de agua en un embalse: Un embalse tiene un nivel óptimo de agua entre 120 y 200 metros cúbicos, sin incluir estos valores extremos.

• Representa este rango como un intervalo abierto.

• Si el nivel es de 120 m³, ¿está dentro del intervalo? Explica.

7️⃣ Cupos en una conferencia: En un auditorio pueden entrar hasta 100 personas como máximo.

• Escribe la desigualdad que representa esta situación.

• Si ya hay 98 personas y llegan 3 más, ¿se supera el límite?

8️⃣ Promociones en un supermercado: Un producto tiene un descuento del 20% solo si su precio antes del descuento es de $50.000 o más.

• Escribe la desigualdad que representa esta condición.

• Si un producto cuesta $49.900, ¿aplica el descuento?

9️⃣ Horas de estudio recomendadas: Se recomienda estudiar entre 2 y 5 horas diarias para un examen, incluyendo ambos extremos.

• Representa este intervalo con una desigualdad.

• Si un estudiante estudia 1.5 horas, ¿cumple la recomendación?

🔟 Alturas de edificios: Un arquitecto analiza la altura de edificios en una ciudad y encuentra que la mayoría tienen alturas entre 30 m y 150 m, pero algunos superan este límite.

• Representa el rango típico de alturas en un intervalo semiabierto, si solo el límite inferior es inclusivo.

• Si un edificio mide 150 m, ¿está dentro del intervalo?

TEORIA DE NÚMEROS

Introducción a los Números Reales

Los números reales incluyen todos los números que pueden representarse en la recta numérica. Se componen de los siguientes subconjuntos:

• Números naturales (ℕ): {1, 2, 3, …}

• Números enteros (ℤ): {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, …}

• Números racionales (ℚ): Fracciones de la forma ab​, donde a y b son enteros y b≠0  

• 
  

•  Ejemplo: 34​, −1.2, 0.5
  Números irracionales (𝕀): No pueden expresarse como fracción, tienen decimales infinitos no periódicos. Ejemplo: π,2.

Representación en la recta numérica

Se puede trazar una recta numérica con estos subconjuntos para visualizar sus ubicaciones.

2. Propiedades de los Números Reales

2.1. Propiedades de las Operaciones

Propiedad

Explicación

Ejemplo

Cerradura

La suma o multiplicación de dos números reales siempre da otro número real.

5+3=8, 2.5×4=10

Conmutativa

El orden de los números no afecta el resultado en suma y multiplicación.

3+5=5+3

, 4×2=2×4

Asociativa

El modo de agrupar los números no cambia el resultado en suma y multiplicación.

(2+3)+4=2+(3+4)

Elemento neutro

Para la suma es el 0 y para la multiplicación es el 1.

7+0=7, 5×1=5

Elemento opuesto

Todo número tiene un opuesto que al sumarse da 0.

6+(−6)=0

Elemento inverso

Todo número distinto de cero tiene un inverso multiplicativo.

4×14=1

Distributiva

Relación entre suma y multiplicación.

2(3+4)=2×3+2×4

2.2. Propiedades de la Ordenación

1. Ley de tricotomía: Para dos números reales aa y bb, se cumple una de estas tres opciones:

   • a<b

   • a=b

   • a>b

2. Propiedad transitiva: Si a<b y b<c, entonces a<c

3. Aplicaciones y Ejemplos

Ejemplo 1: Uso de la propiedad distributiva

Dado: 3(x+2)Aplicando la distributiva:
3x+6

Ejemplo 2: Uso de la propiedad inversa

Si a=5, su inverso multiplicativo es 15​, porque:
5×15=1

Ejemplo 3: Comparación de números irracionales y racionales

Sabemos que π≈3.1416 y que 227≈3.1428722​
Entonces, podemos ver que 227​ es un número racional cercano a π, pero π es irracional porque su expresión decimal es infinita y no periódica.

4. Evaluación y Actividades

Ejercicio 1: Identificación de subconjuntos

Determina a qué subconjunto pertenece cada número:

• 7

• −3.5

• 59​

• 16

• π

Ejercicio 2: Aplicación de propiedades

1. Explica qué propiedad se usa en las siguientes expresiones:

   • 8+4=4+8

   • (2+5)+7=2+(5+7)

   • 5(x+3)=5x+15

2. Si a=7, encuentra su inverso aditivo y multiplicativo.

Ejercicio 3: Problema aplicado

Si un pastel se divide en 8 partes iguales y una persona se come 38​ del pastel, ¿qué parte del pastel queda? Explica usando propiedades de los números reales.

5.  Reflexión

• ¿Por qué las propiedades de los números reales son importantes en la vida cotidiana?

• ¿Cómo se pueden usar estas propiedades en otras áreas de las matemáticas?

El sinonimo de suma es adición, el sinonimo de resta es sustracción, el sinonimo de multiplicación es producto y el sinonimo de división es cociente.

-          Juan tiene 15 manzanas y compra 12 más. ¿Cuántas manzanas tiene en total?

-          María tenía 50 flores y regaló 23. ¿Cuántas flores le quedan?

-          Un paquete tiene 8 galletas. Si compro 5 paquetes, ¿cuántas galletas tengo?

-          Un pastel se divide en 12 porciones iguales. Si 4 personas lo reparten, ¿cuántas porciones le tocan a cada una?

-          Pedro tenía 30 euros, gastó 12 euros y luego ganó 20 euros. ¿Cuánto dinero tiene ahora?

-          Un libro cuesta 10 euros y un bolígrafo 2 euros. Si compro 3 libros y 4 bolígrafos, ¿cuánto gasto en total?

-          Un agricultor cosecha 60 tomates y los reparte en 5 canastas. Si 2 canastas se pierden, ¿cuántos tomates quedan?

-          Un tren tiene 8 vagones y cada vagón tiene 15 asientos. Si 20 asientos están vacíos, ¿cuántos asientos están ocupados?

-          Ana tiene 5 cajas con 10 lápices cada una. Si le regalan 8 lápices más, ¿cuántos lápices tiene en total?

Un grupo de 24 estudiantes se divide en 3 equipos iguales. Si luego se unen 4 estudiantes más, ¿cuántos estudiantes hay en total?