遠アーベル幾何学における数体版 Grothendieck 予想の進展

• 講演者: 小宮 涼　(田口研D2)

• 2025/12/5 (金) 352セミナー室

• 概要: 遠アーベル幾何学は、代数多様体の幾何学的構造を基本群などの群論的データから復元することを目指す分野である。本セミナーでは、この分野における重要な結果である尾崎学氏の論文「A number field analogue of the Grothendieck conjecture for curves over finite fields」を紹介する。

p進周期写像とDiophantine幾何への応用

• 講演者: 公 奕　(三枝研M2)

• 2025/11/20 (木) 352セミナー室

• 概要:  Lawrence–Venkatesh（2020）は “Diophantine problems and p-adic period mappings” と題した論文で、Faltings の定理の第三の証明を与えた。これは Faltings（1983）による最初の証明から基本的な設定の着想を得つつ、p 進 Hodge 理論をより全面的に使い、基礎多様体上のGalois 表現の変動を精密に解析することで、高さ関数を用いない新たなアプローチを確立した点に特徴がある。同論文ではさらに、この手法（＋α）を応用し、射影空間内の次数が十分大きい滑らかな超曲面のモジュライに対して、Shafarevich 型の非 Zariski 稠密性も得られている。この第二の応用は、その後さまざまなクラスの多様体へと拡張され、著しい進展をもたらした。本講演では、まずこれら一連の成果を概観したうえで、このp進周期写像の手法の解説とSchfarevich型の応用に主眼を置く。時間が許せば、もう一つの応用としてStix（2022）による切断予想の結果にも触れられればと思う。

Congruences and Chains of Galois Representations and their Uses in Arithmetic Geometry and Langlands’ Base Change

• 講演者: Javier Guillán Rial (L.Dieulefait D3, Visitor of 落合研)

• 2025/07/25 (金) 352セミナー室

• 概要:  Galois representations have become a powerful tool to attack difficult problems in arithmetic geometry such as Fermat’s last theorem or the Serre’s Conjecture over the rationals. The development of modularity lifting theorems and level raising/lowering theorems in the last decades made possible to tackle these problems by using constructions of chains of congruences of Galois representations and transferring modularity along the links. In this talk we will review these results paying special attention to the usage of those theorems in the proof of Wiles and Khare-Wintenberger. Furthermore we will introduce the concept of “safe chain” and we will see how we can extend this strategy to other results of Langlands’ functoriality, focusing on the example of the proof of Langlands’ Base Change.

制限分岐版ノイキルヒ・内田の定理について

• 講演者: 清水 陵嗣 (田口研PD)

• 2025/04/11 (金) 352セミナー室

• 概要: ノイキルヒ・内田の定理：「二つの数体の絶対ガロア群が同型ならば、数体は同型である」は遠アーベル幾何学における基本的な結果であり、様々な拡張が研究されている。この定理における絶対ガロア群を、数体Kとその素点の集合Sに対する最大S外不分岐拡大のガロア群G_{K,S}に置き換えたものについて、Sの密度が0でない等の仮定の下で得た結果を紹介する。具体的な講演内容は以下の通り：0.ノイキルヒ・内田の定理の拡張の簡単なサーベイ 1.岩澤加群の構造を用いたp進円分指標の復元 2.Ivanovによるp進円分指標とSの分解群の等価性 3.分解群の構造と局所的な不変量の復元 4.最大多重Z_p拡大のガロア群の間の同型が分解群等の情報を保つ時に体の同型を導く手法

CM体におけるHecke $L$値の非消滅性

• 講演者: 田中 拓弥 (落合研M2)

• 2025/01/24 (金) 213セミナー室

• 概要: Rohlich, Lamplughの研究をはじめとした多くの研究者によって, $L$値の非消滅性が研究されてきた. Lamplughが虚二次体に対して得た $L$値に関する結果のCM体への拡張について講演者が得た結果をお話しする. 証明には2019年にKings, Sprangが導入した, Eisenstein-Kronecker類という同変コホモロジー類の存在が重要である. この類の存在を基にして, アーベルスキーム上の形式函数に関する古典的な超越的性質を, L値の非消滅性に応用することができる. 主結果の応用として, BSD予想を仮定したときにCM体$K$の適切な多重$\mathbb{Z}_l$拡大体$K_\infty$, 及び適切なCM型単純アーベル多様体$A$により定まる$\mathbb{Z}$加群$A(K_\infty)/A(K_\infty)_\mathrm{tors}$が有限生成$\mathbb{Z}$加群となることを紹介したい.

The $m$-step solvable anabelian geometry of mixed-characteristic local fields

• 講演者: 玄 承賢 (田口研M2)

• 2024/11/29 (金) 352セミナー室

• 概要: Let $G\,(= G^{[0]})$ be a topological group. We inductively define the sequence $\{G^{[m]}\}_{m\geq 0}$ of closed subgroups of $G$ by letting $G^{[m+1]}$ be the closure of the commutator group of $G^{[m]}$ for each non-negative integer $m$. We shall call $G^m \coloneqq G/G^{[m]}$ the maximal $m$-step solvable quotient of $G$. Let $K_\circ$ (resp. $K_\bullet$) be a mixed-characteristic local field, and $G_{K_\circ}$ (resp. $G_{K_\bullet}$) its absolute Galois group. Mochizuki (1997) has shown that every isomorphism between $G_{K_\circ}$ and $G_{K_\bullet}$ that preserves the ramification filtration is induced by some field isomorphism between $K_\circ$ and $K_\bullet$. In particular, if there exists an isomorphism between $G_{K_\circ}$ and $G_{K_\bullet}$ that respects the ramification filtration, then there also exists a field isomorphism between $K_\circ$ and $K_\bullet$. In this talk, the speaker would like to introduce a recent result that can be considered as an ``$m$-step solvable version'' of that of Mochizuki and give a sketch of the proof that if there exists an isomorphism between $G_{K_\circ}^2$ and $G_{K_\bullet}^2$ that respects the ramification filtration, then there also exists a field isomorphism between $K_\circ$ and $K_\bullet$. Furthermore, if time permits, the speaker will present a brief overview of the center-freeness of the group $G_{K_\circ}^2$, and a few open problems related to the topic.

BCM regularity in equal characteristic zero

• 講演者: 山口 樹 (下元研PD)

• 2024/10/04 (金) 352セミナー室

• 概要: 双有理幾何学において重要な特異点として対数的端末特異点がある. 正標数では特異点解消を用いても標数0と同様の理論を展開することは出来ないが、Frobenius写像に着目することで有用な特異点を定義することができる. さらに混標数の場合には巨大Cohen-Macaulay代数を用いて類似の特異点を定義できる. 本講演では上記の特異点について説明した後、等標数0の場合の巨大Cohen-Macaulay代数と特異点の関係について超準解析的な手法を交え解説する予定である.

有限次可解副自由群の中心自明性について

• 講演者: 山口 永悟 (田口研PD)

• 2024/08/02 (金) 352セミナー室

• 概要: ある群に対して、その群の任意の元と可換な元たちのなす部分群として群の中心が定まる。定義からわかるように、群の中心はその群がどれほど非可換であるか、言い換えるならばどれほどアーベルから離れているかをはかる一つの指標となる。本講演では離散自由群の中心が自明であるという事実から出発し、副自由群、及び有限次可解副自由群の中心自明性を、Foxの自由微分作用素を使用して証明する。また、時間があれば遠アーベル幾何学と中心自明性についても解説する。この講演は以下の論文のセクション1を参照する予定である: https://arxiv.org/abs/2010.00290

$p$進エタールTate捻りについて

• 講演者: 金野 太郎 (落合研D2)

• 2024/06/21 (金) 352セミナー室

• 概要: 有限体上の多様体上にはTate捻りと呼ばれるエタール層が存在し, Poincare双対定理を満たすことが知られています. Tate捻りのデデキント環上の多様体上の類似は$p$進エタールTate捻りと呼ばれています. 中央大学の佐藤先生によってある条件を持った多様体上で$p$進エタールTate捻りが存在し, 双対定理を満たすことが示されました. この双対定理は有限体上の場合のPoincare双対定理の類似です. 本講演では$p$進エタールTate捻りについて現在まで知られている結果の紹介をお話させていただきます.

Stable rationality of hypersurfaces of mock toric varieties

• 講演者: 吉野 太郎 (東京大学D3)

• 2024/05/17 (金) 352セミナー室

• 概要: In recent years, there has been a development in approaching rationality problems through motivic methods. This approach requires the explicit construction of degeneration families of curves with favorable properties. While the specific construction is generally difficult. In this talk, we mention the following two points: First, I introduce the notion of mock toric varieties, which are generalizations of toric varieties. Second, I combinatorially construct degeneration families of hypersurfaces in mock toric varieties, and I mention the irrationality of a very general quartic hypersurface in the complex Grassmannian variety Gr(2,5) by the motivic method.

Torsion of elliptic curves with rational $j$-invariant

• 講演者: HAMADA, Lucas (田口研D1)

• 2024/04/19 (金) 352セミナー室

• 概要: The classification of the possible torsion subgroups of elliptic curves has been an active field since Mazur's results on rational elliptic curves. In this talk, after a short introduction to some previous results, I will give an overview of the classification of the possible torsion subgroups of elliptic curves with rational j-invariant, defined over the maximal elementary abelian 2-extension of Q.

An introduction to Shimura varieties: modular curves and beyond

• 講演者: CAUCHI, Antonio (落合研PD)

• 2024/03/15 (金) 352セミナー室

• 概要: Shimura varieties emerged as a fertile ground for constructing class fields and now play a crucial role in Number Theory, providing a bridge between automorphic forms and Galois representations. This talk will be a gentle introduction to what Shimura varieties are, with a great emphasis on discussing explicit examples.

修論発表会練習会

• 2024/01/31 (水) 220セミナー室

ヤコビアン予想の現在の進展及び2変数における計算例について

• 講演者: 加藤 一樹 (田口研D1)

• 2024/01/12 (金) 201セミナー室

• 概要: 多項式環論において著名な問題の一つに(一般)ヤコビアン予想がある。本公演ではヤコビアン予想の現在までの進展や関連する問題について解説する。また、2変数におけるいくつかの計算例を通して、特殊な場合において予想が実際に成立することを紹介する。

一点抜きCM楕円曲線の副$p$外Galois表現について

• 講演者: 石井 竣 (慶応義塾大学PD)

• 2023/11/10 (金) 352セミナー室

• 概要: 本講演では, 三点抜き射影直線または一点抜き楕円曲線の幾何的エタール基本群の最大副$p$商への絶対Galois群の外表現(副$p$外Galois表現)の核を考察する. 三点抜き射影直線の場合, SharifiはDeligne-伊原予想を仮定して副$p$外Galois表現の核の固定体が$p$次円分体の$p$外不分岐最大副$p$拡大体と一致することを正則奇素数$p$に対して証明した. 講演者は虚二次体上の一点抜きCM楕円曲線を考えることでSharifiの結果の虚二次体類似を得たので, それを紹介したい.

Edge ring のHilbert級数と整閉性

• 講演者: 畑佐 悠太 (Kálmán研D2)

• 2023/10/27 (金) 352セミナー室

• 概要: 次数付き環の重要な不変量の一つに Hilbert 級数がある．本講演ではグラフから定まる edge ring とその Hilbert 級数について解説をし edge ring が整閉となるための条件について紹介をする．時間に余裕があれば Gröbner 基底を用いた Hilbert 級数の計算方法について述べたい．

有限体の無限次代数拡大体上の遠アーベル幾何学(Anabelian geometry over infinite algebraic extensions of finite fields)

• 講演者: 室谷 岳寛 (田口研PD)

• 2023/10/13 (金) 352セミナー室  

• 概要: 有限体上の双曲的曲線に対するGrothendieck予想は玉川安騎男氏・望月新一氏により解決され，一方で，有限体の代数閉包上のある種の双曲的曲線に対する（弱同型版の）Grothendieck予想も玉川氏・更科明氏により肯定的な結果が知られています．これらの結果は，有限体上ではもちろん，有限体の代数閉包上でさえも（ある程度）「遠アーベル幾何学が展開できる」ことを示唆しています．そこで今回は，これらの「間の体」である，有限体の任意の（特に無限次の）代数拡大体上でどの程度「遠アーベル幾何学が展開できるか」を考え，いくつかの結果をご紹介します．

関数体のKummer忠実性

• 講演者: 浅山 拓哉 (田口研D4)

• 2023/07/21 (金) 352セミナー室

• 概要: 望月によって導入されたKummer忠実体は遠アーベル幾何学において重要な体のクラスをなす. この体は準アーベル多様体のMordell-Weil群の可除部分が消えているという性質で定義される. 本講演では, Kummer忠実体の関数体類似と考えられるDrinfeld-Kummer忠実体をDrinfeld加群を用いて定義する. 関数体のガロア拡大がDrinfeld-Kummer忠実体となるための十分条件を分岐理論の言葉で与える. また, 小関-田口の高次Kummer忠実体の構成に着想を得た, Drinfeld-Kummer忠実体の構成について紹介する.

Drinfeld加群の捩れ点の分岐について

• 講演者: 黄 茂洲 (田口研D4)

• 2023/06/16 (金) 352セミナー室

• 概要: I will introduce a theorem concerning the action of the ramification group on an $\mathbb{F}_{q}$-base of the space of the torsion points in a specific situation. I will discuss how to apply this theorem to show a function analogue of the Szpiro's conjecture.

パーフェクトイド理論の可換環論への応用について

• 講演者: 伊城 慎之介 (下元研D3)

• 2023/06/02 (金) 352セミナー室

• 概要: Yves Andreはパーフェクトイド理論を用いて長年の未解決問題であったホモロジカル予想を解決した。この理論における強力な武器は傾化（Tilting）と呼ばれる混標数と正標数をつなぐ対応である。これにより混標数と正標数の様々な性質の比較が可能になった。一方で傾化はネーター環に対してうまく振る舞わないため、応用方法が限られている。この問題を解決すべく、私は下元数馬氏、名古屋大の仲里渓氏と共同でパーフェクトイド塔とその傾化を導入した。本講演では、パーフェクトイド理論と可換環論が交わるきっかけとなったホモロジカル予想を振り返り、その後パーフェクトイド塔とその傾化に関する定義や基本的な性質について紹介する。

Perfectoid(ization)とその可換環論的性質について

• 講演者: 石塚 伶 (下元研M2)

• 2023/05/19 (金) 352セミナー室

• 概要: Scholzeによって導入されたperfectoidの概念によって混標数の数学はここ10年で非常に発展している。正標数のperfect性の類似を与えつつ、混標数の問題を正標数に帰着させる構造を有しているためである。本講演ではperfectoid fieldから始まったperfectoidの定義の歴史を追い、いくつかの重要な定理を紹介する。PerfectoidizationというBhatt-Scholzeによって導入された概念も紹介し、最後にそれについて最近得られた結果について説明する。

遠アーベル幾何学と剛性定理について

• 講演者: 山口 永悟 (田口研PD)

• 2023/04/21 (金) 352セミナー室

• 概要: 1990年代から、京都大学数理解析研究所を中心として「遠アーベル幾何学」と呼ばれる分野が展開されてきた。遠アーベル幾何学とは非常に簡単に言うと「代数多様体に付随する不変量である数論的エタール基本群の情報``のみ"から、代数多様体の幾何的な情報を復元する」という分野である。本講演では遠アーベル幾何学の主目的であるグロタンディーク予想(現在は定理)の歴史を解説した後、最近の発展的な話題としてm次可解グロタンディーク予想と呼ばれるものを紹介する。（今回の講演は数理解析研究所で行ったAHGTセミナーでの講演の日本語化です。）