パーシステントホモロジー
と表現論2024

パーシステントホモロジーは位相的データ解析における主たる手法のうちの一つであり、データのかたちをマルチスケールで解析できる。材料科学に直接適用されるだけでなく機械学習の前処理にも用いられるパーシステントホモロジーの、その理論は代数によって支えられている。その中でもノイズ安定性についてはパーシステントホモロジーのなす圏を理解することが重要である。時空間同時解析などパーシステントホモロジーの理論の高次元化が望まれているが、その圏はより複雑になって行くため、代数的により多様な理論を必要とすることは間違いない。パーシステントホモロジーと表現論のさまざまなインタラクションを模索するため、オンライン研究集会を企画することとした。この研究集会は日本学術振興会科学研究費補助金 基盤研究 (C) 「位相的時空間解析に向けたノイズ安定性の解明：導来同値の活用」（研究代表者：吉脇 理雄（大阪公立大学））課題番号20K03760，及び学術変革領域研究(A)「データ記述科学創出に向けた数学的基盤構築」（分担研究者：ESCOLAR, Emerson Gaw （神戸大学））課題番号22H05105の援助のもとに行われる。

アブストラクト：マグニチュードはある種の豊穣圏の不変量で、特に距離空間に対しては「おおまかな点の数」を表す不変量と考えられている。距離空間 X の距離を t 倍して得られる距離空間 tX は、t\to 0の時に（Gromov-Hausdorff 位相の意味で）一点に収束する。上記のスローガンからは、tX のマグニチュードは 1 に収束すること（One-point property = 一点性）を「期待」するのが自然である。しかしマグニチュード導入時より、一点性を満たさない6頂点の有限グラフの「反例」が知られている。有限距離空間に関して最近「期待」と「反例」の双方向で進展があったので紹介したい。具体的には、generic な有限距離空間に対しては「期待」通りに一点性が成立すること、および、一点性が成り立たない場合には、マグニチュードのスケール極限がいくらでも大きな実数になりえることが分かった。本講演は Emily Roff 氏との共同研究( https://arxiv.org/abs/2312.14497 )に基づく。

アブスト： パーシステントホモロジーは位相的データ解析において基本的な道具である. これは代数的に, パーシステンス加群, すなわち, A型箙の表現として理解される. この表現は区間表現へと直既約分解され, 各々の区間表現は区間[b,d](b≦d)でパラメータ付けられる. それらの組(b,d)をプロットして得られる図をパーシステンス図と呼び, これはデータの“かたち”を捉えている. より一般に, パーシステンス加群は有限半順序集合の表現として定式化される. 本講演では区間近似の理論に関する結果を紹介する. まず任意のパーシステンス加群が区間分解可能となるような有限半順序集合の完全な分類を与える. これは通常の(及び，ジグザグの)パーシステントホモロジーの設定のある拡張を与える. 次に, 区間被覆の性質(直和因子への制限が単射になるという性質)を紹介し, 最後に区間大域次元の単調性を紹介する. これらの結果は区間表現を用いた特徴量の良い振舞いを示唆する. この研究(arXiv:2308.14979)は青木 利隆氏，エスカラ エマソン ガウ氏との共同研究である．

アブストラクト：Cellular structural analysis has recently seen the development of a new data capture method, Pore-C [1], which, in brief, provides the field with hypergraph data instead of what was previously simple graph data. As hypergraphs are richer but unfortunately not receptive to most familiar analyses in the field, a result emerged early on that moved past the troublesome format of hypergraph data by embedding the hypergraph vertices into euclidean space [2], [3] via a method heavily based on the well-known Node2vec machine learning framework.

However, while investigating the Node2vec [4] machine learning structure that underpins this new analysis, we found that trivial examples could demonstrate a high level of destruction of topological information during the embedding process — the loss of loops, gaps, or densely tangled regions. Such topological information includes some of the most important structural features currently under investigation in cellular structural analysis.

Our project focused on the original Node2vec framework and introduces a new topological loss function derived from cutting edge optimal transport research [5] which forces our combined machine learning network to to maximally preserve graph information while simultaneously checking topological loss at every step. With this, we plan to return to the original question of superior treatment of Pore-C data.

[1] Ulahannan et al: Nanopore sequencing of DNA concatemers reveals higher-order features of chromatin structure.

[2] Zhang, R., Zou, Y., Ma, J.: Hyper-SAGNN: a self-attention based graph neural network for hypergraphs.

[3] Zhang, R., Ma, J.: Probing multi-way chromatin interaction with hypergraph representation learning.

[4] Grover, Leskovec: node2vec: Scalable Feature Learning for Networks.

[5] Lacombe, T.: An Homogeneous Unbalanced Regularized Optimal Transport Model with Applications to Optimal Transport with Boundary.

12:00-13:00 吉永正彦

13:10-14:10 多田駿介

14:20-15:20 浅芝 秀人

15:30-16:30 Killian Meehan