Eigenvalues on curved spaces/ Valori proprii pe spații curbate
CNCS-UEFISCDI Project
Project number: PN-III-P4-ID-PCE-2020-1001
Principal Invesigator: Prof. Dr. Alexandru Kristály
Abstract (ENG):
Eigenvalue problems occur in numerous models in mathematical physics (fixed membranes, clamped plates, saturation phenomena, etc). Although there are spectacular achievements, several unsolved problems or new phenomena appear over and over that are materialized in certain inequalities for eigenvalues, connecting physical and geometrical quantities. Such eigenvalue problems mostly require non-flat settings, where the studied problems can be handled only by using non-Euclidean geometries.
The focus of the project is to describe nonlinear phenomena in terms of geometric inequalities for the first eigenvalue which occur on Riemannian-Finsler manifolds and Heisenberg groups. One of the major open problems of the proposal is to solve Lord Rayleigh’s conjecture (i.e. the sharp isoperimetric inequality) for clamped plates on positively curved spaces. This conjecture has been formulated in its flat form more than 145 years ago and solved later on in low-dimensional non-positively curved spaces.
We also aim to describe spectral gap properties on Finsler manifolds which are in sharp contrasts with their Riemannian counterparts. Moreover, we intend to prove Brunn-Minkowski inequalities for eigenvalues where the presence of distortion coefficients á la Lott-Sturm-Villani are expected. Our objectives lead us beyond the standard frontiers of knowledge, where genuinely new ideas are needed, combining methods from geometry, elliptic PDEs, optimal mass transportation and special functions.
Abstract (RO):
Problemele de valori proprii apar în numeroase modele în fizica matematică (membrane fixe, plăci prinse, fenomene de saturație). Deși există rezultate profunde, apar fenomene noi, care sunt formulate sub forma unor inegalități pentru valori proprii, făcând conexiune între cantități fizice și geometrice. Astfel de probleme necesită o abordare într-un context curbat, unde fenomenele studiate sunt tratate folosind technici de geometrii neeuclidiene.
Objectives (ENG)
The main objective of the present proposal is to prove new geometric inequalities for eigenvalues describing nonlinear phenomena that connect physical and geometrical quantities. The focus of the project is to describe nonlinear phenomena in terms of geometric inequalities for the first eigenvalue which occur on Riemannian-Finsler manifolds and Heisenberg groups. One of the major open problems of the proposal is to solve Lord Rayleigh’s conjecture (i.e. the sharp isoperimetric inequality) for clamped plates on positively curved spaces, a problem formulated more than 145 years ago in the flat case. We also aim to describe spectral gap properties on Riemannian/Finsler manifolds, depending on the curvature restrictions. Moreover, we intend to prove Brunn-Minkowski inequalities for eigenvalues where the presence of distortion coefficients à la Lott-Sturm-Villani are expected.
Problem 1. Provide sharp spectral gap estimates on (non-)compact Finsler manifolds.
Problem 2. Provide spectral gap estimates in Heisenberg groups.
Problem 3. Prove Brunn-Minkowski-type inequalities for first eigenvalues on curved spaces.
Problem 4. Solve Lord Rayleigh's conjecture for clamped plates in positively curved spaces.
Problem 5. Characterize the saturation phenomena on positively/negatively curved spaces.
Obiective (RO)
Obiectivul proiectului este descrierea unor fenomene neliniare prin intermediul unor inegalități geometrice pentru prima valoare proprie (pe varietăți Riemann/Finsler sau grupuri Heisenberg), făcând legatura între fenomene din fizica matematică și geometrie. Una dintre problemele majore ale proiectului este rezolvarea conjecturii lui Lord Rayleigh (inegalitatea izoperimetrică optimă) pentru plăci prinse pe spații pozitiv curbate, problemă formulată mai bine de 145 ani în urmă în forma euclidiană. De asemenea, ne propunem descrierea unor proprietăți spectrale ale varietăților Riemann/Finsler. Mai mult, intenționăm să demonstrăm inegalități de tip Brunn-Minkowski pentru valori proprii, unde coeficienții de distorsiune ai lui Lott-Sturm-Villani joacă un rol indispensabil.
Obiectivele propuse ne conduc dincolo de frontierele standard ale cunoașterii, unde sunt necesare idei noi, combinând metode din geometrie, EDP eliptice, transport optimal și funcții speciale.
Problem 1. Estimări optime ale gap-ului spectral pe varietăți Finsler (ne)compacte.
Problem 2. Estimări spectrale pe grupuri Heisenberg.
Problem 3. Inegalități de tip Brunn-Minkowski pentru valori proprii pe spații curbate.
Problem 4. Rezolvarea conjecturii lui Lord Rayleigh pe spații pozitiv curbate.
Problem 5. Caracterizarea fenomenelor de saturație pe spații pozitiv/negativ curbate.