אופטיקה גיאומטרית" בתנועה בראונית"
אחד המודלים הדינמיים הפשוטים ביותר במכניקה סטטיסטית הוא תנועה בראונית, המתארת את התנועה האקראית של חלקיק שמבצע דיפוסיה במרחב. מהי הסבירות שחלקיק בראוני יעבור מרחק גדול מאוד בפרק זמן קצר, בהינתן אילוצים מסוימים ו/או כוחות חיצוניים? כדי לענות על שאלות כאלה, אנו משתמשים בפורמליזם שדומה מאוד לאופטיקה גיאומטרית: אנו מחשבים את המסלול הסביר ביותר של החלקיק תחת האילוצים, על ידי פתרון בעיית אופטימיזציה. פורמליזם זה הוא הרעיון המרכזי בו השתמשנו במאמרים 1 ו-2 ויש לנו רעיונות רבים שכוללים שימוש בו במערכות נוספות
התנהגות יוצאת דופן של הסתברויות למדידת ממוצעי זמן חריגים
במגוון רחב של מערכות דינמיות קלאסיות (הנקראות מערכות ארגודיות), הממוצע לאורך זמן ארוך של גודל פיסיקלי הניתן למדידה מתכנס לממוצע שלו על פני התפלגות המצב היציב של המערכת, כלומר ממוצעי הזמן הופכים לשקולים לממוצעים על פני צבר. למרות זאת, במחקר של אירועים נדירים, מתעניינים לעתים קרובות בהתפלגות המלאה של ממוצעי זמן כאלה, וספציפית בהסתברות שהם יהיו שונים משמעותית מהערך הצפוי שלהם. זה יכול להיות חשוב, למשל, על מנת לחזות את הסבירות לטמפרטורות גבוהות או נמוכות או כמויות גשם יוצאות דופן, בממוצע על פני פרקי זמן ארוכים. בשני מאמרים מהתקופה האחרונה, 1 ו-2, חקרנו שאלות כאלה בשני מודלים תיאורטיים סטנדרטיים שונים בפיזיקה סטטיסטית (תנועה בראונית תחת השפעת פוטנציאל הרמוני, ותנועה בראונית עם אתחול סטוכסטי). מצאנו התנהגות חריגה אשר מובילה לכך שסטיות גדולות מהערך הצפוי הן סבירות בהרבה במודלים הללו ממה שציפינו מלכתחילה
התפלגות מספר החלקיקים עבור פרמיונים לכודים והתיאורייה של מטריצות אקראית
אחת הדרכים לחקור השפעות קוונטיות של גופים רבים היא לחקור אטומים קרים: גזים של חלקיקים שקוררו לטמפרטורות נמוכות מאוד. אני מתעניין בתכונות מרחביות של גזים כאלה, במיוחד של פרמיונים שלכודים בבור פוטנציאל חיצוני. כתוצאה מ"נס" מתמטי, מיקומי הפרמיונים קשורים במקרים מסוימים לערכים עצמיים של מטריצות אקראיות. במאמרים 1, 2 ו-3, חקרנו "סטטיסטיקות ספירה": פלוקטואציות של מספר הפרמיונים בתחום מסוים במרחב (ובאופן אנלוגי, פלוקטואציות של מספר הערכים העצמיים של מטריצה אקראית השייכים לתת-קבוצה כלשהי), ונושאים הקשורים לכך