確定特異点の合流や，その逆操作である不確定特異点の開折は，微分方程式の不確定特異点の研究において基本的な役割を果たす．稲場は不確定特異点の開折によって接続のモジュライ空間の変形を構成し，モノドロミー保存変形と不確定特異点の開折の関係を明らかにした(Bull. Sci. Math., 2019)．一方で大島は福原-Turrittin標準形の開折という概念を導入し，リジッドな微分方程式の合流理論を構築した(Publ. RIMS, 2021)．本講演では大島による福原-Turrittin標準形の開折を用いて，稲場によるモジュライ空間の変形理論の一種の精密化を与える．またその応用として，大島による微分方程式の合流理論をリジッドとは限らない微分方程式たちへの拡張する．

元来のRiemann-Hilbert問題（Hilbert問題の21番目）は、曲線上に与えられたモノドロミーをもつ確定特異点型線型常微分方程式が存在するかという問題であった。P. Deligne氏はこの問題を複素多様体X上の超曲面Yに極をもつ確定特異点型可積分接続とX\Y上の局所系の1体1対応として定式化した。さらに、柏原正樹氏はDeligne氏の対応を、複素多様体X上の確定特異点型ホロノミーD加群の三角圏とX上の複素構成可能層の三角圏の間の圏同値として拡張した。現在、この柏原氏の対応は確定特異点型Riemann-Hilbert対応と呼ばれている。本講演では、柏原氏の対応を確定特異点型とは限らない一般のホロノミーD加群の場合に拡張するという問題、すなわち不確定特異点型Riemann-Hilbert対応（irregular Riemann-Hilbert correspondence）を確立するという問題について、拡大副解析層（enhanced subanalytic sheaves）をもちいた定式化を紹介する。

本講演ではA_n型の周期的2次元戸田格子の原点付近の漸近パラーメータと無限遠点付近の漸近パラメータの接続公式について説明する．A_n型の周期的2次元戸田格子の解はC^*から対称空間SU(n+1)/SO(n+1)への調和写像と見ることができ,n=1の場合にはPainlevéIII型の方程式(sine-Gordon方程式)になる．公式の計算には偏微分方程式の手法とDeift-Zhouの非線形最急降下法を用いるが，主に後者について説明する．この手法は今まで2×2行列のRiemann-Hilbert問題で使われていたが，今回は3×3行列の場合に拡張した計算を見，一般の正方行列に拡張する上で主要となる事項を確認する．

2010年に，講演者はパンルヴェ第3方程式のワイル群対称性をヒントに重複度付き箙多様体を導入した．その後，Hausel-Wong-WyssはGeiss-Leclerc-Schroerの仕事を参考に，重複度付き箙多様体の定義を修正し，クイバースキームと呼ばれるアフィンスキームを導入した．本講演では，重複度付き箙多様体の場合と同様，クイバースキームもワイル群対称性をもつことを示す．なお本講演の内容は寺田涼氏（東京理科大学）との共同研究に基づく．

The sixth Painleve equation is a basic equation among the non-linear differential equations with three fixed singularities, corresponding to Gauss’s hypergeometric differential equation among the linear differential equations. It is known that 2nd order Fuchsian differential equations with three singular points are reduced to the hypergeometric differential equations. Similarly, for nonlinear differential equations, we would like to determine the equation from the local behavior around the three singularities. In this talk, the sixth Painleve equation is derived by imposing the condition that it is of type (H) at each three singular points for the homogeneous quadratic 4th-order differential equation.

 1998年、坂井氏は曲面論からPainlev\'e・離散Painlev\'e方程式を導出する方法を発表した。坂井理論では、あるクラスの有理射影代数曲面がaffineルート系を用いて分類されている。各曲面の族にはaffine Weyl群の作用が自然に入り、離散Painlev\'e方程式は平行移動の作用が作る離散力学系として定式化される。差分Painlev\'e方程式の場合、有理射影曲面から反標準因子を除いた空間が、ある有理接続のモジュライ空間として実現されることが知られている。ここで、有理接続のモジュライ空間の自然なコンパクト化によって曲面全体が導出できないだろうか、という問いが生じる。本講演では$A^{(1)*}_2$型の場合に曲面全体が$\phi$-接続のモジュライ空間として実現できることを説明する。特に、$A^{(1)*}_2$型曲面の各点と$\phi$-接続との具体的な対応について紹介する。また、affine Weyl群の実現についてもわかっている範囲で紹介したい。

モノドロミー保存変形は, リーマン面上の確定・不確定特異点を許す接続のモジュライ空間上のベクトル場を与える. リーマン球面上のある種の接続のモジュライ空間に対して座標を与え, その座標を用いてこのベクトル場を明示的に記述することによってパンルヴェ方程式を導出することができる. このようなことから接続のモジュライ空間に座標を導入することは重要である. 本講演では, 見かけの特異点の理論を用いて, リーマン面上の階数2の接続のモジュライ空間に座標を導入する. つまり接続のモジュライ空間から(捩れ)余接束の点のヒルベルト概型への双有理写像を構成する. さらに接続のモジュライ空間とこの点のヒルベルト概型は, それぞれ自然なシンプレクティック形式を持つが, この双有理写像がこれらのシンプレクティック形式を保つことをみる. この研究はLoray氏（レンヌ）・齋藤氏（神戸学院大）・Szabo氏（ブダペスト）との共同研究である.

一般超幾何微分方程式のモノドロミー群をモデルとする行列群を超幾何群という。本講演では、超幾何群の K3 曲面上の複素力学系への一つの応用を与える。複素曲面の正則自己同型写像の力学系を考える。写像の反復合成がコンパクト開位相に関して実トーラス作用を誘導するような Fatou 集合の連結成分を回転領域という。我々は、超幾何群およびそれに付随する超幾何格子を用いて、位相的エントロピーが正で回転領域をもつ K3 曲面自己同型を構成する。この研究は、パンルヴェ方程式と直接には関係しないが、パンルヴェ方程式の力学系を考えるための準備として、K3 曲面上の力学系の勉強をしたことが一つのきっかけとなっている。

本講演の表題における「ポテンシャルベクトル場」とは、複素多様体上の「(計量を仮定しない)平坦構造」と呼ばれるある種の幾何構造を局所的に規定するベクトル値(正則)関数を意味する。特に、「(計量を仮定しない)平坦構造」に計量が存在する場合には、これは「斎藤恭司による平坦構造=B.DubrovinによるFrobenius構造」と一致し、ポテンシャルベクトル場は(スカラー値)ポテンシャル関数に積分されてその勾配として表される。このポテンシャル関数はしばしば「Frobeniusポテンシャル」と呼ばれるもので、Frobenius構造を局所的に規定する関数である。本講演では、(計量を仮定しない)平坦構造とそのポテンシャルベクトル場について概略を説明したのち、パンルヴェ方程式との関係について述べる。実は、(局所的な状況では)3次元複素多様体上のポテンシャルベクトル場を与えることと、パンルヴェ方程式(第4,5,6)の解を与えることが(genericには)ほぼ等価である。パンルヴェ方程式の解(=パンルヴェ(超越)関数)のポテンシャルベクトル場の観点からの研究についてはまだ未完成であるが、このような観点からはパンルヴェ(超越)関数がどのような姿に見える(はず)なのか、またどのようなことが問題になるのかについて(講演準備の出来具合と)講演時間の許す範囲で述べたい。