ANALISI DATI DEL TIMER

ESEMPI DI ANALISI DATI

Una volta che i dati siano stati raccolti in un documento tipo spreadsheet e' conveniente mettere il timer alla prova con una analisi iniziale in termini di parametri del pendolo con un convenzionale significato fisico come velocita', ampiezze ed energia.

Suddividiamo in due categorie gli esperimenti di base: con il solo pendolo senza collegamento allo scappamento e con lo scappamento che impulsa il pendolo.

SCAPPAMENTO DISATTIVATO

Questo esperimento serve a caratterizzare il pendolo sia per conoscere con precisione il periodo naturale di oscillazione sia le perdite energetiche per dissipazione col mondo che lo circonda. Scaricare il doc template pendolo.ods se si vuole utilizzare un foglio gia' in parte riempito con le formule a cui si accennera' in seguito.

Primo esempio: nella casella B2 introduciamo l'espressione Vmax = L/Ls *Flag/(delT/1000), ove L e' la lunghezza del pendolo, Ls la distanza dalla cerniera del pendolo al fascio di luce del foto-interrruttore, Flag il diametro in mm dell'ostacolo ottico cilindrico, come nella figura seguente, e delT la durata dell'impulso misurato da Arduino in μs.

Estendendo la definizione a tutta la colonna G si ottiene l'andamento della velocita' massima del peso, cioe' la velocita' del peso quando il pendolo e' verticale, in funzione del tempo in unita' di semi-periodi, rappresentata nel grafico sulla destra della prima figura.

Analogamente, nell'approssimazione di piccoli angoli, l'espressione della colonna H, angolo = 180/π * Vmax *Av Period / 2 π rappresenta l'angolo massimo dell'asta del pendolo in gradi ove AvPeriod e' la durata media del periodo come misurata dal timer in casella B5

Analogamente l'espressione della colonna I, vedi sotto, contiene l'energia in mJ del pendolo E = M * Vmax^2 / 2 / 1000, ove M e' la massa del pendolo (B10) e la colonna J l'approssimazione esponenziale del decadimento temporale dell'energia con una costante di tempo tau (B12). Il confronto fra l'attuale decadimento (traccia blu) e quello del best fit esponenziale (traccia rossa) e' mostrato nel grafico della figura seguente . Il grafico permette di ottimizzare in tempo reale l'approssimazione esponenziale correggendo a mano il valore di tau (B12) .

Nella casella B14 e' calcolato il Q medio del pendolo corrispondente all'approssimazione esponenziale della colonna J. La definizione di Q e': Q = 2 π E/ΔE, ove E e ΔE sono rispettivamente l'energia del pendolo e l'energia persa dal pendolo in un periodo. In colonna K e' calcolato il Q per ogni semi-periodo, in sostanziale accordo con quello medio dell' approssimazione esponenziale. Il Q punto per punto mostra una notevole volatilita' dovuta all'incertezza dell'energia nel corto intervallo temporale per il quale e' calcolato.

OROLOGIO IN FUNZIONE

Analogamente con quanto fatto per il pendolo libero con un timer si possono ricavare quantità fisiche utili come per esempio il periodo e il valore assoluto dell'errore di battuta, nella figura in colonna L e M in μs a partire delle due colonne per i due semi-periodi J e K ricavati dalla colonna Econ l'istruzione J2=INDEX($E$2:$E$263,ROWS(E$2:E2)*2-1) e K2=INDEX($E$2:$E$263,ROWS(E$2:E2)*2) rispettivamente.

Scaricare il doc template scappamento.ods se si vuole utilizzare un foglio gia' in parte riempito con le formule a cui si e' accennato.

ANALISI DI FOURIER - FFT

Puo' essere vantaggioso esaminare i dati raccolti col timer in funzione della frequenza dopo averli trasformati con FFT, Fast Fourier Transform. Ci possono essere nei dati funzione del tempo periodicita' evidenti ma anche meno evidenti o addirittura completamente sommerse nel rumore. Facciamo un esempio: con la seguente tavola di spreadsheet, mettiamo i dati del periodo del pendolo in colonna B e gli stessi dati a cui abbiamo sottratto il loro valor medio nella colonna E, la fluttuazione di P intorno alla media.

Il grafico sulla destra in alto mostra questi dati in funzione del tempo, in unita' di periodi dell'orologio. E' presente un' evidente periodicità' nelle fluttuazioni del periodo, approssimativamente di 60 periodi. Ma qual'e' la sua ampiezza esatta? Ce ne sono altre meno evidenti?

Per rispondere a queste domande in colonna G ed H mettiamo la funzione standard di CALC chiamata FOURIER. Essendo la trasformata di Fourier una funzione che opera su quantità complesse dobbiamo inserire una colonna, la F, con i valori immaginari della funzione periodo, nel nostro caso una colonna di zeri, il periodo per noi e' una funzione reale. Avendo scelto l'opzione "coordinate polari" per il risultato della funzione FOURIER nella colonna G c'e' l'ampiezza della trasformata e nella colonna H la fase.

Normalmente una trasformata di Fourier viene raffigurata con la frequenza, colonna C, sulle ascisse, nel caso del pendolo puo' essere piu pratico usare il periodo come ascissa, Colonna D.